Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

(1)

Le funzioni elementari

La struttura di R

• La struttura di R è definita dalle operazioni

• Addizione e moltiplicazione. Proprietà:

– Commutativa – Associativa

– Distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione

– Ogni numero ha un’opposto

– Ogni numero (tranne 0) ha un reciproco

Sottrazione e divisione

• a-b = a+(-b)

• a/b = a (1/b)

• L’operazione di semplificazione di una

frazione richiede una divisione, quindi si

può semplificare dividendo solo per un

numero diverso da zero

(2)

Proprietà dell’ordinamento rispetto alle operazioni

, , ,

a≤ ⇒ + ≤ +b a x b x a b x∈ \

0

0 a b a b b b a b

a b a a b a b a

≤ ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤

≤ ⇒ − ≤ − ⇒ ≤ −

In una disuguaglianza si può aggiungere ad ambo i membri uno stesso numero, senza alterarne il verso

Molto utile per spostare un termine da un membro all’altro cambiando di segno. Infatti

Ancora

0 a b a b b b a b

a b a b a a b a

≤ ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤

≤ ⇒ − − ≤ − ⇒ − ≤ −

La stessa proprietà implica che se si cambiano di segno i membri di una disuguaglianza, essa cambia di verso

Ricordando la regola dei segni per il prodotto segue che si possono moltiplicare ambo i membri di una disuguaglianza per un numero positivo, senza alterare il verso della stessa

0 0 0

a≤ ⇒ − ≤ ⇒b a b ax−bx≤ ⇒ax≤bx se x>

Generalità sulle funzioni elementari

• Potenza con esponente naturale, radice, esponenziale, logaritmo

• Operazione che viene eseguita su un numero reale e da come risultato un numero reale (funzione)

• Gli insiemi di definizione (domini) di queste funzioni (cioè la parte di R in cui è possibile eseguire l’operazione) sono gli intervalli

( ^{−∞ + ∞} ^, ) ^{, 0,} _⎡⎣ ^{+ ∞} ) ( ^{, 0,} ^+∞ )

(3)

• Conosciuto il dominio sappiamo su quali numeri può agire. Dobbiamo scoprire i numeri risultato di queste operazioni. Ad esempio (potenza)

• (1,5)²= 2,25

2,25 è il valore della funzione quadrato (potenza di esponente 2) nel punto 1,5

• Ad esempio -4 non è un valore della funzione quadrato, perché …

• I numeri che sono valori della funzione considerata costituiscono l’insieme dei valori (codominio)

• Ad esempio Il codominio della potenza è l’intervallo ⎡⎣^0,^{+ ∞}

)

Notazione

• Se diciamo che 16 è un valore della funzione quadrato, vuol dire che 16 è il quadrato di qualche numero, cioè che l’equazione x²= 16 ha qualche soluzione

• Se indichiamo con f una funzione e con f(x) il suo valore in punto x, la scrittura che dice che y è il valore di f nel punto x, è

( ) y = f x

Esempi

2

2 2

3

funzione potenza esponente 2:

1 1

9 3 ;

4 2

funzione logaritmo base 3: log 8 log 2

f y x

=

= =⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

=

(4)

Esempi

3

3 3

2 4

funzione radice indice 3:

3 27 ; 2 8

funzione esponenziale 10: 10

100 10 ; 0, 0001 10

x

f y x

f base y

−

=

= =

=

= =

Notazione

• Invece della f per le funzioni elementari si usano i seguenti simboli

( ) )

) )

( ) ( )

funzione potenza esponente : : , 0,

funzione radice indice : : 0, 0,

funzione esponenziale: exp : , 0,

funzione logaritmo: log : 0, ,

p

−∞ + ∞ →⎡⎣ + ∞ + ∞ → + ∞

⎡ ⎡

⎣ ⎣

−∞ + ∞ → + ∞ + ∞ → −∞ + ∞

Proprietà di monotònia

• Il risultato dell’operazione aumenta o diminuisce all’aumentare del numero sul quale viene fatta

• Ad esempio per la potenza pedice 2

– 4²=16

– Il quadrato di un numero > 4 è > o < di 16 ? – Prendiamo 3 e 4 e facciamone il quadrato – 3 < 4 implica 3²< 42 (stesso verso)

– -3 > -4 implica (-3)²< (-4)2 (cambia verso)

(5)

In generale

• Data una f e dati due numeri x, y del dominio di f siamo interessati a sapere se

( ) ( )

x y f x f y

oppure se

x y f x f y

< ⇒ ≤

< ⇒ ≥

cioè se, passando ai valori della funzione, il verso della disuguaglianza cambia oppure no

• Può accadere per una certa funzione (come prima) che il verso della

disuguaglianza dei valori cambia verso per alcune coppie e per altre questo non accade. Ovviamente ciò significa che la funzione non ha lo stesso tono o andamento. Ossia non è monotòna

• Se invece per ogni coppia di valori il verso non cambia mai è monòtona crescente

• Se invece per ogni coppia di valori il verso cambia sempre è monòtona decrescente

In simboli

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) x y f x f y

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE x y f x f y

x y f x f y

FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE x y f x f y

< ⇒ ≤ ⎫

> ⇒ ≥ ⎬⎭

< ⇒ ≥ ⎫

> ⇒ ≤ ⎬⎭

Per ogni funzione elementare determineremo le parti del dominio in cui la funzione cresce o decresce

(6)

Valore assoluto di un numero

• Il valore assoluto di un numero è il numero stesso se esso è positivo, l’opposto del numero se esso è negativo. In simboli

0 0

5 5

x se x

x x se x

⎧ ≥

= ⎨⎩− <

− =

=

Proprietà dell’operazione

• Dominio: tutta la retta

• Codominio: la semiretta positiva

• Decrescente sulla semiretta negativa x,y negativi: x < y implica –x > -y

cioè IxI > IyI

• Crescente sulla semiretta positiva x,y positivi: x < y implica x < y cioè IxI < IyI

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione