Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica Anno accademico

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata Facolt` a di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica Anno accademico 2014-15

Appunti dalle lezioni di Campi Elettromagnetici:

Linee di trasmissione

Potenziali elettrodinamici Propagazione guidata

di P. Ferrazzoli

Capitolo 1

LINEE DI TRASMISSIONE

1.1 Linee di trasmissione non terminate

La linea di trasmissione `e rettilinea e uniforme lungo l’asse z (Fig. 1.1).

E indipendente dalla coordinata z e dal tempo. `` E passiva, costituita da due conduttori paralleli sui quali sono definibili una tensione v = v(t, z) e una corrente i = i(t, z). La struttura pu`o essere studiata con la teoria dei circuiti a costanti distribuite. Caratteristiche fondamentali di tale teoria sono le seguenti.

• Si deve tener conto della coordinata z.

• Si suddivide la linea in elementi infinitesimi dz, ciascuno dei quali `e rappresentabile come un circuito a costanti concentrate.

Per ogni elemento dz si ha il circuito equivalente mostrato in Fig. 1.2

L, C, R e G sono, rispettivamente, induttanze, capacit`a, resistenze e conduttanze per unit`a di lunghezza. L e C rappresentano l’immagazzinamento di energia magnetica ed elettrica. R e G rappresentano le perdite dovute, rispettivamente, a dissipazioni lungo i due conduttori e a non perfetto isolamento tra i due conduttori stessi. Per le leggi di Kirchhoff, trascurando infinitesimi di ordine superiore, si ha:

v − (v +δv

δzdz) = iRdz + Ldzδi

δt (1.1)

i − (i + δi

δzdz) ' vGdz + Cdzδv

δt (1.2)

Dalla 1.1:

δv

δz = −iR − Lδi

δt (1.3)

Dalla 1.2:

δi

δz = −vG − Cδv

δt (1.4)

Supponiamo di operare in regime sinusoidale. Definiamo i fasori V (z) e I(z) in modo da avere:

v(t, z) = <[V (z) exp(jωt)] (1.5)

i(t, z) = <[I(z) exp(jωt)] (1.6)

Dalla 1.3 si avr`a:

δV

δz = −(R + jωL)I (1.7)

Dalla 1.4 si avr`a:

δI

δz = −(G + jωC)V (1.8)

Derivando la 1.7 rispetto a z e combinandola con la 1.8 si ha:

δ²V

δz² − γ²V = 0 (1.9)

con

γ =^q(R + jωL)(G + jωC) (1.10)

Il parametro γ prende il nome di costante di propagazione, e sar`a in genere complesso:

γ = α + jβ (1.11)

La soluzione della 1.9 ha un’espressione del tipo:

V (z) = V⁺exp(−γz) + V⁻exp(γz) (1.12)

Derivando rispetto a z la 1.12 e sostituendo nella 1.7 si ottiene:

I(z) = γ

R + jωL[V⁺exp(−γz) − V⁻exp(γz)] = I⁺exp(−γz) − I⁻exp(γz)) (1.13) Il rapporto V⁺/I⁺=V⁻/I⁻ viene chiamato impedenza caratteristica e si indica con il simbolo Z_C. Si ha:

Z_C = R + jωL

γ =

sR + jωL

G + jωC (1.14)

I due termini della 1.12 e della 1.13 rappresentano, rispettivemente, un’onda di tensione (o di corrente) che si propaga nel verso delle z positive e un’onda di tensione (o di corrente) che si propaga nel verso delle z negative. Analogamente al caso della propagazione nello spazio libero, `e definibile una lunghezza d’onda λ, data da:

λ = 2π

β (1.15)

γ e Z_C dipendono dalla linea, mentre V⁺ e V⁻ dipendono da come `e alimentata.

Nel seguito, supporremo di trovarci in uno dei due casi particolari sotto indicati.

1. Assenza di perdite: R = G = 0

α = 0 (1.16)

γ = jβ = jω√

LC (1.17)

Z_C =

sL

C (1.18)

2. Piccole perdite: R  ωL, G  ωC

γ = α + jβ ' 1 2

√ LC(R

L + G

C) + jω√

LC (1.19)

Z_C '

sL

C (1.20)

Supponiamo che sia valida l’ipotesi di piccole perdite e, per semplicit`a, che si abbia solo l’onda che viaggia nel verso delle z positive. Sar`a allora:

|V (z)| = |V⁺| exp(−αz) (1.21)

|I(z)| = 1

Z_C[|V⁺| exp(−αz)] (1.22)

La potenza che transita lungo la linea sar`a:

P (z) = 1

2V (z) · [I(z)]^∗ = P⁺exp(−2αz) (1.23) dove P⁺ = |V⁺|²/(2Z_C). La costante α si esprime in neper/m (`e il numero di fattori 1/e di cui si attenua l’ampiezza quando l’onda transita lungo la linea per una lunghezza pari a 1 m). Nella pratica, l’unit`a pi`u usata sono i dB/m. Si ha:

[P (z)/P⁺]dB = 10 · log [P (z)/P⁺] = 20 · log [V (z)/V⁺] = 20 · log [I(z)/I⁺] (1.24) [P (z)/P⁺]_dB = 10 · log [exp(−2αz)] = 10 · log e · (−2αz) = −[α]_dB/m· z (1.25) dove:

[α]_dB/m = 10 · log e · 2α = 8.685 · α (1.26)

1.2 Linee di trasmissione terminate

1.2.1 Coefficiente di riflessione

Sia data (Fig. 1.3) una linea di trasmissione priva di perdite, di impedenza caratteristica Z_C, chiusa su di un carico di impedenza Z_L. Si scelga l’origine dell’asse z sul carico e si definisca una coordinata l = −z.

