C APITOLO 2

C

APITOLO 2

RICHIAMI SULLA MODULAZIONE OFDM

2.1 Introduzione

L’obiettivo della tesi è realizzare un ricevitore che lavori bene anche in presenza di interferenza; il segnale utile, WIFI 802.11g, utilizza la modulazione OFDM, quindi risulta doveroso richiamarne le principali caratteristiche.

2.2 Sistemi indoor e comunicazioni a banda larga

Prendiamo in considerazione un sistema di comunicazione operante in ambiente indoor (tipico per le comunicazioni WIFI 802.11g) e andiamo a caratterizzarne il comportamento del canale.

A differenza dello spazio libero, dove l’attenuazione in potenza risulta proporzionale a 1/R2, dove R è la distanza dal trasmettitore, per segnali che si propagano in presenza di ostacoli, si possono raggiungere valori molto più alti perché la perdita di potenza non è dovuta solo alla propagazione ma anche a diffrazioni, riflessioni.

Le antenne dei Pc portatili non sono direttive in quanto devono riuscire a comunicare tra di loro in posizioni del tutto aleatorie.

Il segnale dunque si propagherà in un ambiente che si presenta in una qualsiasi delle conformazioni caratteristiche di ufficio, casa, biblioteca, ecc.

12 Il segnale originario, propagandosi in presenza di ostacoli, subirà riflessioni e diffrazioni, con conseguente creazione di più segnali; tra questi quelli che raggiungeranno il ricevitore saranno caratterizzati da attenuazioni (dovute al canale) diverse poiché diversi i cammini percorsi, [9].

Pertanto il modello del segnale ricevuto può essere scritto secondo la (2.1).

∑

dove Np è il numero di cammini multipli; SRF(t) è il segnale trasmesso;

c l_n

n =

τ

ln è la lunghezza del percorso n-esimo; w(t) è il rumore supposto AWGN

an è l’attenuazione dovuta al percorso n-esimo.

Nello scrivere la (2.1), è stato preso come riferimento il modello NLOS (no line of sight), [9] cioè nessuna componente risulta dominante sulle altre.

Se esiste un cammino diretto risulta logico che le condizioni migliorino. Dalla (2.1) possiamo derivare la risposta in frequenza del canale:

∑

Se gli sfasamenti fossero tutti uguali, la 2.2 diventerebbe costante:

∑

cioè il segnale non sarebbe distorto.

Gli sfasamenti sono in generale tutti diversi per cui il modello da considerare risulta quello espresso dalla 2.2.

Considerando gli inviluppi complessi dei segnali e che le varie componenti siano indipendenti (subiscono attenuazioni e sfasamenti del tutto indipendenti dato i percorsi sono tra di loro indipendenti), si può invocare il teorema del limite centrale:

ψ τ π ρ j N n f j ne a e a p n = =

∑

a è una variabile aleatoria gaussiana e complessa (per il ramo il fase e quadratura) perciò ρ è d.d.p. di rayleigh mentre la fase è uniforme tra 0 e 2π.

Considerando un ritardo tipico di 40 ns (come nelle simulazioni al capitolo 4) segue che Np = 8; in figura 2.1 si riporta l’andamento del modulo del canale [7] che è il

14 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 frequenza normalizzata Channel gain (dB)

Figura 2.1: Andamento logaritmico di una realizzazione del modulo quadro del canale (in frequenza) nel caso sia a 8 raggi

2.3 Modulazione OFDM

Nelle attuali comunicazioni a banda larga, la banda di coerenza del canale (cioè la banda in cui il canale varia poco o meglio, banda in cui il segnale vede un canale piatto) risulta essere più piccola della banda del segnale trasmesso con conseguente distorsione del segnale.

Fino agli anni 2000 si utilizzavano equalizzatori adattativi cioè che si adattavano alle variazioni temporali del canale, infatti, gli an in realtà, dipendono dal tempo perché il

canale è in generale tempo variante.

Poiché per la maggior parte dei casi, l’utilizzo della WIFI è correlato a postazioni fisse per un tempo abbastanza lungo, la dipendenza dal tempo è stata omessa.

