1) ESERCIZIO 3 (Prova scritta del 19/09/2018)
Si consideri la seguente struttura per scadenza dei tassi d'interesse a termine vigente nel mercato al tempo 𝒕𝒕𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 essendo il tempo misurato in mesi ed i tassi espressi su base annua:
𝒊𝒊(𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟒𝟐𝟐, 𝒊𝒊(𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝒊𝒊(𝟎𝟎,𝟐𝟐,𝟒𝟒) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟒𝟑𝟑 , 𝒊𝒊(𝟎𝟎,𝟒𝟒,𝟓𝟓) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟒𝟖𝟖.
1. Determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti e a termine e dei tassi a pronti nell'ipotesi in cui nel mercato non sia possibile realizzare arbitraggi non rischiosi. (I prezzi a pronti e a termine devono essere approssimati alla 4𝑎𝑎 cifra decimale.)
2. Dire se il titolo a cedola nulla immesso nel mercato al tempo 𝒕𝒕𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 al pr ezzo 𝑷𝑷 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 con valore facciale 100 e scadenza 4 mesi immette opportunità di arbitraggio e, in caso affermativo, determinare la relativa strategia.
2) ESERCIZIO 3 (Prova scritta del 13/02/2019)
Si consideri la seguente struttura per scadenza dei tassi d'interesse a termine vigente nel mercato al tempo 𝒕𝒕𝟎𝟎= 𝟎𝟎 essendo il tempo misurato in semestri ed i tassi espressi su base annua:
𝒊𝒊(𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏) = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝒊𝒊(𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐𝟐) = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟖𝟖, 𝒊𝒊(𝟎𝟎, 𝟐𝟐, 𝟒𝟒) = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟑𝟑 , 𝒊𝒊(𝟎𝟎, 𝟒𝟒, 𝟔𝟔) = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐.
1. Determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti e a termine e dei tassi a pronti espressi su base annua nell'ipotesi in cui nel mercato non sia possibile realizzare arbitraggi non rischiosi (i prezzi a pronti e a termine devono essere approssimati alla 4° cifra decimale.)
0 1m 2m 4m
vendita 1 TCN(0,4m) 99.00 - 100.00
Aquisto TCN(0,2m,4m) per 100 di VF - 99.30 100.00
Aquisto TCN(0,1m,2m) per 99.30 di VF - 98.95 99.30 Aquisto TCN(0,0,1m) per 98.95 di VF - 98.61 98.95
0.39
- - - Guadagno in t=0
A termine Scadenze i annui t v
(0,0,1/12) 0.04200 0.083333 0.9966 (0,1/12,2/12) 0.04400 0.083333 0.9964 (0,2/12,4/12) 0.04300 0.166667 0.9930 (0,4/12,5/12) 0.04800 0.083333 0.9961 A pronti Scadenze
(0,1/12) 0.04200 0.083333 0.9966
(0,2/12) 0.04300 0.166667 0.9930
(0,4/12) 0.04300 0.333333 0.9861
(0,5/12) 0.04400 0.416667 0.9822
2. Dire se il titolo a cedola nulla immesso nel mercato al tempo t0 = 0 al prezzo P = 98 con valore facciale 100 e scadenza 1 anno permette opportunità di arbitraggio e, in caso affermativo, determinare la relativa strategia.
3) ESERCIZIO 3 (Prova scritta del 18/07/2018)
In un mercato ideale sono trattati in t=0 i seguenti titoli a cedola nulla (TCN) a pronti:
T1: Valore facciale 5.000, prezzo 4.900, scadenza in t = 1 anno;
T2: Valore facciale 5.000, prezzo 4.730, scadenza in t = 2 anni;
T3: Valore facciale 5.000, prezzo 4.540, scadenza in t = 3 anni;
1. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti e quella dei tassi forward (a termine) su base annua.
2. Determinare il prezzo che garantisca l’assenza di opportunità di arbitraggio di un TCF a termine, con valore facciale 1.000, scadenza in t=3 anni, cedole annue al tasso cedolare annuo del 5%, consegna tra 1 anno.