Si avr`a, dalle 1.12 e 1.13:

V (l) = V⁺exp(jβl) + V⁻exp(−jβl) (1.27) I(l) = I⁺exp(jβl) − I⁻exp(−jβl) = 1

Z [V⁺exp(jβl) − V⁻exp(−jβl)] (1.28)

Si definisce coefficiente di riflessione in tensione:

Γ_V(l) = V⁻exp(−jβl)

V⁺exp(jβl) (1.29)

Per l = 0:

Γ_V(0) = Γ_{V L} = V⁻/V⁺ Si ha cos`ı:

ΓV(l) = ΓV Lexp(−j2βl) (1.30)

Esiste una semplice relazione che lega Γ_{V L} alle impedenze Z_L e Z_C. Si ha:

Z_L

Z_C = V (0)

Z_CI(0) = V⁺+ V⁻

V⁺− V⁻ = 1 + Γ_{V L}

1 − Γ_{V L} (1.31)

La relazione inversa `e:

ΓV L= Z_L/Z_C − 1

Z_L/Z_C + 1 = Z_L− Z_C

Z_L+ Z_C (1.32)

1.2.2 Potenza ceduta al carico

Tenendo conto delle 1.12, 1.13, 1.29 e 1.30 la potenza che una linea cede al carico sar`a data da:

P = 1

2<[V (0)I^∗(0)] = 1

2<[(V⁺+ V⁻)(I⁺− I⁻)^∗] = 1

2<[Y_C(V⁺+ V⁻)(V⁺− V⁻)^∗]

= 1

2<[YC|V⁺|²(1 + ΓV L)(1 − ΓV L)^∗] = 1

2[YC|V⁺|²(1 − |ΓV L|²)] (1.33)

Capitolo 2

Propriet` a generali della propagazione guidata

2.1 I potenziali elettrodinamici

Per la soluzione di alcuni problemi di elettromagnetismo, si utilizzano variabili ausiliarie, dette potenziali elettrodinamici. Si considerino le equazioni di Maxwell in regime armonico, in un mezzo stazionario, omogeneo, lineare, isotropo. Supponiamo che siano presenti correnti impresse di tipo elettrico. Si ha:

∇ × E = −jωµ◦H (2.1)

∇ × H = jωE + J_i (2.2)

∇ · E = ρ/ (2.3)

∇ · H = 0 (2.4)

Per effetto della 2.4, il campo H pu`o essere espresso come rotore di un campo vettorale, che chiameremo potenziale vettore A. Si ha quindi :

H = ∇ × A (2.5)

Si ha allora, tenendo conto della 2.1:

∇ × E = −jωµ◦∇ × A (2.6)

In base alla 2.6, risulta che i campi vettoriali E e −jωµ◦A hanno uguale rotore. Per le propriet`a degli operatori vettoriali, possono differire di un gradiente di funzione scalare:

E = −jωµ_◦A − ∇Φ (2.7)

Combinando la 2.7 con la 2.5, e tenendo conto della 2.2 si ha:

∇ × ∇ × A = ∇∇ · A − ∇²A = jω(−jωµ◦A − ∇Φ) + J_i (2.8) Da cui si ha:

∇∇ · A − ∇²A = k²A − jω∇Φ + J_i (2.9)

La 2.5 assegna il rotore di A. La divergenza pu`o essere assegnata dalla “condizione di Lorentz”:

∇ · A = −jωΦ (2.10)

Dalla 2.9 si ha allora:

∇²A + k²A = −J_i (2.11)

Per risolvere la 2.11 occorre conoscere la distribuzione delle correnti impresse e le eventuali condizioni al contorno. Si pu`o cos`ı ricavare il potenziale vettore magnetico A, e da questo il campo magnetico H utilizzando la 2.5. Il campo elettrico E pu`o essere ottenuto combinando le 2.7 e 2.10. Si ottiene:

E = −jωµ◦A +∇∇ · A

jω (2.12)

Qualora siano presenti correnti impresse di tipo magnetico J_im , si pu`o procedere analogamente al caso precedente, sfruttando il principio di dualit`a. Le equazioni di Maxwell avranno la seguente forma:

∇ × E = −jωµ◦H − J_im (2.13)

∇ × H = jωE (2.14)

∇ · E = 0 (2.15)

∇ · H = ρ_m/µ◦ (2.16)

Ora `e il campo elettrico ad avere divergenza nulla. Introducendo un potenziale vettore elettrico F, dovr`a essere soddisfatta la seguente equazione:

∇²F + k²F = −J_im (2.17)

Il campo elettrico potr`a essere ricavato dalla:

E = ∇ × F (2.18)

Per il campo magnetico si avr`a:

H = −jωF +∇∇ · F jωµ◦

(2.19)

2.2 Applicazione alla propagazione guidata

Un’ applicazione fondamentale dei potenziali elettrodinamici `e l’ analisi delle strutture guidanti. Si tratta di strutture rettilinee, che impongono alle onde elettromagnetiche di propagarsi nella stessa di- rezione in cui la struttura si sviluppa. Possono essere delimitate da materiale conduttore, o costituite da materiale dielettrico che supporremo essere omogeneo. Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse z parallelo alla direzione in cui si sviluppa la struttura, che `e anche la direzione di propagazione.

