A6 – Operatori differenziali Operatori differenziali in coordinate cartesiane:

A6 – Operatori differenziali

Operatori differenziali in coordinate cartesiane:

• Gradiente (opera su uno scalare; ha come risultato un vettore)

z y

x ˆ

ˆ z ˆ y

) x

( i i i

∂ Φ +∂

∂ Φ +∂

∂ Φ

= ∂ Φ

∇

= Φ grad

• Divergenza (opera su un vettore; ha come risultato uno scalare)

z A y A x ) A

( ^{x y z}

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

⋅

∇

= A

A div

• Rotazionale o rotore (opera su un vettore; ha come risultato un vettore)

z y x

y z x

x z y

z y x

z y x

y ˆ A x

ˆ A x A z

ˆ A z A y A

A A A

z y x

ˆ ˆ ˆ )

( i i i

i i i A

A ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

= ∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

×

∇ rot =

• Laplaciano scalare (opera su uno scalare; ha come risultato uno scalare)

2 2 2 2 2 2 2

z y

x ∂

Φ +∂

∂ Φ +∂

∂ Φ

= ∂ ΔΦ

= Φ

∇

Il laplaciano scalare gode della seguente proprietà:

)

2Φ=∇⋅(∇Φ

∇

• Laplaciano vettoriale (opera su un vettore; ha come risultato un vettore)

2 2 2 2 2 2 2

z y

x ∂

+∂

∂ +∂

∂

= ∂ Δ

=

∇ A A A

A A

Si osservi che, solo nel caso del riferimento cartesiano, i laplaciani vettoriali e scalari sono legati fra loro dalla seguente proprietà:

( ) ( ) (

z

)

z

2 y y 2 x x 2

2A= ∇ A ˆ i + ∇ A ˆi + ∇ A iˆ

∇

quindi il laplaciano di un vettore è ancora un vettore che ha come componenti cartesiane i laplaciani scalari delle componenti cartesiane del vettore su cui opera.

Operatori differenziali in coordinate curvilinee:

Si consideri un generico sistema di coordinate curvilinee (u1,u2,u3), e siano i rispettivi versori fondamentali e (h

(

uˆ₁,uˆ₂,u^ˆ₃

)

1,h2,h3) i coefficienti metrici.

Si definiscono gli operatori differenziali nel modo seguente:

• Gradiente

3 3 3 2 2 2 1 1 1

u ˆ h ˆ 1 u h ˆ 1 u h

1 u u u

∂ Φ + ∂

∂ Φ + ∂

∂ Φ

= ∂ Φ

∇

• Divergenza

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ (h h A )

) u A h h u ( ) A h h u ( h h h

1

3 2 1 3 2

1 3 2 1

3 2 1 3 2 1

A

• Rotazionale

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂ ∂

= ∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

×

∇

) A h u ( ) A h u ( h h

ˆ

) A h u ( ) A h u ( h h ) ˆ A h u ( ) A h u ( h h

ˆ

A h A h A h

u u

u

h h ˆ h h ˆ h h ˆ

A h A h A h

u u

u

h ˆ h ˆ h ˆ

h h h

1

1 1 2 2

2 1 2 1

2

3 3 1 1 1 3 1 3

2 2

2 3 3

3 2 3 2

1

3 3 2 2 1 1

3 2

1

2 1 3 1 3 2 3 2 1

3 3 2 2 1 1

3 2

1

3 3 2 2 1 1

3 2 1

u

u u

u u

u u

u u

A

• Laplaciano

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎥ ⎛

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎥ ⎛

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎥ ⎛

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎥ ⎛

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+ +

=

= +

+

∇ =

3 3

2 1 3 3 2 1 2

2 1 3 3

2 1 1

1 3 2 1 3 2 1

3 2 3

3 2 1 3 3 2 1 2

2 2

3 2 1 3

2 1 1

2 1

3 2 1 1 3 2 1

u h

h h u h h h

1 u

h h h u2 h h h

1 u

h h h u h h h

1

u h

h h h u h h h

1 u

h h h h u2 h h h

1 u

h h h h u h h h 2 1

L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso in coordinate curvilinee, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in coordinate curvilinee. Nel caso vettoriale, occorre però tenere presente che in

[ ]

∇2

generale i versori non sono delle costanti, e quindi vanno anch’essi derivati.

Come casi tipici di sistemi di coordinate curvilinee, si possono considerare ad esempio il riferimento cilindrico e quello sferico. In tal caso, le espressioni degli operatori differenziali scritte sopra si particolarizzano nel modo seguente:

a) Coordinate cilindriche

Si ricordi che in un riferimento cilindrico si ha u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z e quindi risulta:

h1 = 1, h2 = ρ, h3 = 1

• Gradiente

ˆz

ˆ z

ˆi 1 i i

∂ Φ +∂

∂ Φ + ∂

∂ Φ

= ∂ Φ

∇ _{ρ φ}

ϕ ρ ρ

• Divergenza

( )

z A A

A 1

1 _z

∂ +∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ ρ ρ ϕ

ρ ρ

φ

A ρ

• Rotazionale

( )

z

z

z

z

i i

i

i i

i i

i i

A

A ˆ ) 1

A 1 (

A ˆ ˆ A

z A A

1

A ˆ ) A 1 (

A ˆ ˆ A

z A 1 A

A A A

z

1ˆ ˆ 1ˆ

z z

z z

z z

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂

= ∂

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

×

∇

ϕ ρ ρ

ρ ρ ρ

ϕ ρ

ϕ ρ

ρ ρ ρ ρ

ϕ ρ ρ

ϕ ρ

ρ ρ

ρ φ

φ ρ

ρ φ

ρ φ

φ ρ

ρ φ φ

ρ φ ρ

• Laplaciano

[ ] [ ]

