Capitolo 2 CENNI DI TEORIA DELL’AFFIDABILIT `A

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Capitolo 2

CENNI DI TEORIA

DELL’AFFIDABILIT `

A

La valutazione delle caratteristiche di vita di un prodotto `e una stima: analizzando il compor-tamento di un campione si cerca di valutare quello della popolazione in esame. La statistica ricopre un ruolo fondamentale nello studio dell’affidabilit`a: molti problemi sono riconducibili all’analisi quantitativa di informazioni quali il tempo medio al guasto.

Il presente capitolo è dedicato alla presentazione delle funzioni e delle distribuzioni di probabilità più utilizzate in questo campo.

2.1 Affidabilit`

a: concetti di base

2.1.1 La funzione di affidabilit`

a

L’affidabilità è la probabilità che, ad un dato livello di confidenza, un prodotto di determinata età riesca ad eseguire in modo soddisfacente e senza guastarsi i compiti per cui è stato progettato per un preciso intervallo temporale se utilizzato nei modi, negli scopi e nelle condizioni operative previste. La funzione di affidabilità è una funzione probabilistica data dal rapporto tra il numero di eventi favorevoli ed il numero di eventi totali o, meglio, dal rapporto tra il numero di missioni1 _{concluse con successo e il numero totale di missioni}

intraprese:

Affidabilit`a = ˆ¯R(t) = NS(t) NT(t)

(2.1)

Il numeratore può essere scritto anche in altra forma ottenendo una seconda definizione di affidabilità: ˆ¯ R(t) = NT(t) − NF(t) NT(t) = 1 − NF(t) NT(t) = 1 − ˆ¯Q(t) (2.2) o anche ˆ¯ R(t) = 1 − Inaffidabilità

1_{Il termine “missione” utilizzato al posto di “ciclo d’uso” a cui si sottopone il prodotto oggetto dello}

studio di affidabilit`a deve il suo largo impiego alle origini militari di questa branca dell’ingegneria.

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Figura 2.1: Rappresentazione grafica della funzione di affidabilit`a [45]

dove NF(t) `e il numero delle missioni fallite (Figura 2.1). ˆ¯R(t) `e solo una stima date le limitate

dimensioni del campione preso in considerazione e si avviciner`a al valore vero dell’affidabilit`a nel caso in cui il numero totale delle missioni tenda a infinito:

lim

NT→∞

ˆ¯

R(t) = R(t) = Vera affidabilit`a.

La condizione NT → ∞ pu`o essere ottenuta se molti campioni, M in numero e ciascuno

di numerosit`a N , sono testati in termini affidabilistici. In tal caso si avr`a

ˆ¯ R(t) = PN i=1 NSi(t) M × N = NS(total) NT(total)

da cui si deduce che quanto più in fretta M × N → ∞, tanto più velocemente ˆ¯R(t) → R(t). Cominciando una missione con unità “nuove”, cioè con età T = 0, il valore dell’affidabilità sarà inizialmente pari ad uno:

NS(t = 0) = NT(t) da cui ˆ¯ R(t = 0) = NT(t) NT(t) = 1.

Questa è un’affidabilità “condizionale” dato che, all’inizio della missione, si supporrà che tut-to l’equipaggiamentut-to sia in ottime condizioni e prontut-to ad essere messo in funzione. Se NS(t)

missioni sono completate con successo, la definizione di affidabilit`a 2.1 `e ancora condizionale in quanto si ha la dipendenza dal tasso di sopravvivenza a fine missione.

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2.1. AFFIDABILIT `A: CONCETTI DI BASE 7

2.1.2 Intervalli di confidenza

(a) Limite di confidenza inferiore (b) Limite di confidenza superiore

Figura 2.2: Limiti di confidenza unilaterali [45]

Le variabili statistiche sono espresse in

ter-Figura 2.3: Limite di confidenza bilaterale [45]

mini di intervalli a cui si associa una percentuale detta “livello di confidenza” e indicata con 1 − α con α compreso tra 0 e 1: in questo modo si esprime la probabilit`a che il vero valore di un parametro stimato risieda tra due numeri detti limiti inferiore e superiore. Essi possono esse-re calcolati, non appena sia nota la distribuzione del parametro da determinare, in modo pi`u o me-no semplice mediante l’uso di opportune tavole o metodi di stima.

Nel campo dell’affidabilit`a il livello di confi-denza assume notevole importanza e pu`o presen-tarsi in tre forme:

Caso unilaterale - Limite inferiore: la confidenza 1 − α è pari alla probabilità che la vera affidabilità sia uguale o maggiore del limite inferiore RL (Figura 2.2(a)), o anche

P (R > RL) = LC = Livello di Confidenza = 1 − α;

Caso unilaterale - Limite superiore: il livello di confidenza rappresenta la probabilit`a che il vero valore dell’affidabilit`a sia minore o uguale al limite superiore RU

(Figu-ra 2.2(b)):

P (R < RU) = LC = 1 − α;

Caso bilaterale: il grado di confidenza esprime la probabilit`a che la vera affidabilit`a sia compresa tra il limite superiore e il limite inferiore (Figura 2.3):

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In sede di progetto non è sufficiente la sola definizione di un obiettivo circa il valore della funzione di affidabilità di un prodotto, ma si dovrà specificare un livello di confidenza per valutare il rischio associato a tale affidabilità. Generalmente il limite superiore viene trascurato in quanto quello inferiore è ritenuto più significativo nel dare una garanzia circa il minimo numero di missioni effettuabili con successo.

2.1.3 Tipi di guasto

L’affidabilit`a di un prodotto `e legata ai guasti che possono verificarsi su di esso: lo studio dei modi di guasto e delle loro root-causes permette di raccogliere valide informazioni circa il fattore di rischio di un progetto. Sono tre le principali famiglie di failures2:

guasti giovanili che avvengono nei primi istanti di vita del prodotto;

guasti casuali che si presentano durante la vita utile;

guasti di anzianit`a che si verificano una volta raggiunti i limiti di durata del prodotto.

Le cause di guasto non sono sempre le medesime e sono legate all’età del prodotto. Allo stesso modo, l’importanza di mettere in pratica opportune azioni correttive non è mai la stessa: i guasti giovanili dovrebbero essere eliminati (soprattutto per motivi di soddisfazione del cliente ed immagine dell’azienda) mentre le cause che portano a guasti di anzianità sono spesso trascurate a causa degli enormi costi da sostenere che non sempre portano ad un significativo aumento della qualità percepita del prodotto.

Esempi tipici di cause che determinano guasti di giovent`u possono essere:

• scarsa qualità del processo produttivo; • scarsa efficacia dei controlli di qualità; • impiego di componenti di bassa qualità;

• impiego di componenti danneggiati durante l’handling; • errore umano;

• installazione errata; • avviamento improprio.

Il numero di guasti casuali dovrebbe mantenersi inferiore alla specifica di affidabilit`a stabilita in sede di progetto richiedendo un attento monitoraggio del processo di progettazione e produzione. Tra le cause di questi tipi di guasto si possono individuare:

• impiego di fattori di sicurezza non adeguati;

• presenza di carichi variabili di intensit`a superiore a quella prevista in sede di progetto;

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• scarsa qualit`a dei materiali impiegati; • cattivo impiego del prodotto;

• modi di guasto che non sono stati individuati durante il debugging o la manutenzione preventiva;

• cause inspiegabili; • disastri naturali.

I guasti di anzianit`a sono caratteristici di un prodotto ormai giunto a fine vita ed `e per questo che fra le loro cause si possono annoverare:

• usura;

• rottura a fatica; • corrosione;

• deterioramento delle superfici di contatto e dei collegamenti; • scarsa manutenzione;

• scarsa attenzione ai requisiti di durata in fase progettuale.

I guasti possono essere catalogati in cinque grandi famiglie in base alla loro gravit`a:

1. catastrofici;

2. dovuti alla degradazione;

3. dovuti a scostamenti;

4. intermittenti;

5. combinazioni dei casi precedenti.

Del primo tipo fanno parte quelle cause impredicibili che portano al fermo improvviso del sistema e che sono da evitare quando la conformità del componente in esame è fondamentale in termini di funzionalità e sicurezza. La degradazione si presenta con leggere variazioni nelle performances che non possono essere corrette se non sostituendo il componente che le causa. I guasti dovuti agli scostamenti sono simili a quelli causati dalla degradazione ma con possibilità di ripristino delle condizioni iniziali con, ad esempio, un semplice fermo macchina: la rottura viene raggiunta in condizioni di uso prolungato e può essere evitata con un monitoraggio accurato. Le cause intermittenti sono caratterizzate da deviazioni che appaiono e scompaiono in modo casuale: ciò crea difficoltà nell’individuazione del motivo che genera gli scostamenti che spesso è da ricercare in connettori installati in modo incorretto o da circuiti stampati con saldature deboli.

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Figura 2.4: Esempio di curva “vasca da bagno” [46]

2.1.3.1 La “bathtub curve”

La bathub curve, letteralmente curva “vasca da bagno”, rappresenta efficacemente i tre momenti principali della vita di molti tipi di prodotto (Figura 2.4):

• giovinezza; • periodo di uso; • anzianit`a.

Il periodo d’uso è quello in cui compaiono principalmente i guasti casuali, nella gioventù si verificano le failures tipiche del rodaggio mentre negli ultimi istanti di operatività sarà più frequente individuare modalità di guasto tipiche dell’usura del prodotto. Naturalmente, le ti-pologie di modi di guasto non sono da racchiudere nella finestra temporale che caratterizzano dato che possono presentarsi anche in momenti differenti.

2.1.4 Effetti dell’et`

a

L’affidabilità, come si intuisce dall’equazione 2.1, dipende dall’età a cui si misura. Matema-ticamente ciò è meglio espresso dalla

R(T, t) = R(T + t)

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che esprime l’affidabilità di un prodotto per una missione di durata t a partire dall’istante T (valore che esprime la durata accumulata fino a quel momento), come il rapporto tra l’affida-bilità all’istante (T + t) e l’affidabilità all’età T . L’equazione 2.3 è detta anche “Affidabilità Condizionale”.

2.1.5 Effetti della durata di missione

Quando si specifica un valore di affidabilità in sede di progetto, si deve definire anche il periodo di tempo in cui esso può essere garantito, il t che compare nell’equazione 2.3. Per garantire un’elevata affidabilità, si devono impiegare una durata esente da guasti molto breve e un’attenta analisi al termine della missione per confermare ottime condizioni operative per l’uso successivo. Dato che questo controllo non è quasi mai possibile, l’affidabilità del prodotto tenderà a diminuire con l’uso.

`

E necessario, fin dalla progettazione, cercare di ridurre il tasso di guasto e fare in modo che il prodotto venga impiegato durante il periodo di vita utile oppure prevedere l’impiego di ridondanze nel caso di componenti critici3_.

In termini di curva vasca da bagno, il legame tra affidabilità e tempo è chiaro: la proba-bilità di successo va aumentando fino ad assestarsi al valore di progetto per il periodo d’uso, cioè il momento in cui il tasso di guasto è prevalentemente costante. In seguito si avrà un aumento delle probabilità di guasto a causa dell’insorgenza di problemi di usura e la funzione di affidabilità tenderà a zero.

2.1.6 Effetti del livello di stress

Sebbene non sia direttamente deducibile dalla 2.1, l’affidabilità è caratterizzata dal livello di stress a cui il prodotto viene sottoposto. Questo legame può essere verificato tramite le curve vasche da bagno di uno stesso prodotto sollecitato in modo differente: sottoponendo un sistema a livelli di stress superiori a quanto previsto in sede progettuale, gli effetti dell’usura compariranno in anticipo riducendo il valore medio di vita attesa.

`

E importante definire attentamente i carichi di progetto: spesso le specifiche si limitano a considerare solo quelli che compaiono durante il normale uso del prodotto (carichi di servizio, carichi di attrito, inerzie, . . . ), ma quasi mai si fa riferimento agli stress ambientali in quanto caratterizzati da enorme variabilit`a. In termini matematici, l’attenzione a tali stress viene introdotta mediante l’uso di coefficienti correttivi Kcorrettivo4 _{che rappresentano il rapporto}

tra la durata prevista in condizioni di progetto e quella ottenibile nelle condizioni di “field”5_.

Un modo per valutare il periodo di vita utile di una popolazione sotto osservazione diventa dunque quello di calcolare il tasso di guasto previsto e poi correggerlo con questi fattori:

λeffettivo = λprevisto × Kcorr.

I coefficienti possono essere ottenuti sia ricorrendo a test di laboratorio, sia riferendosi alla vasta letteratura in merito [8] [9] [10].

3_{Si pensi ai sistemi di sicurezza delle centrali nucleari o degli aeroplani in cui si impiegano numerosi}

circuiti secondari in parallelo da attivare prontamente in caso di malfunzionamento dei primari.

4_{L’impiego di questi fattori `}_{e molto diffuso tra i tecnici che effettuano prove accelerate di durata al fine}

di determinare la durata attesa per un prodotto con elevati standard di affidabilit`a (vedi anche Capitolo 3).

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2.2 Le cinque funzioni analitiche fondamentali

Le principali funzioni analitiche impiegate nell’ambito affidabilistico sono cinque:

densit`a di probabilit`a di guasto f (T ), con la quale si determina il numero di guasti che si avranno in un certo intervallo di tempo in riferimento alla popolazione originale;

tasso di guasto λ(T ), che permette di calcolare il numero di guasti che si avranno in un’u-nit`a di tempo in riferimento al numero di prodotti ancora funzionanti esistenti all’inizio di tale periodo;

affidabilità R(T ), con la quale si può stabilire la probabilità che una missione di una durata specificata venga portata a compimento con successo;

affidabilità condizionale R(T, t), che consente di determinare la probabilità con cui un prodotto sopravvissuto ad una o più missioni di durata nota può concludere con successo una nuova missione di lunghezza specificata;

la funzione di vita media ¯T , che fornisce una misura della durata media dell’uso di un prodotto prima che si verifichi un guasto.

La conoscenza di queste funzioni permette la risoluzione di quasi tutti i problemi legati all’affidabilit`a di un prodotto.

2.2.1 La funzione di densit`

a di probabilit`

a

Il lavoro di un ingegnere dell’affidabilit`a comincia con la raccolta dei tempi6 _{al guasto di un}

prodotto messo in operativit`a sotto le condizioni d’uso previste dalla sua specifica. Queste informazioni dovranno essere accuratamente riorganizzate in indicatori come la media, la mediana, la moda e la deviazione standard: la statistica ricopre un ruolo fondamentale nell’analisi dell’affidabilit`a in quanto mette a disposizione gli strumenti adatti a trattare le informazioni che si possono ottenere nei test.

La funzione statistica più importante, dalla quale derivano tutte le altre, è la Probability Density Function (PDF); nel caso dell’analisi dei guasti, tale funzione può essere ricavata dai dati raccolti basandosi sulla relazione 2.1. Derivando rispetto al tempo T si ottiene:

d[R(T )] dT = − 1 NT d[NF(T )] dT , dove il termine d[NF(T )]

dT indica il numero dei guasti che si verifica all’istante T in dT e il

termine a destra esprime il numero totale dei guasti istantanei in base alla popolazione originale all’istante T . La densit`a di guasto istantanea vale:

f (T ) = 1 NT

d[NF(T )]

dT (2.4)

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2.2. LE CINQUE FUNZIONI ANALITICHE FONDAMENTALI 13

e pu`o essere rappresentata su un grafico ponendo sulle ascisse i tempi T in modo che si possa scrivere d[R(T )] dT = −f (T ) , con dT → 0 o anche f (T ) = −d[R(T )] dT . (2.5)

La PDF di guasto `e data dall’opposto della derivata temporale della corrispondente funzione di affidabilit`a:

f (T )dT = −d[R(T )] da cui, integrando da entrambe le parti,

Z T1 0 f (T ) dT = − Z R(T1) 0 d[R(T )] = 1 − R(T1). (2.6) Dato che _Z _∞ −∞ f (T ) dT = 1

e, visto che f (T ) è una funzione di densità di probabilità, si può scrivere

Z T1 −∞ f (T ) dT + Z ∞ T1 f (T ) dT = 1 o anche 1 − Z ∞ T1 f (T ) dT = Z T1 −∞ f (T ) dT = Z T1 0 f (T ) dT . (2.7)

Si noti che il membro a destra si pu`o calcolare solo qualora venga considerato un tempo positivo.

Sostituendo l’equazione 2.7 nella 2.6 si trova

Z ∞

T1

f (T ) dT = R(T1) (2.8)

che permette di dire che l’area sottesa alla PDF in un intervallo compreso tra T1 e ∞ fornisce

il valore di affidabilità che avrà il prodotto in esame quando intraprenderà una missione di durata T1 partendo dall’età zero. Si può scrivere anche

Z T1

−∞,γ,0

f (T ) dT = Q(T1) (2.9)

da cui si conclude che l’area sottesa alla PDF calcolata a partire da −∞, γ o 0 fino a T1 fornisce il valore della funzione di inaffidabilità per l’intervallo, cioè la probabilità che

il prodotto si guasti durante una missione di durata T1 iniziata all’istante di vita uguale

al limite inferiore dell’integrale. Se ne deduce che la funzione di affidabilit`a e quella di inaffidabilit`a siano i soli due eventi da considerare in quanto

R(T1) + Q(T1) = 1

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Derivando la 2.9 rispetto al tempo si ottiene

f (T ) = d[Q(T )] dT

da cui si pu`o ricavare la PDF di un prodotto anche mediante la derivata temporale della funzione di inaffidabilit`a.

Piuttosto che ottenere direttamente la f (T ) è preferibile valutarne una media raccoglien-do i dati in gruppi temporali e calcolanraccoglien-do le stime locali che tenderanno al vero valore della PDF all’aumentare della numerosità del campione e al diminuire dell’ampiezza dell’intervallo ∆T1. Ne segue che la PDF media all’istante T1, ˆ¯f ( ¯T1), è data da

ˆ¯ f ( ¯T1) = NF h ¯ T1− 1₂∆T1 , ∆T1 i NT × ∆T1 = = NS ¯ T1− 1₂∆T1 − NS ¯ T1+1₂∆T1 NT × ∆T1

dove NF(∆T1) `e il numero di guasti che avvengono in un intervallo ∆T1all’et`a ¯T1. Utilizzando

l’equazione 2.4, si ottiene la stima delle medie degli intervalli ∆Ti, ¯Ti.

In questa sede non si esaminer`a la Cumulative Density Function CDF rimandando alla letteratura in merito [25]. Ci si limita a dire che essa si ottiene sommando le frequenze di guasto Ni di ciascun gruppo temporale:

CDF = F (Tn) = N1+ N2+ · · · + Nn

dove Tn `e il limite superiore della n-esima classe temporale. Se la distribuzione `e definita

nell’intervallo [−∞, Tb], dove Tb`e il limite inferiore della classe temporale successiva a quella

presa in esame, si pu`o scrivere

F (Tb)00=

Z T_b

−∞ f (T ) 00

dT, (2.10)

dove f (T )00 `e la funzione di distribuzione di frequenza per ampiezza di classe unitaria data da f (T )00 = f (T )N o anche f (T )00 = f (T ) 0 w

con w pari all’ampiezza della classe temporale considerata e f (T )0 = f (T )N w dove N è la numerosità del campione in esame e f (T )0 è definita come funzione di distribuzione di frequenza (da non confondersi con la funzione di densità di probabilità). Qualora T ∈ [0, Tb],

l’equazione 2.10 diventer`a

F (Tb)00=

Z Tb

0

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2.2.1.1 Le propriet`a di interesse

I concetti di “tendenze centrali”7 e di “varianza” permettono di descrivere l’andamento delle curve in esame e forniscono una veloce indicazione circa lo stato della distribuzione: le proprietà di maggior interesse derivano dal mondo della statistica e sono di seguito riassunte. Media Il valore più rappresentativo di una distribuzione è il valore atteso definito come

E(x) =

Z ∞

−∞

xf (x)dx = µ (2.11)

dove x è una variabile aleatoria caratterizzata da una PDF f (x). Nel caso specifico dell’affidabilità, si può scrivere la 2.11 come

E(T ) = ¯T =

Z ∞

0

R(T )dT (2.12)

con ovvio significato di simbologia.

Mediana In un set di dati, la mediana ˘T è il valore assunto dal punto di mezzo della distribuzione o, anche, il valore dell’osservazione centrale. Ordinando in modo crescente gli N dati a disposizione, nel caso di N dispari la mediana corrisponderà al valore che cadrà al centro mentre, nel caso di un N pari, si dovrà prendere la media tra l’osservazione N₂ e N₂ + 1. Se invece i dati fossero raggruppati, la mediana risulterebbe da ˘ T = TM + N1 N2 w = TM + TA

dove TM rappresenta il numero della classe precedente a quella contenente la mediana,

w l’ampiezza della classe, N2il numero di elementi nella classe mediana e N1la

frequen-za in tale classe calcolata come N1 = FM − FP, dove FM `e la frequenza cumulativa

calcolata fino all’osservazione mediana e FP la frequenza cumulativa fino alla classe

mediana. Il risultato pu`o essere leggermente differente da quello ottenuto nel caso di dati non raggruppati in quanto si assume che le osservazioni nella classe mediana siano uniformemente distribuite. Nel caso di PDF continua si pu`o scrivere anche

Z T˘

0

f (t) dt = 0.5. (2.13)

Il valore della mediana diventa significativo quando la distribuzione non `e simmetrica in quanto si tratta di un parametro che, a differenza della media, `e insensibile alle osservazioni che si dispongono agli estremi della curva.

Moda La moda ˜T rappresenta il valore con maggiore ricorrenza. Nel caso di dati non rag-gruppati coincide con l’osservazione a più alta frequenza mentre per i dati raggruppati si può utilizzare la media della classe che contiene il maggior numero di elementi. La moda, come la mediana, non è affetta dalle osservazioni estreme e può essere definita anche come quel valore di T tale che

d[f (T )]

dT = 0, (2.14)

cioè quel valore di T per cui si ha un massimo nella funzione di densità di probabilità.

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Deviazione standard La varianza `e il momento centrale del secondo ordine ed `e una mi-sura della dispersione della PDF. Data la definizione di momento del k-esimo ordine attorno all’origine come

µk = E(xk) =

Z ∞

−∞

xkf (x) dx,

la varianza si ottiene come

µ2 = V ar(x) = σ2 = E[x − µ]2 =

Z ∞

−∞

(x − µ)2f (x) dx (2.15)

dove µ rappresenta la media della PDF continua f (x). Le equazioni viste possono essere estese anche al caso di PDF discreta sostituendo il simbolo di integrale con una sommatoria. Una stima della varianza µ2 pu`o essere ottenuta con:

ˆ µ2 = ˆσ2 = 1 N N X i=1 x2_i − 1 N2 N X i=1 xi !2 .

Qualora si abbia a che fare con campioni con N < 25 conviene impiegare la seguente espressione: s2 = N PN i=1 x2i − PN i=1 xi 2 N (N − 1) = = PN i=1 x2i − N (¯x)2 N − 1

dove ¯x `e la stima della media della PDF ottenuta come media aritmetica delle osser-vazioni: ¯x = _N1 PN

i=1 xi.

2.2.2 La funzione “tasso di guasto”

La seconda funzione fondamentale nel campo dell’affidabilità è la funzione tasso di guasto, λ(T ), che fornisce la relazione tra l’età di un prodotto e la frequenza dei suoi guasti. Essa permette di costruire la curva vasca da bagno e di calcolare la funzione di affidabilità e di densità di probabilità.

Una stima di λ(T ) si pu`o ottenere con

ˆ ¯

λ(T ) = NF(∆T ) NB(T ) × ∆T

(2.16)

dove NF(∆T ) `e il numero di unit`a che si sono guastate nell’intervallo di tempo tra T e ∆T ,

mentre NB(T ) è il numero di unità ancora funzionanti all’istante T . ∆T è l’incremento di

tempo durante il quale NF(∆T ) unit`a hanno smesso di funzionare. Si noti che ˆλ(T ) varia¯

con ∆T e che per ottenere la vera funzione tasso di guasto `e necessario fare in modo che NB(T ) → ∞ e che ∆T → 0.

Un raffinamento della 2.16 `e dato da

ˆ ¯

λ(T ) = NF(∆T )

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dove si eliminano dal numero di unit`a iniziali NB quei prodotti che si sono guastati durante

l’intervallo ∆T ma rimane la dipendenza dalla dimensione dello stesso. Per ∆T → 0 si ottiene il tasso di guasto istantaneo

λ(T ) = 1 NB(T )

d[NF(T )]

dT (2.17)

o, moltiplicando e dividendo per il numero di prodotti in esame N e riordinando i termini,

λ(T ) = 1 NB(T )/N ( 1 N d[NF(T )] dT ) . (2.18)

Utilizzando le equazioni 2.1 e 2.4 per membro sinistro e quello destro della 2.18 si trova:

λ(T ) = f (T )

R(t), (2.19)

cioè la funzione tasso di guasto istantanea o “tasso di rischio”: se si suppone di calcolare la funzione di affidabilità R(T ) tramite la 2.8, il tasso di guasto può essere calcolato con la 2.19 conoscendo la sola funzione di densità di probabilità f (T ).

2.2.3 La funzione di affidabilit`

a

La funzione di affidabilità, R(T ), fornisce la relazione tra l’età di un prodotto e la probabilità che l’unità sopravviva fino all’istante T avendo iniziato la propria missione all’età zero.

Per un determinato valore di T , una stima della media della funzione di affidabilità ˆ¯R(T ) per un set di prodotti omogenei soggetti a test di durata (o comunque i cui parametri di affidabilità siano monitorati durante il loro impiego) è data dall’equazione 2.1, cioè dalla

ˆ¯

R(T ) = NS(T ) NT(T )

.

Considerando il fatto che la cumulata di frequenza relativa è la probabilità di guasto fino ad una certa età, la stessa stima può essere ottenuta con

ˆ¯

R(T ) = 1 − ˆ¯Q(T )

dove ˆ¯Q(T ) è la stima di tale cumulata o anche la stima della funzione di inaffidabilità. La relazione tra la funzione di affidabilità e la PDF è stata già vista in precedenza con l’equazione 2.5 che mostra come la funzione di densità sia ottenibile da quella di affidabilità derivando quest’ultima rispetto al tempo e cambiando il segno del risultato. In questo modo si può generalizzare la relazione tra la funzione di inaffidabilità e quella di affidabilità:

R(T1) = Z ∞ T1 f (T )dT = 1 − Z T1 −∞ f (T )dT = 1 − Q(T1).

L’affidabilità si può definire come la probabilità che l’istante di guasto T del prodotto sia uguale o maggiore alla durata della missione T1, o anche

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relazione ricavabile dalla

R(T1) =

Z ∞

T1

f (T )dT

in quanto la probabilit`a espressa dalla 2.20 `e data dall’area sottesa alla PDF dei tempi dei guasti avvenuti prima dell’istante T1.

La relazione con il tasso di guasto si ottiene riscrivendo l’equazione 2.19 come

λ(T )dT = −d[R(T )]

R(T ) = −d{ln[R(T )]}

che, integrata, fornisce

Z T 0 λ(T )dT = − Z R(T ) 1 d[R(T )] R(T ) = = − ln[R(T )] |R(T )₁ = = − ln[R(T )] − [− ln(1)] = = − ln R(T ) da cui si ricava R(T ) = e−R T 0 λ(T )dT (2.21)

che è chiamata “funzione di affidabilità generalizzata” in quanto è valida per tutte le funzioni tasso di guasto e tutte le PDF a loro associate: una volta nota la funzione λ(T ) di un prodotto `

e possibile, tramite la 2.21, determinare la funzione R(T ) senza passare per il calcolo della funzione di densit`a di probabilit`a.

2.2.4 La funzione di affidabilit`

a condizionale

Figura 2.5: Visualizzazione grafica del concetto di affidabilit`a condizionale [45]

Si parla di affidabilità condizionale se un’unità ha già accumulato T ore di funzionamento e si desidera stabilire la sua affidabilità per una nuova missione di t ore: questa funzione permette di valutare la probabilità di sopravvivere ad una missione di durata (T + t) consi-derata uguale alla probabilità di sopravvivere ad una missione di durata T più una missione addizionale di durata t. In termini matematici

(15)

da cui, risolvendo per R(T, t), si ottiene la forma

R(T, t) = R(T + t)

R(T ) (2.22)

dove R(T, t) è l’affidabilità valutata a t ore dopo un’operatività di T ore senza guasti (Figura 2.5).

La funzione di affidabilità condizionale è impiegata nella stima del numero di unità NS(T )

da utilizzare in una missione per avere la certezza che almeno NS(T + t) siano ancora in

buone condizioni al termine di essa o per valutare il numero di unit`a NS(0) iniziali perch´e al

termine di una nuova missione ne siano sopravvissute NS(T + t). Dalla 2.22 si pu`o ricavare

R(T, t) = NS(0) NS(0) R(T + t) R(T ) = NS(T + t) NS(T ) da cui segue NS(T ) = NS(T + t) R(T, t) . Inoltre, sempre dalla definizione,

NS(0) = NS(T + t) R(T + t) o anche NS(0) = NS(T + t) R(T ) × R(T, t).

Il numero di unit`a che si guasteranno durante la nuova missione pu`o essere valutato con

NF(T, t) = N × M × Q(T, t)

dove N rappresenta il numero delle unit`a iniziali ed M le nuove missioni intraprese.

2.2.5 La funzione “vita media”

Per “vita media” si intende il tempo atteso prima che si verifichi un guasto8 _{su un insieme}

di unit`a identiche ed operanti nelle stesse condizioni ambientali ed operative. In termini matematici, la vita media ¯T `e data da

E(T ) = ¯T = Z ∞ γ T f (T )dT (2.23) con − ∞ < γ < ∞, − ∞ < T < ∞ e f (T ) ≥ 0, per T ≥ γ, altrimenti 0.

Una forma pi`u semplice `e data da

E(T ) = ¯T = γ +

Z ∞

γ

R(T )dT .

(16)

La vita media è anche chiamata Mean Time Between Failures (MTBF) o anche Mean Time To Failure (MTTF). L’espressione MTBF è impiegata per quelle unità che sono riparabili, cioè tali da poter essere riutilizzate in seguito ad un intervento atto a recuperarne la funzionalità, mentre lo MTTF è impiegato quando le unità non sono riparabili o quando si tratta di prodotti “usa-e-getta” e identifica quei casi in cui esiste un solo periodo di operatività fino al primo ed unico guasto che può avere luogo9.

2.3 Tipi di dati

Figura 2.6: Esempio di set di dati completi [45]

La qualit`a, l’accuratezza e la completezza delle informazioni raccolte sono fondamentali per una buona trattazione statistica: buoni dati, assieme ad una saggia scelta del modello matematico che meglio li caratterizza, permettono di raggiungere conclusioni non affette da grandi incertezze. In ambito affidabilistico per “dati” si intendono i tempi al guasto forniti dai test e dagli studi condotti ma, spesso, queste informazioni non sono come le si vorrebbero: per questo motivo si suole fare distinzione tra dati completi e censurati.

Dati completi Nel caso in cui sia conosciuto, per ognuna delle unità in esame, l’esatto istante di guasto, si parla di dati completi (Figura 2.6). Ad esempio, nel caso in cui fossero sottoposte a test cinque unità estratte a caso da una stessa popolazione, il set di dati sarà completo se si avranno informazioni complete circa l’istante di guasto di ciascuna.

(17)

2.3. TIPI DI DATI 21

Figura 2.7: Esempio di set di dati censurati a destra [45]

(18)

Figura 2.9: Esempio di set di dati censurati a sinistra [45]

Dati censurati Nella maggior parte dei casi si ha a che fare con dati incompleti, cio`e non si hanno informazioni circa l’esatto istante di guasto. Si parler`a dunque di dati censurati, tipologia che a sua volta si suddivide in tre possibili schemi: i dati censurati a destra10, dati censurati a intervallo e dati censurati a sinistra.

Normalmente i dati sono sospesi, situazione tipica in cui, pur essendo alcune unità anco-ra funzionanti, si decide di interrompere il test. Ad esempio, supponendo di testare cinque unità e ipotizzando di fermare la prova all’istante t quando solo tre di queste si sono gua-state, nulla si potrà dire circa l’istante in cui i due elementi ancora in buone condizioni si romperanno. L’espressione “censurato a destra” è indicativa di questa situazione in quanto l’evento di interesse, il guasto, avverrà in un qualche istante temporale successivo del valore a disposizione (Figura 2.7).

Il secondo tipo di dato censurato riflette l’incertezza circa l’esatto istante in cui si è verificato il guasto: la situazione tipica è quella in cui le unità in prova non vengono costan-temente monitorate. Come esempio si prenda quello in cui cinque unità vengono sottoposte a test durante il quale si procede ad un loro monitoraggio ogni x ore. In questo modo, se alla (i − 1)-esima verifica si rileva che un’unità è funzionante mentre alla i-esima si ottiene il contrario, si potrà dire solo che il guasto è avvenuto nell’intervallo temporale compreso tra (i − 1) × x e i × x ore. Maggiore è l’ampiezza dell’intervallo x, maggiore sarà l’incertezza (Figura 2.8).

I dati censurati a sinistra sono una derivazione dei dati censurati in intervallo: essi rappresentano il caso in cui non si conosce l’esatto istante di guasto di un’unit`a ma solo

(19)

2.4. I MODELLI STATISTICI 23

che esso ricade tra il momento dell’attivazione quello in cui è stato diagnosticato il guasto stesso. Ad esempio, potremmo notare dopo x ore di funzionamento che un’unità si è guastata ma, non avendola monitorata in alcun modo, nulla si potrà dire circa l’esatto momento in cui si è verificato questo evento se non che l’intervallo da considerare è compreso tra 0 e x. L’informazione è la stessa che si avrebbe nel caso dei dati censurati ad intervallo in cui l’estremo inferiore della classe temporale sia zero (Figura 2.9).

I dati censurati sono quelli che pi`u spesso si incontrano nelle analisi di affidabilit`a ed `

e necessario tenerne conto durante la definizione dei modelli matematici impiegati per la ricerca delle propriet`a dei prodotti in esame mediante l’ausilio di particolari tecniche di ordinamento dei dati.

2.4 I modelli statistici

Il modo migliore per rappresentare i dati raccolti durante le prove di affidabilità è quello di calcolare la loro funzione di densità di probabilità, da cui si possono ricavare informazioni concise e di facile interpretazione come la media e la varianza. Per questo motivo i modelli statistici con i quali si cerca di dare una descrizione accurata circa l’andamento dei tempi di guasto hanno grande importanza. Tra i più impiegati si possono annoverare i seguenti:

la distribuzione esponenziale: caratterizzata da un tasso di guasto costante che la rende la pi`u semplice in termini computazionali11_;

la distribuzione di Weibull: pu`o assumere, modificando il suo parametro di forma, le caratteristiche e l’andamento di altri tipi di distribuzioni rendendola adatta a rappre-sentare l’intero ciclo di vita di un prodotto;

la distribuzione normale: sebbene si adatti a rappresentare le vite di ben pochi prodotti, essa viene trattata per motivi legati alla sua diffusione nella pratica ingegneristica;

la distribuzione lognormale: viene impiegata per quei prodotti i cui modi di guasto siano imputabili alla fatica; come la Weibull, ha la facolt`a di modificare il proprio tasso di guasto rendendosi particolarmente versatile.

Nelle prossime pagine si proceder`a ad un’analisi pi`u dettagliata delle distribuzioni elen-cate cercando di fornire informazioni circa la valutazione dei parametri che le definiscono e di descriverne le principali caratteristiche in ambito affidabilistico.

2.5 La distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale `e comunemente impiegata nell’ingegneria dell’affidabilit`a in quanto essa rappresenta le popolazioni caratterizzate da un tasso di guasto costante. Questi tipi di guasto sono anche detti “guasti casuali”.

11_{Al punto da essere spesso utilizzata a sproposito solo per il fine di facilitare i calcoli delle propriet`}_a

(20)

2.5.1 La distribuzione esponenziale a singolo parametro

Figura 2.10: La distribuzione esponenziale [45]

La densità di probabilità esponenziale a singolo parametro è rappresentata dall’equazione (Figura 2.10) f (T ) = λe−λT = 1 me −_m1T_, _(2.24) T ≥ 0, λ > 0, m > 0 dove

λ = tasso di guasto costante = 1 m

con m pari allo MTBF o allo MTTF del set di dati, e uguale al numero di Eulero e con T rappresentante il tempo di operativit`a. L’espressione 1/λ fa le veci di un “parametro di scala” in quanto all’aumentare del valore di λ la distribuzione si allunga verso destra mentre alla sua diminuzione segue lo schiacciamento del grafico verso l’origine.

Questa distribuzione richiede la conoscenza di un solo parametro per poter essere definita: la vita media. Dato che il calcolo di tutte le sue proprietà principali è molto semplice e può essere condotto anche manualmente, l’esponenziale è molto utilizzata. Un’altra particolarità `

e legata al fatto che, come sarà più chiaro dal paragrafo 2.6, tale distribuzione è un caso particolare di quella di Weibull in cui il parametro di forma β è pari all’unità mentre quello di locazione γ è nullo.

(21)

2.5. LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE 25

Come suggerito nel paragrafo 2.2.1.1, non `e sufficiente mostrare l’andamento della f (T ) su un grafico, ma si devono fornire valori numerici riassuntivi sui quali poter basare le necessarie decisioni. Di seguito si riportano i valori pi`u importanti.

media: utilizzando la 2.24 nella 2.11 e nella 2.12 si ottiene:

E(T ) = Z ∞ −∞ T f (T )dT = Z ∞ 0 T λe−λTdT o E(T ) = Z ∞ 0 R(T )dT = Z ∞ 0 e−λTdT da cui E(T ) = 1 λ = m o anche ¯ T = m = 1 λ;

mediana: basandosi sulla 2.13, `e calcolabile come

Z T˘ 0 λe−λTdT = 0.5 da cui ˘ T = ln 2 λ = 0.693 λ = 0.693 ¯T = 0.693m;

moda: in base alla 2.14, dato che il tasso di guasto `e costante, si ricava che la moda `e l’origine:

˜ T = 0;

deviazione standard: basandosi sulla 2.15 e, dato che

E(T2) = Z ∞ 0 T2λe−λTdT = 2 λ2, si trova µ2 = V ar(T ) = σ2T = 2 λ2 − ₁ λ 2 = 1 λ2

da cui, tenendo conto che la varianza `e pari al quadrato della deviazione standard,

σT =

1 λ = m.

(22)

2.5.2 La distribuzione esponenziale a due parametri

La distribuzione a due parametri differisce da quella vista precedentemente per l’aggiunta di un parametro di locazione γ:

f (T ) = λe−λ(T −γ), (2.25)

f (T ) ≥ 0, λ > 0, T ≥ γ.

Questo modello si applica alle popolazioni che, messe in operativit`a nell’istante T = 0, funzioneranno senza problemi fino all’istante γ quando cominceranno a comparire i primi guasti casuali.

Le caratteristiche principali non subiscono grandi modifiche: si dovr`a tenere conto della comparsa del parametro di locazione e aggiornare quello di scala che diventa 1/λ = ¯T − γ = m − γ. Questo comporta uno spostamento del valore di inizio della distribuzione: non pi`u l’istante T = 0, ma T = γ in cui si ha il massimo valore di f (T = γ) = λ. L’andamento della PDF rimane il medesimo: f (T ) → 0 per T → ∞.

Per quanto riguarda i valori riassuntivi, si avr`a:

media: ¯ T = γ + 1 λ = m; mediana: ˘ T = γ + 0.6931 λ; moda: ˜ T = γ; deviazione standard: σT = 1 λ.

2.5.3 Le caratteristiche di affidabilit`

a

Nel caso della distribuzione a singolo parametro, la funzione di affidabilit`a (Figura 2.11) si pu`o calcolare con

R(T ) = e−λT = e−mT

che `e il complemento della funzione di distribuzione cumulativa, o anche

R(T ) = 1 − Q(T ) = 1 − Z T 0 f (T )dT = = 1 − Z T 0 λe−λTdT = e−λT.

Si noti come non convenga far compiere a prodotti caratterizzati da una simile distribu-zione delle missioni di durata pari allo MTBF: in tal caso si avrebbe R(M T BF ) = e−1 = 0.3679 = 36.79%, ossia che oltre un terzo delle unit`a non porterebbe a termine con successo la missione intrapresa.

(23)

Figura 2.11: Andamento della funzione di affidabilit`a per la distribuzione esponenziale [45]

La funzione di affidabilit`a condizionale pu`o essere scritta come

R(T, t) = R(T + t) R(T ) =

e−λ(T +t) e−λT = e

−λt

e la vita affidabile tR come

R(tR) = e−λtR

ln[R(tR)] = −λtR

tR = −

ln[R(tR)]

λ .

Per quanto riguarda la distribuzione esponenziale a due parametri la funzione di affida-bilit`a vale

R(T ) = e−λ(T −γ) = e−T −γm−γ,

la funzione di affidabilit`a condizionale

R(T, t) = R(T + t) R(T ) =

e−λ(T +t−γ) e−λ(T −γ) = e

(24)

Figura 2.12: Andamento del tasso di guasto nella distribuzione esponenziale [45]

e la vita affidabile

TR= γ −

ln[R(TR)]

λ

quando l’inizio del periodo di operativit`a coincide con T = 0. La durata della missione tR

che garantisce il desiderato obiettivo di affidabilità R(tR) dopo l’età T è data da

tR = ( −ln[R(tR)] λ , se T ≥ γ; (γ − T ) − ln[R(tR)] λ , se T < γ.

La prima equazione `e impiegata nel caso in cui la missione inizi in un istante successivo a γ mentre la seconda quando l’avvio avviene durante l’intervallo tra T = 0 e T = γ.

Il tasso di guasto `e dato da

λ(T ) = f (T ) R(T ) =

λe−λ(T −γ) e−λ(T −γ) = λ

(25)

2.5.4 Come determinare il tasso di guasto e il MTBF

I test possono essere effettuati in base a varie strategie; ciò comporta che il tasso di guasto e le altre proprietà della distribuzione esponenziale vengano stimati secondo diverse modalità, in funzione della tipologia di dati ottenuti.

Caso “campione di dimensione costante” Se la dimensione del campione rimane co-stante nel tempo, cio`e nel caso in cui le parti guaste sono sostituire con unit`a nuove12_,

si pu`o scrivere

Ta= N td

con Ta pari al numero totale di ore di operativit`a accumulate, N alla dimensione del

campione e td al tempo di durata del test. La stima dello MTBF `e data da

ˆ m = Ta

r = N td

r

dove r `e il numero di guasti osservati durante la prova.

Caso “nessuna sostituzione delle unit`a guaste” Se le unit`a che si sono guastate non vengono sostituite, le equazioni di riferimento diventano:

Ta = r X i=1 Ti+ (N − r)td ˆ m = Ta r = Pr i=1 Ti+ (N − r)td r

con medesimo significato di simboli.

Caso “misto” Supponendo di adoperare una politica in cui k unit`a guaste vengono so-stituite mentre le altre non vengono rimpiazzate, si dovranno utilizzare le seguenti espressioni: Ta = n X i=1 Ti+ (N − n)td ˆ m = Ta r = Pn i=1 Ti+ (N − n)td k + n

dove r = k + n rappresenta il numero dei guasti ed N0 = N + k il numero totale di unit`a che partecipano al test13_.

La casistica è infinita e qui si sono riassunti solo i casi più frequenti e significativi. In generale, l’obiettivo è quello di calcolare una stima di MTBF, cioè ˆm, tramite la quale la distribuzione è automaticamente determinata in quanto ˆλ = _m1_ˆ.

12_Purch´_{e appartenenti alla stessa popolazione e quindi caratterizzate dalla stessa PDF.}

13_{Si assume che le sostituzioni avvengano con unit`}_{a appartenenti alla stessa popolazione di quelle di}

(26)

Figura 2.13: Tavola di probabilit`a per la determinazione dei parametri della distribuzione esponenziale [45]

(27)

Figura 2.14: Esempio di determinazione dei parametri della distribuzione esponenziale tramite l’uso delle carte di probabilit`a [45]

(28)

Più spesso il tasso di guasto è determinato in base ad opportune carte di probabilità. Si può scrivere

R(T ) = e−λT = e−Tm

ln R(T ) = −λT

da cui, ponendo ln R(T ) = y e T = x, si ottiene l’equazione di una retta:

y = −λx.

Riportando i dati su apposite carte semilogaritmiche in cui R(T ) viene rappresentata sulla scala logaritmica delle ordinate e T sulla scala lineare delle ascisse (Figura 2.13), si potr`a affermare che la distribuzione di tipo esponenziale ben si presta alla rappresentazione del modello in esame nel caso in cui i dati ricadano con buona approssimazione su una linea retta. In tal caso, la stima di ˆm o ˆλ si ottiene:

1. entrando nel grafico al livello di R = 36.8%14 e leggendo il corrispondente valore di T ;

2. determinando la pendenza della retta mediante calcolo analitico15.

Per quanto riguarda la determinazione del parametro di locazione γ, sar`a sufficiente andare a valutare il valore di T a cui corrisponde un’affidabilit`a pari a R(T ) = 100%.

L’impiego delle carte di probabilit`a richiede che si calcoli, per ciascuno dei tempi di guasto a disposizione, una stima di R(Ti):

ˆ

R(T ) = 1 − ˆQ(T ) = 1 − M R

dove ˆQ(T ) `e una stima della funzione di inaffidabilit`a della popolazione in esame e M R sono i “median rank” (i ranghi mediani) che forniscono la migliore stima di Q(T ) con un livello di confidenza del 50%.