Per una vasta categorie di strutture, i campi elettromagnetici possono avere una o pi`u delle seguenti forme:

• Campi TM: hanno nulla la componente longitudinale del campo magnetico: H_z = 0

• Campi TE: hanno nulla la componente longitudinale del campo elettrico: E_z = 0

• Campi TEM: hanno nulle le componenti longitudinale di ambedue i campi: H_z = 0 e E_z = 0

2.2.1 Campi TM

A distanza dalle sorgenti, si ha, per la 2.11:

∇²A + k²A = 0 (2.20)

Assumendo la direzione di propagazione parallela all’asse z si avr`a, nel caso TM:

H_z = 0 (2.21)

Per la 2.5:

z◦· (∇ × A) = 0 (2.22)

Quindi: A = A_zz_◦.

Il potenziale vettore magnetico sar`a longitudinale. Per l’uniformit`a assiale della struttura, si ipotizza applicabile la cosiddetta ipotesi di separabilit`a, che consiste nell’ esprimere il potenziale vettore come il prodotto di due funzioni, una delle sole coordinate trasverse e l’ altra della sola z. Si ha quindi:

A = z◦ψ(x, y) · f (z) (2.23)

Anche l’ operatore ∇ pu`o essere suddiviso tra componente trasversa (∇t) e componente longitudinale:

∇ = x◦

δ δx + y◦

δ δy + z◦

δ

δz = ∇_t+ z◦

δ

δz (2.24)

∇² = ∇²_t + δ²

δz² (2.25)

La 2.20 pu`o essere suddivisa in due equazioni, una nelle sole coordinate trasverse e l’ altra nella sola z. Quindi, ponendo k<sup>2</sup> = k<sup>2</sup><sub>t</sub> + β<sup>2</sup> si avr`a :

∇²_tψ + k_t²ψ = 0 (2.26)

δ²f (z)

δz² + β²f (z) = 0 (2.27)

Assumendo di avere propagazione nel verso delle z positive, la soluzione della 2.27 sar`a:

f (z) = exp(−jβz) (2.28)

Da cui:

δA_z

δz = −jβA_z (2.29)

δ²A_z

δz² = −β²A_z (2.30)

Per la 2.12

E = −jωµ◦A_zz◦+∇∇ · (A_zz◦)

jω (2.31)

Poich`e:

∇ · (A_zz◦) = δAz

δz (2.32)

tenendo conto della decomposizione 2.24, dalla 2.31 si ha:

E = −jωµ◦Azz◦+ 1 jω[∇t

δAz

δz + z◦

δ²Az

δz² ] (2.33)

Eguagliamo separatamente le componenti longitudinali e trasverse della 2.33. Per le componenti longitudinali si ha:

E_z = A_z[− β²

jω − jωµ◦] = A_zk_t²

jω (2.34)

Quindi A_z sar`a proporzionale ad E_z. Per le componenti trasverse si ha:

E_t= −jβ∇_tA_z

jω = −β∇_tA_z

ω = −jβ

k²_t∇_tE_z (2.35)

Inoltre, per la 2.5:

H_t = ∇_t× (A_zz◦) = ∇_tA_z× z◦ = −ω

β E_t× z◦ = 1 η

k

βz◦× E_t (2.36) Dove

η =

rµ

 (2.37)

Il rapporto E_t/H_t prende il nome di ”impedenza d’ onda” Z_W. Per i campi TM si ha:

Z_W = ηβ

k (2.38)

2.2.2 Campi TE

Per i campi TE si possono ottenere equazioni simili al caso predente dei TM, usando il principio di dualit`a. A distanza dalle sorgenti, per il potenziale vettore elettrico, si ha:

∇²F + k²F = 0 (2.39)

Assumendo la direzione di propagazione parallela all’asse z si avr`a:

E_z = 0 (2.40)

z◦· (∇ × F) = 0 (2.41)

Quindi: F = F_zz◦. Il potenziale vettore elettrico sar`a longitudinale. Applicando ancora il principio di separabilit`a e procedendo analogamente al caso TM, si ottiene:

F = z◦ψ(x, y) · f (z) (2.42)

H_z = F_zk_t² jωµ◦

(2.43)

Ht = −jβ

k_t²∇tHz (2.44)

Inoltre:

E_t= ∇_t× (F_zz◦) = ∇_tF_z × z◦ = −ωµ◦

β H_t× z◦ = ηk

βz◦× H_t (2.45) Per i campi TE si ha:

Z_W = ηk

β (2.46)

2.2.3 Campi TEM

Una soluzione di tipo TEM pu`o essere ottenuta da una soluzione di tipo TM, imponendo come ulteriore condizione che Ez = 0, oppure da una soluzione TE imponendo come ulteriore condizione che H<sub>z</sub> = 0. Seguendo la prima delle due scelte si ha che, in base alla 2.34, dovr`a essere k_t = 0. Di conseguenza, si avr`a

β² = k² (2.47)

analogamente al caso di un’onda piana uniforme che si propaga nello spazio libero in un mezzo privo di perdite.