L’introduzione della tecnica OFDM nasce appunto per garantire al segnale trasmesso di propagarsi in un canale piatto e non distorcente in maniera tale da evitare l’utilizzo di equalizzatori adattativi che con le trasmissioni a banda larga non sono più efficienti. Per dimostrare questo basta prendere in esame il digitale terrestre: sapendo che la velocità di trasmissione Rb= 6 Mbit/s ne segue un Tb = 1 / Rb = 0.16 µs.

La lunghezza del risposta impulsiva del canale è approssimabile con il ritardo massimo con cui una componente di segnale arriva al ricevitore e poiché in questo caso siamo in ambiente OUTDOOR, il ritardo massimo è tipicamente 10 µs in tali ci stanno circa 60 intervalli di bit quindi per equalizzare bene abbiamo bisogno di a 120 prese.

Fare zapping vuol dire disporre di un equalizzatore che in 1/10 s riesce ad adattare 120 coefficienti, cosa impossibile.

Utilizzando la modulazione OFDM, il segnale originario a banda, larga viene suddiviso in più flussi a banda stretta (ognuno di essi modulato con una portante detta appunto sottoportante) in maniera tale che ognuno di essi veda un canale flat e possa essere controllato in base allo stato di quest’ultimo.

Il canale, ha una certa banda di coerenza fissa che dipende dal ritardo medio statistico con cui si presentano i raggi al ricevitore; la proprietà di selettività dipende invece dalle caratteristiche del segnale che viene trasmesso [9]:

∑

i pn possono essere considerati come una massa di probabilità.

1 1 =

∑

16 sfruttando le (2.5) e (2.6), possiamo trovare il ritardo medio con cui le componenti dei vari cammini si presentano al ricevitore:

n N n n n p p τ τ

∑

per cui la deviazione standard del ritardo risulta essere:

2 1 ) (τ τ σ_τ =

∑

In base alla (2.8) si definisce banda di coerenza, [9]:

τ σ 05 . 0 ≅ c B (2.9)

dunque se la banda del segnale che si vuol trasmettere è maggiore della (2.9), il canale si dice selettivo in frequenza e dobbiamo utilizzare un equalizzatore.

La tecnica OFDM, permette di utilizzare in maniera intelligente e più flessibile il canale, infatti osservando figura 2.1 si capisce che applicando le tecniche convenzionali di trasmissione, se il segnale si trova a propagare in un canale selettivo, si corre il rischio di trasmettere in presenza di deep fades; in caso di equalizzatore zero forcing si rischia di esaltare il rumore oppure utilizzando un equalizzatore MMSE si equalizza meno la risposta in frequenza del canale ma si combatte meglio il rumore.

L’obiettivo della tesi è lavorare anche in presenza di interferenza per cui il segnale ricevuto può essere fortemente distorto.

Qualora si utilizzi la modulazione OFDM, il ricevitore può fare una stima di canale e comunicarla al trasmettitore in maniera tale da capirne quali sono i punti critici ed evitare di trasmettere in tali.

Questo è un enorme vantaggio reso possibile dalla scomposizione del flusso informativo primario in tanti sottflussi rallentati, inoltre quando sia presente interferenza (come sarà più chiaro al capitolo 4) è possibile stimare il canale pesando poco l’informazione pervenuta dalle sottoportanti interferite.

Si riporta in figura 2.2 lo schema a blocchi del trasmettitore che utilizza la modulazione OFDM [10]:

Figura 2.2: equivalente in banda base di un trasmettitore OFDM

Il flusso di simboli cn in uscita al mappatore di trasmissione, viene scomposto in N flussi

con velocità trasmissiva ridotta appunto di un fattore N; tale fattore deve essere scelto in maniera tale che ogni sottoflusso veda un canale piatto.

La costante fsc, rappresenta il passo di canalizzazione dei vari sottoflussi e deve essere

scelta in maniera tale che al ricevitore non si interferiscano tra loro; il ricevitore ottimo per ognuno di essi è rappresentato in figura 2.3 ed ha la classica struttura del ricevitore

18 ottimo quando il canale è AWGN in quanto ogni sottoportante si propaga in un canale flat.

Figura 2.3: ricevitore ottimo per ogni sottoflusso

Affinché i sottoflussi non si interferiscano tra di loro, devono essere canalizzati con una

fsc =

T N

1

(2.10)

In questa maniera l’interferenza risulta nulla perché le sottoportanti sono tra loro ortogonali (infatti OFDM sta per orthogonal FDM)

Realizzare un trasmettitore oppure un ricevitore come mostrato nelle figure 2.2 e 2.3, risulta impossibile perché per i valori di N tipici non si riesce a sincronizzare tanti mixer analogici; sfruttando la definizione di trasformata discreta di Fourier, si può ovviare a questo problema.

Considerando di nuovo figura 2.2, se m = 0 cioè consideriamo il primo blocco OFDM da

N simboli, possiamo scrivere il segnale trasmesso come:

∑

altro non è la trasformata inversa di Fourier del segnale che voglio trasmettere che può essere efficientemente implementata tramite la IFFT.

Il segnale espresso nella (2.11) presenta una larghezza di banda che al massimo è equivalente a quella che si otterrebbe utilizzando una modulazione a singola portante. Dunque posso sostituire al trasmettitore di figura 2.2, un blocco che calcola la trasformata di Fourier inversa per ogni sottoflusso seguito da un convertitore parallelo serie più un DAC per trasmettere il segnale in forma analogica.

Ragionando in maniera equivalente per il ricevitore si ottiene come illustrato in figura 2.4, lo schema blocchi di un sistema di trasmissione [10]:

Figura 2.4: sistema di trasmissione operante con modulazione OFDM

Nello schema è presente un ulteriore blocco chiamato portanti virtuali che serve ad inserire un certo numero di sottoportanti in cui trasmetto lo zero in maniera tale che lo spettro del segnale ricevuto campionato non subisca aliasing [10].

In più si può inserire dopo la IFFT (di conseguenza togliere dopo la FFT) un blocco chiamato prefisso ciclico che ripete all’inizio di ogni trama i suoi ultimi Ng campioni in

maniera tale da inserire un intervallo di guardia contro l’allungamento temporale dovuto alla risposta impulsiva del canale e per facilitare i sincronismi di ricezione.

Questa aggiunta, comporta un peggioramento dell’efficienza spettrale del sistema in quanto dovendo mantenere costante la velocità di informazione, si deve diminuire la

20 Un sistema così fatto ha bisogno della stima di canale per demodulare correttamente i dati; la stima classica è espressa dalla (3.20) ma in presenza di interferenza non risulta più buona come analizzato ai capitoli 3 e 4.

Inoltre risulta importante notare che in questi sistemi, si parla di probabilità di errore media poiché il canale è in generale variabile da sottoportante a sottoportante e quindi le prestazioni saranno tanto migliori quanto meno il canale attenua il segnale trasmesso.

∑

Supponendo che la probabilità di errore tenda a zero tranne che in una sottoportante dove vale ½ per la presenza di un notch del canale e prendendo in considerazione il caso WIFI dove N=64, si trova una probabilità di errore media pari a:

2 10 128 1 2 1 1 2 1 ) 1 ( 0 1 − ≅ = =       + − = N N N N P_e (2.13)

tale valore risulta troppo alto per cui risulta necessario introdurre una codifica (COFDM, coded OFDM) oppure inibire la trasmissione su tale sottoportante, cosa che per un sistema a singola portante, è impossibile.

In conclusione, la modulazione OFDM, a patto di sfruttare l’equivalenza con la IFFT e la FFT (cioè quindi campionare a passi nT) ci permette di trasmettere un segnale di larghezza spettrale non superiore rispetto ai classici modulatori a singola portante e in più di trasmettere sempre in presenza un canale piatto controllandone lo stato per inibire eventualmente la trasmissione su quelle sottoportanti colpite da deep fades.