In termini pratici, si dovranno ordinare i tempi di guasto in modo crescente e, assegnato loro il corrispondente numero di guasto, si ricaver`a il valore di M R basandosi sulle tavole statistiche disponibili in letteratura [25] oppure utilizzando, nel caso di campioni di elevata numerosit`a, l’approssimazione di Benard

M R = j − 0.3

N + 0.4 (2.26)

dove j è il numero del guasto che si sta prendendo in considerazione ed N è la numerosità del campione16 _{(Figura 2.14).}

2.6 La distribuzione di Weibull

La distribuzione di Weibull è una delle più diffuse nell’ambito dell’ingegneria dell’affidabilità grazie alla sua versatilità: essa è in grado di modificare la propria forma ed adattarsi alla

14_{Valore relativo ad una distribuzione caratterizzata da un tasso di guasto λ = 1 e valutata all’istante}

T = 0.

15_Ci`_{o pu`}_{o essere fatto ricorrendo a metodi di regressione lineare (paragrafo 2.6.3).}

16_{Sebbene si specifichi che tale approssimazione vale per campioni di numerosit`}_{a superiore a 25, essa `}_e

(29)

2.6. LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL 33

Figura 2.15: Influenza del parametro di forma β sull’andamento della distribuzione di Weibull [45]

maggior parte dei set di dati. La PDF `e data da

f (T ) = β η T − γ η !β−1 e−(T −γη ) β , (2.27) con f (T ) ≥ 0, T ≥ γ, β > 0, η > 0, − ∞ < γ < ∞

dove β `e definito parametro di forma, η parametro di scala e γ parametro di locazione. Modificando il valore di β, la distribuzione cambia forma (Figura 2.15):

per 0 < β < 1 si ha una forma simile ad un ramo di iperbole;

per β = 1 la 2.27 assume la forma della distribuzione esponenziale a due parametri

f (T ) = 1 η e

−T −γ

η

γ ≥ 0, η > 0, T ≥ γ che pu`o essere scritta come

(30)

Figura 2.16: Influenza del parametro di scala η sull’andamento della distribuzione di Weibull [45]

dove 1/η = λ `e il tasso di guasto costante e η = 1/λ = ¯T −γ = m−γ con ¯T = m = η+γ;

per β > 1 la distribuzione assume una forma che approssima quella normale con f (T ) → 0 sia per T → 0 che per T → ∞.

Un aumento del parametro di scala η, a parità degli altri due, causa un allungamento della distribuzione verso destra mentre una sua diminuzione porta allo schiacciamento verso l’asse delle ordinate (Figura 2.16). γ fissa l’origine della PDF: essa sarà T = 0 nel caso in cui γ = 0 oppure avrà un valore positivo o negativo a seconda che γ sia maggiore o minore di zero.

Le propriet`a statistiche della distribuzione sono le seguenti:

media:

¯

T = γ + η Γ 1 β + 1

!

dove Γ_β1 + 1 `e la funzione Gamma valutata in_β1 + 1 dove Γ `e una funzione i cui valori sono raccolti in apposite tavole presenti in [16] e [25];

(31)

2.6. LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL 35 mediana: ˘ T = γ + η(ln 2)1β_; moda: ˜ T = γ + η 1 − 1 β !_β1 ; deviazione standard: σT = η    Γ 2 β + 1 ! − " Γ 1 β + 1 !#2   1 2 .

2.6.1 Le caratteristiche di affidabilit`

a

Figura 2.17: Influenza del parametro di forma β sulla funzione di affidabilit`a [45]

La funzione di affidabilit`a della distribuzione di Weibull `e data da

R(T ) = e−(T −γη ) β

(32)

Figura 2.18: Influenza del parametro di forma β sulla funzione di inaffidabilit`a [45]

che è pari a R(T ) = 1 per 0 ≤ T ≤ γ. Per T → ∞ la probabilità di successo tende a zero con una pendenza che dipende dai valori assunti dai parametri di forma e di scala (Figura 2.17 e Figura 2.18). È interessante notare come, indipendentemente dal valore di β, l’affidabilità di una missione di durata (γ + η) iniziata all’istante T = 0 sia sempre 0.368.

La funzione di affidabilit`a condizionale vale

R(T, t) = R(T + t) R(T ) = e−(T +t−γη ) β e−(T −γη ) β , o anche R(T, t) = e− h (T +t−γ η ) β −₍T −γ_η ₎β i ,

mentre la vita affidabile tR di un’unit`a per una specificata affidabilit`a R(tR) a partire

dall’istante T = 0 pu`o essere ottenuta risolvendo la

R(T ) = e−(T −γη ) β

(33)

Figura 2.19: Influenza del parametro di forma β sul tasso di guasto [45]

per T o tR. Passando al logaritmo naturale si ha

ln[R(tR)] = − tR− γ η !β {− ln[R(tR)]} 1 β ₌ tR− γ η da cui tR = γ + η{− ln[R(tR)]} 1 β.

tRè la durata della missione per cui l’unità avrà una probabilità di successo pari a quella

specificata. Nel caso in cui si ponga R(tR) = 0.50 si trover`a tR= ˘T , la vita mediana.

La funzione tasso di guasto relativa alla distribuzione di Weibull `e data dalla

λ(T ) = β η T − γ η !β−1 . (2.29)

Questa funzione, come la PDF che le d`a origine, dipende dai valori assunti dal parametro di forma β (Figura 2.19):

(34)

per 0 < β < 1: la funzione λ assume un andamento riconducibile ad un ramo di iperbole che descrive una situazione tipica di una popolazione soggetta a guasti di giovent`u;

per β = 1: si ha λ(T ) = λ = 1/η con conseguente curva adatta a descrivere prodotti soggetti a guasti casuali;

per β > 1: il tasso di guasto, partendo da un valore λ(T = γ) = 0, cresce con pendenza legata al parametro di forma rendendosi adatto a descrivere il periodo di anzianit`a di un prodotto.

2.6.2 Determinazione dei parametri della distribuzione di Weibull

Non ci sono grandi differenze tra i metodi impiegati per la determinazione dei parametri della distribuzione esponenziale e quelli che caratterizzano la distribuzione di Weibull: anche in questo caso si fa affidamento su opportune tavole logaritmiche con cui, una volta riportati i dati raccolti durante l’osservazione e tracciata la linea retta che meglio li interpola, si possono ottenere le stime dei valori ricercati (Figura 2.20).

Dal punto di vista operativo, si procede con l’ordinamento di tutti i tempi al guasto raccolti, con la loro numerazione in ordine crescente e, mediante l’uso di apposite tavole statistiche o utilizzando l’approssimazione data dalla 2.26, con il calcolo dei corrispondenti valori di M R. In seguito si riportano i punti su una carta di Weibull dotata degli appropriati limiti di scala e si traccia la linea retta che meglio li interpola. I parametri di forma e di scala possono essere determinati come segue (Figura 2.21):

β: si traccia una linea parallela all’interpolante e passante per un punto di riferimento se-gnato sull’asse delle ordinate, leggendo quindi il valore del parametro di forma sulla scala che indica la pendenza di questa retta;

η: si traccia una linea orizzontale in corrispondenza del valore 63.2% sulle ordinate (pari ad un’affidabilit`a del 36.8%) e si legge sulle ascisse il corrispondente valore di T .

Si noti che questa procedura è valida qualora la popolazione da cui sono tratti i dati sia caratterizzata da γ = 0, cioè da un parametro di locazione nullo. Se ciò non avviene, non si riuscirà ad interpolare i punti con una linea retta, ma sarà necessario introdurre un parametro di locazione che corregga la loro posizione. La ricerca del valore γ può risultare particolarmente lunga e dispendiosa se portata avanti con metodi manuali per cui si preferisce ricorrere a regole empiriche o a software specializzati.

2.6.3 La regressione lineare nella stima dei parametri

L’impiego di metodologie grafiche per la stima dei parametri della distribuzione di Weibull, sebbene di semplice e rapido utilizzo, non fornisce valori affidabili. Qualora non si abbiano a disposizione strumenti informatici, `e preferibile ricorrere a metodologie quali la regressione lineare che consente, tramite il principio dei minimi quadrati, di ricavare i parametri della retta che meglio interpola i dati a disposizione.

(35)

Figura 2.20: Carta di probabilit`a per la determinazione dei parametri di una distribuzione di Weibull [45]

(36)

Figura 2.21: Esempio di determinazione dei parametri di una distribuzione di Weibull ricorrendo alle carte di probabilit`a [45]

(37)

La regressione richiede la linearizzazione della distribuzione di Weibull: nel caso della scrittura a due parametri, ottenuta ponendo γ = 0 nella 2.27, la Cumulative Density Function (CDF) corrispondente vale

F (T ) = 1 − e−(Tη) β

da cui, ricorrendo al logaritmo naturale, si ricava

ln[1 − F (T )] = − T η !β ln {− ln[1 − F (T )]} = β ln T η ! ln {− ln[1 − F (T )]} = −β ln(η) + β ln(T ). Ponendo y = ln {− ln[1 − F (T )]} ed effettuando le sostituzioni a = −β ln(η) (2.30) b = β, (2.31)

si ha l’equazione di una retta:

y = a + bx

La regressione lineare si basa sulla ricerca dei parametri a e b di una retta che minimizzi i quadrati delle distanze dei punti disponibili. La distanza può essere calcolata sia lungo l’asse x che l’asse y ma, generalmente, si preferisce impiegare il secondo caso. Data una stima della retta interpolante y = â + ˆbx, la valutazione delle distanze dei vari punti da tale retta ` e data da N X i=1 (â + ˆbxi− yi)2 = min(a, b) N X i=1 (a + bxi− yi)2

dove ˆa e ˆb sono le stime dei veri parametri a e b e N `e il numero di dati da interpolare. La minimizzazione si ottiene con i seguenti valori:

ˆ a = PN i=1 yi N − ˆb PN i=1 xi N = ¯y − ˆb¯x ˆ_{b =} PN i=1 xiyi− PN i=1xi PN i=1yi N PN i=1 x2i − (PN_i=1xi)2 N

dove ¯x e ¯y sono le medie aritmetiche calcolabili a partire dai dati a disposizione.

Nel caso specifico della distribuzione di Weibull, ai valori xi e yi si dovranno sostituire

xi = ln(Ti)

yi = ln{−ln[1 − F (Ti)]}

(38)

Il calcolo dei parametri â e ˆb non è sufficiente a fornire una valutazione della bontà dell’interpolazione, ma è necessario determinare il coefficiente di correlazione definito come

ρ = σxy σxσy

dove σxy `e la covarianza tra x e y, mentre σx e σy corrispondono alle deviazioni standard

delle due variabili. In termini di stime, la correlazione pu`o essere valutata come

ˆ ρ = PN i=1 xiyi− PN i=1xi PN i=1yi N v u u t PN_i=1 x2_i − (PN i=1xi) 2 N ! PN i=1 y2i − (PN i=1yi) 2 N ! o anche ˆ ρ = PN i=1(xi− ¯x)(yi− ¯y) q PN i=1(xi− ¯x)2 PNi=1(yi− ¯y)2 .

ρ è compreso in un intervallo tra ±1: più il suo valore si avvicina all’unità, migliore `

e l’interpolazione. Nel caso di ρ = +1 si ha la perfetta coincidenza tra i dati e la retta calcolata con pendenza positiva mentre nel caso ρ = −1 la perfetta coincidenza `e con una retta caratterizzata da una pendenza negativa. Se ρ = 0, i dati sono disposti in modo casuale e non `e possibile individuare una relazione lineare che li leghi.

Noti i parametri ˆa e ˆb della retta di regressione e supponendo di avere un coefficiente ρ > 0.817_{, si possono stimare i parametri β e η della distribuzione di Weibull impiegando}

direttamente le 2.30 e 2.31 da cui si ricava

β = b

η = e−ab.

2.7 La distribuzione normale

La distribuzione normale è la più conosciuta in campo statistico ed è data da

f (T ) = 1 σT √ 2πe −1 2 T − ¯T σT 2 (2.32) con f (T ) ≥ 0, − ∞ < T < ∞, − ∞ < ¯T < ∞, σT > 0

dove ¯T `e la media dei tempi al guasto e σT la loro deviazione standard.

Le caratteristiche salienti di questa distribuzione sono note: la moda e la mediana coin-cidono con la media (Figura 2.22). `E per`o interessante vedere la PDF dal punto di vista dei parametri: come nell’esponenziale, non si ha alcun tipo di coefficiente di forma mentre quello di locazione e quello di scala sono coincidenti con, rispettivamente, la media e la deviazione standard.

17_{L’esperienza insegna che valori di ρ superiori al 75% sono significativi di buone correlazioni. Valori}

(39)

2.7. LA DISTRIBUZIONE NORMALE 43

(40)

2.7.1 Le caratteristiche di affidabilit`

a

Se i tempi al guasto a disposizione sono ben rappresentati dalla distribuzione normale, la funzione di affidabilit`a pu`o essere ottenuta con

R(T ) = Z ∞ T f (T )dT = Z ∞ z(T ) φ(z)dz

dove f (T ) `e la PDF normale cos`ı come calcolata in 2.32, z(T ) = T − ¯_σ T

T , T corrisponde alla

durata della missione con inizio all’et`a zero e φ(z) `e la PDF normalizzata i cui valori si ricavano dalle relative tavole statistiche.

Va notato che la normale f (T ) si estende da −∞ a ∞ e su questo intervallo sarà possibile ottenere R(T ) = 1 solo per T = −∞. Ciò è di fatto impossibile per componenti e sistemi reali che entrano in servizio a T = 0. Tuttavia, quando ¯T ≥ 4.5σT, l’area sottesa alla PDF

per T < 0 vale 0.0000034 ed `e trascurabile. Un altro modo per evitare il problema, qualora la media e la deviazione standard non siano in grado di spostare la campana sufficientemente verso destra, `e quello di ricorrere alla distribuzione normale troncata descritta da

fT(T ) = 1 k0_σ T √ 2πe −1 2 T − ¯T σT 2 , 0 ≤ T < ∞

dove k0 `e una costante normalizzante data da

k0 =

Z ∞

0

f (T )dT

dove f (T ) rappresenta la PDF originale.

La funzione di affidabilità segue l’andamento della CDF associata alla distribuzione cam-biata di segno: inizialmente il suo valore è pari all’unità e rimane su questi livelli finché non compaiono i primi guasti. Avvicinandosi al valore medio della vita della popolazione in esame, il grafico cala rapidamente per poi tendere a zero in modo più blando per T → ∞. La funzione di affidabilità condizionale è data da

R(T, t) = R(T + t) R(T ) = R∞ T +t f (T )dT R∞ T f (T )dT .

Un discorso a parte merita il tasso di guasto: esso `e uguale a

λ(T ) = f (T ) R(T ) = 1 σT √ 2πe −1₂ T − ¯T σT 2 R∞ T 1 σT √ 2πe −1 2 T − ¯T σT 2 dT (2.33)

che richiede la valutazione dell’altezza raggiunta dalla f (T ) all’istante T e la determinazione dell’affidabilit`a per una missione di durata T .

`

E possibile seguire una diversa via: sapendo che

f (T ) = φ(z) σT

(41)

2.7. LA DISTRIBUZIONE NORMALE 45

e sostituendo nella 2.33, si trova

λ(T ) = φ(z) σTR(z) . Dato che R(T ) = Z ∞ T f (T )dT = Z ∞ z(T ) φ(z)dz = r(z), si pu`o scrivere λ(T ) = φ(z) σTR(z) .

Volendo rendere l’equazione indipendente da σT, si pu`o definire

λ(z) = σT × λ(T )

da cui segue la funzione tasso di guasto cercata:

λ(z) = φ(z) R(z).

In questo modo si possono calcolare i valori del tasso di guasto standardizzato in termini di guasti per deviazione standard ed in seguito, dividendoli per la deviazione standard σT della

particolare distribuzione con cui si ha a che fare, si otterrà il vero tasso di guasto valutato come numero di rotture per unità di tempo. In termini pratici, si ha la possibilità di ottenere il tasso di guasto semplicemente dividendo i valori tratti da opportune tavole standardizzate di λ(z) per la deviazione standard della popolazione in esame.

2.7.2 Valutazione dei parametri della distribuzione normale

Data la funzione cumulata

F (T ) = Φ T − ¯T σT ! dove Φ(x) = √1 2π Rx −∞ e −1 2x 2 dx e facendo le sostituzioni y = Φ−1[F (T )] a = −T¯ σT b = 1 σT , si ottiene y = a + bT .

Supponendo di aver rappresentato i dati sull’appropriata carta di probabilit`a seguendo le procedure gi`a viste sia per la distribuzione esponenziale che per quella di Weibull, si procede alla determinazione dei parametri che caratterizzano la popolazione. Dato che la gaussiana `

e simmetrica rispetto alla media, l’area sottesa alla PDF per −∞ < T ≤ ¯T `e pari a 0.5, cos`ı come l’area compresa nell’intervallo ¯T ≤ T < ∞. Conseguentemente, il valore di ¯T `e

(42)

Figura 2.23: Tavole di probabilit`a per la determinazione dei parametri di una distribuzione normale [45]

(43)

2.8. LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE 47

Figura 2.24: L’area sottesa all’intervallo ¯T − σT < T < ¯T + σT `e il 68.3% del totale [45]

il punto dove R(T ) = Q(T ) = 50%. Questo significa che la stima di ¯T pu`o essere letta in corrispondenza del livello di ordinata 0.5. Il valore di σT viene stimato in base al fatto che

l’area compresa nell’intervallo ¯T − σT < T < ¯T + σT corrisponde a circa il 68.3% del totale

(Figura 2.24): dato che l’intervallo tra Q(T ) = 84.15% e Q(T ) = 15.85% rappresenta due deviazioni standard e che tale intervallo `e centrato rispetto la media, si pu`o scrivere

ˆ

σ = T (Q = 0.8415) − T (Q = 0.1585)

2 (2.34)

da cui si deduce che, per ottenere la stima di σT, basta tracciare due linee sui livelli 0.1585

e 0.8415 delle ordinate, leggere i corrispondenti valori sulle ascisse e prendere la met`a della loro differenza (Figura 2.25).