Inoltre, dalla 2.26 con k_t = 0 si ha:

∇²_tψ = 0 (2.48)

La 3.84 prende il nome di equazione di Laplace. Se si riesce a trovare una funzione ψ(x, y) che soddisfa tale equazione, i campi elettrico e magnetico trasversi saranno ottenibili dalle:

E_t= −β∇_tA_z

ω = −η∇_tA_z (2.49)

H_t = ∇_t× (A_zz◦) = ∇_tA_z× z◦ = 1

ηz◦× E_t (2.50)

Per i campi TEM si ha, analogamente al caso dello spazio libero:

Z_W = η (2.51)

Capitolo 3

Analisi delle strutture

Una struttura guidante rettilinea pu`o essere analizzata seguendo la seguente procedura.

• Basandosi sulla geometria nel piano trasverso (cio`e la sezione), identificare i tipi di onde (TM, TE, TEM) che possono propagarsi.

• Per le onde TM e TE usare la 2.26, e le condizioni al contorno, per determinare la funzione ψ(x, y) e i valori di k_t compatibili con la geometria della struttura.

• Per le onde TEM usare l’equazione di Laplace (3.84), e le condizioni al contorno, per deter- minare la funziona ψ(x, y) compatibile con la geometria della struttura.

• Il potenziale (A_z o F_z) sar`a dato da ψ(x, y) exp(−jβz)

• Determinare le componenti dei campi usando le 2.34, 2.35 e 2.36 per le onde TM, le 2.43, 2.44 e 2.45 per le onde TE, le 2.49 e 2.50 per le onde TEM.

Le strutture guidanti differiscono tra loro per la sezione. Questa determina i tipi di onde che possono propagarsi e le condizioni al contorno. Sezioni tipiche sono mostrate in Fig. 3.1.

Esistono due categorie fondamentali.

1. Alcune strutture presentano almeno due conduttori paralleli separati. Possono propagarsi onde TEM.

2. Altre strutture non presentano conduttori separati. Possono propagarsi solo onde TE e TM

3.1 La coppia coassiale

Una struttura molto diffusa `e la coppia coassiale (detta anche, comunemente, cavo coassiale), cos- tituita da due conduttori i cui contorni sono circonferenze concentriche; i campi sono presenti nello spazio dielettrico tra di esse. La sezione `e mostrata in Fig. 3.2.

Siano a₁ e a₂ i raggi interno ed esterno delle due circonferenze. Per evidenti ragioni di simmetria,

`e conveniente analizzare la struttura in un sistema di coordinate cilindriche (r, φ). L’equazione di Laplace assumer`a la forma:

∇²_tψ = 1 r

δ δr(rδψ

δr) + 1 r²

δ²ψ

δφ² = 0 (3.1)

La simmetria della struttura suggerisce di cercare una soluzione ψ(r) indipendente da φ. Dovr`a quindi soddisfare la:

1 r

δ δr(rδψ

δr) = 0 (3.2)

La soluzione `e:

ψ(r) = C1ln r + C2 (3.3)

C₁ e C₂ sono costanti da determinare in base alle condizioni al contorno. Supponiamo:

• ψ = ψ◦ sul conduttore interno;

• ψ = 0 sul conduttore esterno;

Si avr`a:

ψ◦ = C₁ln a₁+ C₂ (3.4)

0 = C₁ln a₂+ C₂ (3.5)

Risolvendo per sostituzione:

C₁ = ψ_◦

ln (a₁/a₂) (3.6)

C₂ = −C₁ln a₂ (3.7)

Quindi:

ψ(r) = ψ◦

ln (r/a₂)

ln (a₁/a₂) (3.8)

Tenendo conto delle 2.49 e 2.50, i campi saranno:

E = −η∇_tψ · exp(−jβz) = −r_◦ηδψ

δr · exp(−jβz) = ηψ◦

ln (a2/a1) r◦

r · exp(−jβz) (3.9)

H = ∇_tψ · exp(−jβz) × z◦ = ψ◦

ln (a₂/a₁) φ◦

r · exp(−jβz) (3.10)

Per r = a1, si avr`a una corrente superficiale:

J_s= r◦× H = ψ◦

ln (a₂/a₁) z◦

a₁ · exp(−jβz) (3.11)

La corrente che scorre nel conduttore interno, per z = 0, sar`a:

I(0) =

Z 2π 0

J_sa₁dφ = ψ◦

a1ln (a2/a1)

Z 2π 0

a₁dφ = 2π ψ◦

ln (a2/a1) (3.12) Nel conduttore esterno scorre una corrente −I(0).

Essendovi due conduttori paralleli, sar`a possibile definire una differenza di tensione tra i due. Per z = 0, sar`a data da:

V (0) = −

Z a2

a1

E(0) · dl = −

Z a2

a1

E(0) · r◦dr = ηψ◦

ln (a₂/a₁)

Z a2

a1

dr

r = ηψ◦ (3.13) L’impedenza caratteristica sar`a data da:

Z_C = V (0)

I(0) = η · ln (a₂/a₁)

2π (3.14)

Per una generica ascissa z si ha:

V (z) = V (0) exp(−jβz) (3.15)

I(z) = I(0) exp(−jβz) (3.16)

L’espressione della potenza che transita nella struttura pu`o essere ottenuta sia a partire dai campi che dalle tensioni e correnti. Si ha:

P = 1 2<[

Z a2

a1

Z 2π 0

(E × H^∗) · z◦rdφdr] =

= η |ψ◦|² 2[ln (a₂/a₁)]²2π

Z a2

a1

dr

r = πη |ψ◦|²

ln (a₂/a₁) (3.17)

Ovvero:

P = 1

2<[V I^∗] = |V◦|² 2ZC

= πη |ψ◦|²

ln (a2/a1) (3.18)

3.2 Guide d’onda metalliche

3.2.1 Aspetti generali

Nelle guide d’onda metalliche l’effetto guidante `e ottenuto mediante un unico conduttore cavo (Fig.