₂ ²₂

[ ]

²₂

[ ]

²₂

[ ] [ ]

₂ ²₂

[ ]

²₂

[ ]

2

z 1

1 z

1 1

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∇

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ

ρ ρ

L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso in coordinate cilindriche, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in coordinate cilindriche. Per il laplaciano di un vettore, con alcune manipolazioni si può ottenere la seguente espressione alternativa:

[ ]

∇2

(

z

)

z 2 2

2 2

2 2 2

2 A 2 A ˆ A ˆ

ˆ A 2 A

A A i i i

A ⎥ + ∇

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

−

∇

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

−

∇

=

∇ _ρ ^{ρ φ} _{ρ φ} ^{φ ρ} _φ

ϕ ρ ρ ϕ

ρ ρ

Si osservi che, come già detto in precedenza, le componenti del laplaciano vettoriale non sono i laplaciani scalari delle componenti del vettore A, come avviene invece in coordinate cartesiane.

b) Coordinate sferiche

Si ricordi che in un riferimento cilindrico si ha u1 = r, u2 = θ, u3 = φ e quindi risulta:

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sinθ

• Gradiente

φ

θ ϑ ϕ

ϑ ^{i i}

i ˆ

sin r ˆ 1 r ˆ 1

r ^r ∂

Φ + ∂

∂ Φ + ∂

∂ Φ

= ∂ Φ

∇

• Divergenza

( )

_{ϑ ϑ}

⁽

^ϑ θ

⁾

_ϑ ∂_ϕ^φ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ A

sin r A 1 sin sin

r A 1 r r r

1

r 2

A 2

• Rotazionale

( ) ( )

( ) ( )

( )

θ φ

θ φ

φ θ θ ϕ

θ φ

θ φ

φ θ

θ ϕ

θ ϕ

ϑ

ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ θ

ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ

ϑ ϑ

ϕ ϑ

ϑ ϑ

i i

i i

i

i i i

i

A

A ˆ r

) A r ( r ˆ 1 A r r A

sin 1 r 1

A ˆ A

sin sin r ˆ 1 A r

) A r ( r ˆ 1 A sin r r A

sin r

1

ˆ A r A

sin sin r

r 1 A

sin r A r A

r

r ˆ sin

r ˆ sin r

ˆ

r r

r r

r

2 r

r 2

r

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

−∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂

= ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

−∂

∂ + ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

×

∇

• Laplaciano

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

₂ ²₂

[ ]

₂

[ ]

_{2 2} ²₂

[ ]

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

sin r

1 tan

r 1 r

1 r

r 2 r

sin r sin 1

sin r

1 r r

r r

1

ϕ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϕ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ = + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∇

L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso in coordinate sferiche, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in coordinate sferiche.

[ ]

∇2

Per il laplaciano di un vettore, con alcune manipolazioni si può ottenere la seguente espressione alternativa:

θ φ φ

φ

θ θ φ

θ

θ φ θ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

ϑ

ϑ ϕ ϑ ϑ

ϑ

ϕ ϑ ϑ

ϑ

i i

i A

A ˆ tan sin r

2 sin

r A A sin r A 2

A ˆ tan sin r

2 A

r 2 sin r A A

A ˆ sin r A 2 r

2 tan r

A 2 r

A A 2

2 2 2 r 2

2

2 r 2 2

2

2 r 2

2 2

r r 2 2

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂ − + ∂

∇ +

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂ + ∂

−

∇ +

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

− ∂

−

−

∇

=

∇

Si osservi che, come già detto in precedenza, le componenti del laplaciano vettoriale non sono i laplaciani scalari delle componenti del vettore A, come avviene invece in coordinate cartesiane.

Principali relazioni differenziali:

1)

∇(Φ+ψ)=∇Φ+∇ψ

2)

∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅B

3)

∇×(A+B)=∇×A+∇×B

4)

∇²(Φ+ψ) =∇²Φ+∇²ψ

5)

∇²(A+B)=∇²A+∇²B

6)

∇⋅(∇Φ)=∇²Φ

7)

∇(Φψ)=Φ∇ψ+ψ∇Φ

8)

∇⋅(ΦA)=Φ∇⋅A+∇Φ⋅A

9)

∇×(ΦA)=Φ∇×A+∇Φ×A

10)

∇⋅(A×B)=B⋅∇×A−A⋅∇×B

11)

∇×∇Φ=0

12)

∇⋅∇×A=0

13)

∇×(∇×A) =∇(∇⋅A)−∇²A

14)

∇⋅(Φ∇ψ)=∇Φ⋅∇ψ+Φ∇²ψ

15)

∇(A⋅B)=A×(∇×B)+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+(B⋅∇)A

16)

∇×(A×B)=(∇⋅B)A−(∇⋅A)B+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B

17)

∇²(Φψ)=Φ∇²

ψ

+∇Φ⋅∇

ψ

+ψ∇²Φ

18) ∇

²

( Φ

A

) = Φ ∇

²A

+

A

∇

²

Φ + 2 ( ∇ Φ ⋅ ∇ )

A

19)

∇∇⋅(ΦA)=(∇Φ)∇⋅A+Φ∇∇⋅A+∇Φ×∇×A+(A⋅∇)∇Φ+(∇Φ⋅∇)A

20)

∇×∇×(ΦA)=∇Φ×∇×A−A∇²Φ+(A⋅∇)∇Φ+Φ∇×∇×A+∇Φ∇⋅A−(∇Φ⋅∇ )A

Le relazioni 11, 12 e 13 sono particolarmente importanti.