2.8 La distribuzione lognormale

La distribuzione lognormale a due parametri `e rappresentata dalla

f (T ) = 1 T σ_T0 √2πe −1 2 T 0− ¯T 0 σ_{T 0} 2 , (2.35) con f (T ) ≥ 0, T ≥ 0, − ∞ < ¯T0 < ∞, σT0 > 0, T0 = ln T

(44)

Figura 2.25: Esempio di calcolo dei parametri della distribuzione normale mediante le carte di probabilit`a [45]

(45)

Figura 2.26: La distribuzione lognormale [45]

dove ¯T0 `e la media e σT0 la deviazione standard dei logaritmi naturali dei tempi al guasto

(Figura 2.26).

Una variabile aleatoria `e distribuita lognormalmente se il suo logaritmo naturale se-gue una distribuzione normale: per questo motivo questa PDF `e caratterizzata da due soli parametri calcolabili come

¯ T0 = 1 N N X i=1 ln Ti = 1 N N X i=1 T_i0 ¯ σT0 = " PN i=1(T 0 i)2− N ( ¯T 0₎2 N − 1 #1₂

dove N `e il numero di misure raccolte.

La caratteristica più evidente di una distribuzione lognormale è il suo schiacciamento verso l’asse delle ordinate: la PDF inizia dal valore nullo, cresce rapidamente fino al suo massimo e subito dopo diminuisce tendendo di nuovo a zero mano a mano che T → ∞. A differenza della normale, ¯T0 non è il parametro di locazione, bens`ı quello di scala: dal suo valore dipende il massimo raggiunto dalla curva che può essere sia positivo che negativo

(46)

Figura 2.27: Influenza della media sulla distribuzione lognormale [45]

(Figura 2.27). Allo stesso modo, σ0_T non è il parametro di scala, ma quello di forma a causa della sua influenza sul grado di avvicinamento del picco all’asse delle ordinate (Figura 2.28). Un’altra differenza con la distribuzione Gaussiana è data dal fatto che, nel caso lognormale, non si ha più la coincidenza tra media, mediana e moda. Le caratteristiche della distribuzione possono essere infatti calcolate come:

media: ¯ T = eT¯0+12σ 2 T 0; mediana: ˘ T = eT¯0; moda: ˜ T = eT¯0−σ2T 0; deviazione standard: σT = h e2 ¯T0+σT 02 eσ2T 0 − 1 i1 2 .

(47)

Figura 2.28: Influenza della deviazione standard sulla distribuzione lognormale [45]

Va fatto notare che non si possono impiegare gli stessi metodi di valutazione dei percentili usati nel caso di una distribuzione normale. Ad esempio, non si pu`o, dati ¯T e σT, stimare

l’area compresa nell’intervallo ¯T ± kσT con un valore standard come 68.3% per ¯T ± σT. La

distribuzione lognormale pu`o essere caratterizzata da una deviazione standard molto pi`u grande della media per cui l’espressione ( ¯T − kσT) diventerebbe negativa: dato che la PDF

`

e definita solo per 0 < T < ∞, si rischierebbe di ottenere un valore non esistente. I metodi impiegati per la distribuzione normale possono essere utilizzati solo nel caso di piccoli valori della deviazione standard e mai superiori a 0.2.

2.8.1 Le caratteristiche di affidabilit`

a

Supponendo di iniziare la missione all’et`a T = 0, la funzione di affidabilit`a viene valutata come R(T ) = Z ∞ T f (T )dT = Z ∞ T0 f (T 0 )dT0 = Z ∞ z(T0 φ(z)dz (2.36)

(48)

dove la f (T ) `e data da 2.35, f (T0) = 1 σT 0 √ 2πe −1 2 T 0− ¯T 0 σ_{T 0} 2

, T `e la durata della missione e

z(T0) = T

0_{− ¯}_T0

σT0

.

La funzione 2.36 ha origine in T = 0 al livello 1 e, per σT0 < 0.35, si mantiene su

questo valore. Quando cominciano a manifestarsi i primi guasti per usura, la funzione diminuisce lentamente con R(T ) → 0 per T → ∞. Per σT0 > 0.35 la funzione subisce un

calo brusco fin dai primi istanti ma, subito dopo, si assesta tendendo a zero molto lentamente. Questo comportamento rende la distribuzione lognormale versatile in quanto modificando il parametro σT0 si pu`o rappresentare sia una popolazione caratterizzata da guasti infantili sia

un set di dati con guasti casuali o tipici di un prodotto giunto a fine vita. L’affidabilit`a condizionale si pu`o calcolare mediante

R(T, t) = R(T + t) R(T ) = R∞ z[(T +t)0_] φ(z)dz R∞ z(T0₎ φ(z)dz ,

la vita affidabile `e data da

tR = e ¯

T0+z[R(tR)]σT 0_,

mentre il tasso di guasto istantaneo `e definibile come

λT = f (T ) R(T ) = 1 T σ_{T 0}√2πe −1₂ T 0− ¯T 0 σ_{T 0} 2 R∞ z(T0₎ φ(z)dz .

Dando uno sguardo alla rappresentazione grafica della funzione del tasso di guasto si nota come, per piccoli valori di σT0, λ(T ) aumenti all’aumentare dell’et`a seguendo un andamento

più ripido per valori di ¯T0 inferiori. Tuttavia, se si aumenta ¯T0, λ(T ) non cresce indefini-tamente ma raggiunge un picco per poi cominciare a diminuire. La casistica è vasta e si rimanda alle figure e alla bibliografia in merito per una descrizione più accurata circa le forme assunte da questa funzione [25] [36].

La PDF lognormale pu`o rappresentare i tempi al guasto su buona parte del range di vita di un prodotto: per σT0 = 0.5 si ha un λ(T ) pressoch´e costante sull’intervallo di definizione della

distribuzione e per σT0 ≤ 0.2 λ(T ) si ha un andamento crescente simile a quello riscontrabile

nella Gaussiana. Per σT0 ≥ 0.8 si verifica un rapido aumento nell’intorno di T = 0 ma,

raggiunto un massimo, la funzione tende a diminuire in modo simile a quanto osservato in una distribuzione di Weibull con 0 < β < 1. Questa flessibilit`a permette di impiegare la lognormale nello studio di numerosi prodotti.

2.8.2 La valutazione dei parametri della distribuzione lognormale

L’uso delle carte di probabilità permette la rappresentazione dei tempi di guasto in asso-ciazione con le stime della funzione di inaffidabilità. Anche nel caso della distribuzione lognormale le carte e le stime dei parametri sono ottenute grazie alla linearizzazione della funzione cumulata di probabilità: da

F (T0) = Φ T

0_{− ¯}_T0

σT0

(49)

Figura 2.29: Tavola di probabilit`a per la determinazione dei parametri di una distribuzione lognormale [45]

(50)

Figura 2.30: Esempio stima dei parametri di una distribuzione lognormale mediante l’uso delle carte di probabilit`a [45]

(51)

2.8. LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE 55 con Φ(t) = √1 2π Z t −∞ e−12t 2 dt, ponendo y = Φ−1[F (T0)] a = −T¯ 0 σT0 b = 1 σT0

si ottiene l’ equazione di una retta:

y = a + bT0.

Il processo di stima dei parametri, data la carta di probabilità valida per la distribuzione lognormale (Figura 2.29), è lo stesso visto nel caso della Gaussiana: ¯T0 è dato dal valore dell’asse delle ascisse corrispondente al livello 0.5 delle ordinate mentre σT0 può essere stimata

grazie alla 2.34. L’unica differenza consiste nel fatto che le ascisse sono caratterizzate da una scala logaritmica in quanto, se i valori di T sono distribuiti lognormalmente, allora i rispettivi ln T seguono l’andamento della normale. Questo richiede attenzione in sede di valutazione dei parametri a causa dell’eventuale conversione da scala logaritmico-naturale a lineare (Figura 2.30).

2.8.3 Test di verifica

La decisione di impiegare un certo modello deve essere preceduta da un’attenta valutazione dei dati. Spesso non `e consigliabile utilizzare una distribuzione di Weibull o lognormale con parametri di forma atti a imitare un’esponenziale o una normale.

La scelta del modello deve essere sempre convalidata dai dati raccolti. Esistono a tal proposito numerosi test matematici adatti a stimare la bont`a di rappresentazione: data una distribuzione ideale determinata a partire dai parametri calcolati, si confrontano la media e la deviazione standard con quelle ottenibili dal set di dati in possesso.

Il metodo più diffuso è quello di Kolmogorov-Smirnov che si basa sul calcolo di una funzione di frequenza cumulata da paragonare ai dati del campione. In termini operativi, ottenute le caratteristiche del modello in esame, si deve calcolare una CDF “ideale” e con-frontarla con i dati in possesso per valutare le differenze tra i valori reali e quelli assunti dalla funzione ideale. Se la massima differenza (in valore assoluto) è inferiore al valore di un un coefficiente riportato in apposite tabelle [25] allora è possibile affermare che il modello di distribuzione scelto sia da considerarsi valido per l’analisi statistica dei dati raccolti.

Spesso accade che vi siano pi`u modelli di distribuzione che superano questo test di ido-neit`a: in tal caso, molti autori concordano sull’utilizzo del modello caratterizzato da minore scostamento massimo.