3.3).

Una tale struttura, avendo un unico conduttore metallico cavo, non pu`o supportare la propagazione di onde TEM. La struttura, come vedremo in alcuni casi notevoli, `e invece compatibile con la propagazione di onde TE e TM. Nel seguito, applicheremo la trattazione generale del Capitolo 1 al caso di sezione rettangolare.

L’ equazione da cui partire `e: ∇²_tψ + k_t²ψ = 0

Per il caso TM, i campi si otterranno dalle 2.34 e 2.35-2.36. Le condizioni al contorno imporranno, sul conduttore: Ez = Az = 0. Quindi, per la 2.23, ψ = 0

Per il caso TE, i campi si otterranno dalle 2.42-2.45. Le condizioni al contorno imporranno, sul conduttore: n · H_t= 0, e quindi n · ∇_tψ = 0.

In ambedue i casi, le condizioni al contorno saranno soddisfatte per valori di ktdiscreti, dipendenti dalla geometria della struttura e indipendenti dalla frequenza. Ad ogni valore di k_t corrisponde un modo, TE o TM, che sar`a identificato da una coppia di indici interi; il significato di tali indici `e legato alla geometria della guida. Ogni modo avr`a una propria costante di propagazione, data da:

β =

q

k²− k_t² (3.19)

Perch`e il modo possa propagarsi, l’argomento dell’esponenziale 2.28 dovr`a essere immaginario (al- meno in assenza di perdite). Quindi β dovr`a essere reale. Dovr`a quindi essere:

k > k_t (3.20)

f > fc = c

2πkt (3.21)

f `e la frequenza e c = 1/√

µ. Quindi un modo pu`o propagarsi solo se la frequenza `e maggiore del valore f_c, detto cutoff. Il modo che ha la frequenza di cutoff pi`u bassa in una guida `e detto fondamentale di quella guida. Come vedremo, il modo fondamentale `e sempre un TE. In molte applicazioni comuni, la guida `e dimensionata facendo s`ı che si propaghi solo il modo fondamentale.

La 3.19 indica anche che la costante di propagazione ha una dipendenza non lineare dalla frequenza.

La guida d’onda metallica `e pertanto un mezzo dispersivo, in cui velocit`a di fase e velocit`a di gruppo sono diverse tra loro e ambedue diverse da c. Si definisce lunghezza d’onda in guida:

λ_g = 2π

β = 2π

k^q1 − k²_t/k²

= λ

q

1 − f_c²/f²

(3.22)

λ = 2π/k `e la lunghezza d’onda che si avrebbe nello spazio libero alla stessa frequenza.

3.2.2 Guide d’onda rettangolari

Trattazione generale

Sia data (Fig. 3.4) una guida d’onda a sezione rettangolare. Siano a e b i lati del rettangolo. Sup- poniamo inizialmente, per semplicit`a, che la struttura sia riempita di dielettrico privo di perdite e le pareti abbiano conducibilit`a infinita. Come discusso precedentemente, la struttura non `e compatibile con la propagazione di modi TEM, mentre possono propagarsi modi TE e TM.

Iniziamo con l’analisi di modi TE. In base alla trattazione del Capitolo 1 dovremo risolvere la:

∇²_tψ + k_t²ψ = 0 (3.23)

Dovremo poi avere, per le condizioni al contorno, n · ∇_tψ = 0 sulle pareti.

La 3.23, in coordinate cartesiane, avr`a espressione:

δ²ψ

δx² + δ²ψ

δy² + k_t²ψ = 0 (3.24)

La geometria della struttura indica che le soluzioni soddisfano l’ipotesi di separabilit`a:

ψ(x, y) = f (x)g(y) (3.25)

Si avr`a allora, dividendo il primo membro della 3.24 per ψ:

1 f (x)

d²f dx² + 1

g(y) d²g

dy² + k_t² = 0 (3.26)

Poich`e la 3.26 deve valere per ogni valore di x e y interni al rettangolo, dovr`a essere uguale ad una costante ciascuno dei primi due termini della 3.26:

1 f (x)

d²f

dx² = −k_x² (3.27)

1 g(y)

d²g

dy² = −k_y² (3.28)

con

k²_x+ k_y² = k_t² (3.29)

Quindi si ha:

d²f

dx² +k_x²f (x) = 0 (3.30)

d²g

dy² +k²_yg(y) = 0 (3.31)

Le soluzioni sono:

f (x) = A₁cos k_xx + A₂sin k_xx (3.32) g(y) = B₁cos k_yy + B₂sin k_yy (3.33) Tenendo conto delle condizioni al contorno e della 2.44, dovr`a essere, sulle 4 pareti della guida:

n · ∇_tψ = 0 (3.34)

Sulle pareti verticali:

δψ δx

    _x=0

= δψ δx

    _x=a

= 0 (3.35)

Per la 3.32 si ha, per x = 0 e x = a:

−k_xA₁sin k_xx + k_xA₂cos k_xx = 0 (3.36) Ne segue:

A₂ = 0 (3.37)

sin kxa = 0 (3.38)

k_x = nπ

a (3.39)

con n intero. Quindi:

f (x) = A₁cosnπx

a (3.40)

Sulle pareti orizzontali:

δψ δy

    _y=0

= δψ δy

    _y=b

= 0 (3.41)

Procedendo come per le pareti verticali, si ottiene:

g(y) = B₁cosmπy

b (3.42)

k_y = mπ

b (3.43)

con m intero. Ponendo A₁· B₁ = C_nm e combinando le 3.25,3.40 e 3.42 si ha:

ψ(x, y) = Cnmcosnπx

a cosmπy

b (3.44)

La coppia di indici n, m identifica un modo TE soluzione della 3.23. Il coefficiente di ampiezza Cnm

dipender`a dalla sorgente che alimenta la guida. Introducendo gli indici n, m anche nelle costanti k_t, β e f_c (che sono proprie del modo) si ha, per le 3.19, 3.21, 3.29, 3.39 e 3.43:

k_tnm=

s

nπ a

2

+

mπ b

2

(3.45)

β_nm =

q

k²− k²_tnm (3.46)

f_cnm = c

2πk_tnm (3.47)

Il modo sar`a indicato con la notazione TEnm. Potr`a propagarsi solo se f > fcnm. Tenendo conto della trattazione del Capitolo 1, inclusi gli aspetti relativi al verso di propagazione, si ottengono le espressioni complete delle componenti dei campi. Si ha:

H_z = k_tnm² jωµ◦

C_nmcosnπx

a cosmπy

b exp (∓jβ_nmz) (3.48)

H_x = ±β_nm ωµ◦

C_nmnπ

a sinnπx

a cosmπy

b exp (∓jβ_nmz) (3.49)

H_y = ±β_nm ωµ◦

C_nmmπ

b cosnπx

a sinmπy

b exp (∓jβ_nmz) (3.50)

E_z = 0 (3.51)

Ex = jZW nm

β_nm ωµ◦

Cnm

mπ

b cosnπx

a sinmπy

b exp (∓jβnmz) (3.52)

E_y = −jZ_{W nm}β_nm ωµ◦

C_nmnπ

a sinnπx

a cosmπy

b exp (∓jβ_nmz) (3.53) (3.54) con Z_{W nm} = (k/β_nm)η. Se f < f_c, cio`e se il modo `e “sotto cutoff”, Z_{W nm} sar`a immaginaria.

La potenza trasportata da un modo TE_nm `e data da:

P_nm = 1 2<[

Z a 0

Z b 0

(E × H^∗) · z◦dydx] = 1 2<[

Z a 0

Z b 0

(E_xH_y^∗− E_yH_x^∗)dydx] (3.55) Tenendo conto che, se il modo si propaga, Z_{W nm} `e reale, si avr`a:

P_nm = 1 2Z_{W nm}

Z a 0

Z b 0

(H_yH_y^∗+ H_xH_x^∗)dydx (3.56) Sussistono le seguenti propriet`a matematiche:

Z a 0

Z b 0

sin²nπx

a cos² mπy

b dydx = ab

N_nN_m

Z a 0

Z b 0

cos²nπx

a sin² mπy

b dydx = ab

NnNm

(3.57) con:

• N_k = 1 se k = 0

• Nk = 2 se k > 0 Si ha allora:

P_nm= |C_nm|² ab 2N_nN_m

β_nm²

(ωµ◦)²Z_{W nm}[(nπ

a )² + (mπ

b )²] = |C_nm|² ab

2N_nN_m(β_nm ωµ◦

)²k_tnm² Z_{W nm} (3.58)

Supponiamo ora che si propaghino due modi, a cui corrispondono due coppie di indici interi, nm ed rs, rispettivamente. I campi H_x e H_y saranno ottenuti sommando i contributi dei due modi. La potenza totale P_{T OT} sar`a data da:

P_{T OT} = P_nm+ P_rs+ ∆P_nmrs (3.59)

∆P_nmrs `e il contributo dei prodotti misti che si ottengono sviluppando le espressioni di H<sub>x</sub>H<sub>x</sub><sup>∗</sup> e H<sub>y</sub>H<sub>y</sub><sup>∗</sup>. Si pu`o dimostrare che:

se n 6= r:

Z a 0

sinnπx

a sinrπx

a dx = 0 (3.60)

se m 6= s:

Z b 0

sinmπy

b sinsπy

b dy = 0 (3.61)

Ne consegue che ∆Pnmrs= 0.

La potenza totale sar`a quindi data dalla somma delle potenze trasportate singolarmente dai due modi. Si pu`o dimostrare che questo principio `e estendibile a qualsiasi coppia di modi TE e/o TM in qualsiasi guida. Questo importante risultato prende il nome di principio di ortogonalit`a dei modi.

L’analisi precedentemente sviluppata `e valida per i modi TE. Per i modi TM il procedimento `e duale. Si avr`a ancora:

∇²_tψ + k_t²ψ = 0 (3.62)

Le condizioni al contorno da imporre saranno: ψ = 0 per x = 0, x = a, y = 0, y = b. La soluzione sar`a:

ψ(x, y) = C_nmsinnπx

a sinmπy

b (3.63)

La forma della 3.63 impone che, a differenza del caso dei TE, dovranno essere contemporaneamente:

n 6= 0, m 6= 0.

Saranno sempre valide le 3.45, 3.46, 3.47. La frequenza di cutoff del modo TM₁₁ sar`a la pi`u bassa tra quelle dei modi TM, ma pi`u alta di quella del TE₁₀. Per qualunque coppia di indici n ed m, i modi TE_nm e TM_nm saranno “degeneri”: avranno la stessa frequenza di cutoff (data in ambedue i casi dalla 3.47) pur essendo diversi tra loro dal punto di vista degli andamenti dei campi E ed H.

Il modo fondamentale

Assume particolare interesse applicativo il modo fondamentale. Supponiamo che sia a > b. Per le 3.45 - 3.47, il modo fondamentale sar`a il TE₁₀, con:

k_t10 = π

a (3.64)

β₁₀=

s

k²−

π a

2

(3.65) f_c10 = c

2a (3.66)

Il secondo modo sar`a il TE<sub>20</sub> se a > 2b, mentre sar`a il TE₀₁ se a < 2b. A frequenze pi`u alte si propagheranno ambedue i modi degeneri TE<sub>11</sub> e TM<sub>11</sub>. Ponendo n = 1, m = 0 nelle 3.48-3.53 si avr`a:

H_z = k_t10² jωµ◦

C₁₀cosπx

a exp (∓jβ₁₀z) (3.67)

H_x = ±β10

ωµ◦

C₁₀π

a sinπx

a exp (∓jβ₁₀z) (3.68)

H_y = 0 (3.69)

E_z = 0 (3.70)

E_x = 0 (3.71)

E_y = −jZ_{W 10} β₁₀ ωµ◦

C₁₀π

a sinπx

a exp (∓jβ₁₀z) (3.72)

I campi sono indipendenti dalla coordinata y. I campi Ey ed Hx hanno ampiezza massima per x = a/2, nulla sulle pareti verticali. Il campo H_z, invece, ha ampiezza massima sulle pareti verticali, nulla per x = a/2. La lunghezza d’onda in guida `e data da:

λg = 2π

β₁₀ = 2π

qk²− π²/a² = λ

q1 − [λ/(2a)]² (3.73)

L’impedenza d’onda sar`a:

Z_{W 10} = k

β₁₀ · Z (3.74)

La potenza trasportata dal modo sar`a ottenibile dalla 3.58. Si avr`a:

P₁₀ = |C₁₀|²ab 4

β₁₀²

(ωµ◦)²k_t10² Z_{W 10} (3.75)

3.2.3 Guide d’onda circolari

Propriet`a generali

Sia data (Figura 3.5) una guida d’ onda a sezione circolare di raggio a. Analogamente al caso delle guide rettangolari, analizziamo la struttura nell’ ipotesi semplificativa di assenza di perdite.

Anche nella guida circolare potranno propagarsi modi TE e TM. Iniziamo, in questo caso, dai modi TM, per i quali l’applicazione delle condizioni al contorno `e pi`u semplice e diretta. Per evidenti ragioni, il sistema di coordinate cilindriche (r, φ) `e il pi`u adatto per trattare la presente struttura. Si ha:

∇²_tψ + k_t²ψ = 0 (3.76)

La condizione al contorno `e: ψ = 0 per r = a. La seconda delle 3.76, in coordinate cilindriche, `e:

δ²ψ δr² +1

r δψ δr + 1

r² δ²ψ

δφ² + k²_tψ = 0 (3.77)

Applicando l’ipotesi di separabilit`a tra dipendenza da r e dipendenza da φ, si ha:

ψ(r, φ) = f (r) · g(φ) (3.78)

Dividendo la 3.77 per ψ , tenendo conto della 3.78, si ha:

1 f

d²f dr² + 1

rf df dr + 1

r²g d²g

dφ² + k²_t = 0 (3.79)

Moltiplicando per r² e raggruppando opportunamente:

r² f

d²f dr² + r

f df

dr + r²k_t² = −1 g

d²g

dφ² (3.80)

Il primo membro della 3.80 `e funzione della sola r. Il secondo membro `e funzione della sola φ.

L’uguaglianza deve valere per qualsiasi valore di r e φ. Pertanto, ambedue i membri devono essere uguali a una costante, che chiameremo ν². Dalla 3.80 si ottiene allora la coppia di equazioni:

r² f [d²f

dr² +1 r

df

dr + (k²_t − ν²

r²)f ] = 0 d²g

dφ² + ν²g = 0 (3.81)

Per motivi legati alla geometria della struttura, la g(φ) deve essere periodica di periodo 2π. Per le propriet`a delle equazioni differenziali, ci`o comporta che ν sia intero. Chiamando tale intero con n, la soluzione della seconda delle 3.81 `e:

g(φ) = A₁cos nφ + A₂sin nφ (3.82)

A₁ e A₂ sono costanti. La prima delle 3.81, con ν = n, `e l’ equazione di Bessel di ordine n. Le soluzioni sono:

• Jn(ktr) (Funzione di Bessel di prima specie di ordine n)

• Y_n(k_tr) (Funzione di Bessel di seconda specie di ordine n).

La soluzione matematica Y_n(k_tr) `e da scartare, in quanto presenta una singolarit`a per r = 0, il che non `e fisicamente ammissibile. La soluzione della 3.77 sar`a pertanto:

ψ(r, φ) = (A₁cos nφ + A₂sin nφ)J_n(k_tr) (3.83) in cui le costanti A₁ e A₂ determinano l’ ampiezza del modo e l’ orientazione degli assi di simmetria delle distribuzioni di campo. A₁ e A₂ dipendono dalle propriet`a della sorgente del modo. Inoltre, per la condizione al contorno (ψ = 0 per r = a):

J_n(k_ta) = 0 (3.84)

Quindi:

k_t= p_nm

a (3.85)

dove pnm `e lo zero di ordine m della funzione di Bessel di ordine n. La coppia di indici interi n e m identifica il modo TM . Si avr`a, inoltre:

β_nm =

q

k²− k²_tnm=

s

k²− p²_nm a² f_cnm = c

2πk_tnm Z_{W nm} = β_nm

k Z (3.86)

Per i modi TE, si risolve sempre la:

∇²_tψ + k_t²ψ = 0 (3.87)

Dal punto di vista matematico la trattazione `e del tutto simile a quella dei modi TM. Si ottiene:

ψ(r, φ) = (B₁cos nφ + B₂sin nφ)J_n(k_tr) (3.88) La condizione al contorno, in questo caso, impone che per r = a sia:

n · ∇tψ = 0 (3.89)

(per r = a). Quindi:

dJ_n(k_tr) dr

    _r=a

= 0 (3.90)

k_t= p⁰_nm

a (3.91)

p⁰_nm `e il massimo (o minimo) di ordine m della funzione di Bessel di ordine n. Gli andamenti delle prime due funzioni di Bessel sono mostrati in Figura 3.6.

I primi valori pi`u bassi di p_nm e p⁰_nm sono mostrati nella tabella 3.1:

p_nm p⁰_nm

m = 1 m = 2 m = 3 m = 1 m = 2 m = 3

n n

0 2.40 5.52 8.65 0 3.83 7.02 10.17

1 3.83 7.02 10.17 1 1.84 5.33 8.54

2 5.13 8.42 11.62 2 3.05 6.71 9.97

Tabella 3.1

Si osserva che, poich`e dJ₀/dx = −J₁(x), p_1m= p⁰_0m . Pertanto i modi TE_0m e TM_1m sono degeneri.

Tenendo conto delle 3.85, 3.86, 3.91 il modo fondamentale risulta essere il TE11; successivamente si ha il TM₀₁.

Il modo fondamentale

Analizziamo ora pi`u in dettaglio il modo fondamentale TE₁₁. Partiamo dalla 3.88 supponendo, temporaneamente, di avere B₂ = 0 . Si ha:

H_z = k_t11² jωµ◦

B₁ cos φ J₁(p⁰₁₁r

a ) exp (∓jβ₁₁z) H_t= −jβ₁₁

k_c11² ∇_tH_z = ±β₁₁ ωµ◦

B₁[−jβ₁₁ k_c11²

p⁰₁₁

a J₁⁰(p⁰₁₁r

a ) cos φr_◦ + jβ₁₁

rk²_c11J₁(p⁰₁₁r

a ) sin φφ_◦] exp (∓jβ₁₁z)

E_t = −Z_{W 11}z◦× H_t (3.92)

con

Z_{W 11} = k

β₁₁η (3.93)

H_r ed E_φ si annullano per r = a. Alle 3.92 corrispondono le linee di flusso dei campi E_t (linea continua) ed H_t (linea tratteggiata) mostrate in Figura 3.7.

Le linee di flusso del campo E_t hanno asse di simmetria parallelo all’asse x come conseguenza della scelta B₂ = 0. Scegliendo B₁ = 0 l’asse di simmetria sar`a parallelo all’asse y. In generale, l’orientazione dell’asse di simmetria dipender`a dal rapporto B₂/B₁ . Qualora fosse B₂ = ±jB₁ l’ intera configurazione di campo disegnata in Figura 3.7 ruoterebbe intorno all’ asse della guida con una velocit`a angolare uguale alla pulsazione dell’ onda. La corrispondente polarizzazione di E<sub>t</sub> sarebbe allora circolare sull’ asse della guida, lineare sulle pareti (normale ad esse), ellittica nelle zone intermedie. Uno schema di questa polarizzazione `e mostrato in Figura 3.8.

3.3 Guide d’onda terminate

Supponiamo, per semplicit`a, che si propaghi il solo modo fondamentale, e che la guida non sia illimitata, ma chiusa su un carico. Il carico pu`o rappresentare un’antenna o un altro dispositivo

a microonde. Chiamiamo C_nm⁺ il coefficiente di ampiezza associato al modo che si propaga dalla guida verso il carico (sar`a, per esempio, un TE₁₀ in guida rettangolare o un TE₁₁ in guida circolare).

All’interfaccia tra guida e carico saranno in genere presenti riflessioni, per cui lo stesso modo si propagher`a anche dal carico verso la guida con coefficiente d’ampiezza C<sub>nm</sub><sup>−</sup> . (Essendo il carico passivo, dovr`a essere |C_nm⁻ | ≤ |C_nm⁺ |). Il rapporto C_nm⁻ /C_nm⁺ pu`o essere trattato in modo analogo al rapporto V<sup>−</sup>/V<sup>+</sup> che si ha su una classica linea di trasmissione terminata. Si pu`o definire il coefficiente di riflessione in tensione, dato da:

Γ_{V L}= C_nm⁻

C_nm⁺ (3.94)