3. Ipotizzando che il suddetto TCF a termine sia scambiato sul mercato ad un prezzo di 1.030, indicare se sia possibile realizzare un arbitraggio ponendo in atto un’opportuna strategia che consenta un guadagno in t = 0
annui t in anni t in anni annui
i(0,0,1) 1.50% 0.5 v(0,0,1) 0.9926 v(0,1) 0.9926 0.5 i(0,1) 1.50%
i(0,1,2) 1.80% 0.5 v(0,1,2) 0.9911 v(0,2) 0.9838 1 i(0,2) 1.65%
i(0,2,4) 2.30% 1 v(0,2,4) 0.9775 v(0,4) 0.9617 2 i(0,4) 1.97%
i(0,4,6) 2.20% 1 v(0,4,6) 0.9785 v(0,6) 0.9410 3 i(0,6) 2.05%
NB indici in semestri
semestri Strategia
TCN 0 1 2
T 1 anno - 98.00 - 100.00
VN 100 99.11 - 100.00
P(TCN) 98 98.38 - 99.11 -
P*(TCN) 98.38 >P(TCN) 0.38 - -
Acquisto 1 TCN ad 1 anno
Vendo allo scoperto 1 TCN a termine (0,1,2) del VN di 100 Vendo allo scoperto 0.9911 TCN a pronti (0,1) del VN di 100 Saldo
tk VFk v(t,VFk) v(t,tk) i(t,tk) v(t,tk-1,tk) i(t,tk-1,tk) v(t,tk-2,tk) i(t,tk-2,tk)
1 5000 4900 0.98000 0.0204
2 5000 4730 0.94600 0.0281 0.9653 0.03594
3 5000 4540 0.90800 0.0327 0.9598 0.04185 0.9265 0.03889
TCF tk xk xk*v(0,1,tk)
VF 1000 0
i ced 5% 1 50 48.27
2 1050 972.86 Prezzo a termine in t=1 di equilibrio 1,021.12
P(TCF,0.5) 1030 Scadenze 0 1 2 3 Q.ta
vendita allo scoperto 1 TCF 1,030.00 - 50.00 - 1,050.00 -1 acquisto di 0.21 (1050/5000) V(0,3)- 953.40 - - 1,050.00 0.210 acquisto di 0.01 (50/5000) V(0,1)- 47.30 - 50.00 - 0.01 vendita alla scoperto di 0.206 (1030/5000) V(0,0.5) 1,009.40 - 1,030.00 -0.206
Saldi 8.70 - - - Guadagno in t=0
4) ESERCIZIO BOOTSTRAP 1
In un mercato ideale sono trattati in t=0 i seguenti titoli (a pronti):
T1: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 1.000, prezzo 970, scadenza in t = 1 anno;
T2: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 1.000, prezzo 940, scadenza in t = 2 anni;
T3: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 1.000, prezzo 910, scadenza in t = 3 anni;
T4: Titolo a cedola fissa, Valore facciale 1.000, prezzo 995, scadenza in t= 4 anni, cedole annue al tasso cedolare del 4%.
1. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti i(0,t) e quella dei tassi a termine i(0,1,t) su base annua.
2. Determinare la struttura per scadenza dei prezzi pronti unitari v(0,t) e quella dei prezzi a termine
unitari v(0,1,t). .
3. Determinare il prezzo che garantisca l’assenza di opportunità di arbitraggio di un TCF a pronti, con valore facciale 1.000, scadenza in t=3 anni, cedole annuali al tasso cedolare del 3%.
T1 t Ft t v(0,t) T4 t Ft F*t
0 -970 0 0 -995 -882.2
1 1000 1 0.970 1 40 0
tir annuo 3.09% 2 0.940 2 40 0
3 0.910 3 40 0
T2 t Ft 4 0.848 4 1040 1040
0 -940 tir annuo 4.20%
2 1000
6.38%
tir annuo 3.14%
T3 t Ft
0 -910
3 1000
9.89%
tir annuo 3.19%
t i(0,t) i(0,1,t) i(0,2,t) i(0,3,t) 01 3.09%
2 3.14% 3.19%
3 3.19% 3.24% 3.30%
4 4.20% 4.57% 5.27% 7.28%
t v(0,t) v(0,1,t) v(0,2,t) v(0,3,t)
01 0.970
2 0.940 0.969
3 0.910 0.938 0.968
4 0.848 0.875 0.902 0.932
4. Ipotizzando che il suddetto TCF sia scambiato sul mercato ad un prezzo di 999, indicare se sia possibile realizzare un arbitraggio ponendo in atto un’opportuna strategia che consenta un guadagno in t = 0
5) ESERCIZIO BOOTSTRAP 2
In un mercato ideale sono trattati in t=0 i seguenti titoli (a pronti):
T1: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 100, prezzo 95.7, scadenza in t = 6 mesi;
T2: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 100, prezzo 93.5, scadenza in t = 12 mesi;
T3: Titolo a cedola nulla, Valore facciale 100, prezzo 92.25, scadenza in t = 18 mesi;
T4: Titolo a cedola fissa, Valore facciale 100, prezzo 98.5, scadenza in t= 2 anni, cedole semestrali, tasso nominale annuo del 4%.
1. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti i(0,t) e quella dei tassi a termine i(0,6mesi,t) su base annua.
t Ft Ft * v(0,t) P = 994.6
0
1 30 29.1
2 30 28.2
3 1030 937.3
994.6
0 1 2 3
vendo € 999.00 -€ 30.00 -€ 30.00 -€ 1,030.00 acquisto -€ 29.10 € 30.00 € - € - acquisto -€ 28.20 € - € 30.00 € - acquisto -€ 937.30 € - € - € 1,030.00 saldo € 4.40 € - € - € -
T1 t Ft t v(0,t) T4 t Ft F*t
0 -95.7 0 0 -98.5 -92.871
6mesi 100 0.5 0.957 6m 2 0
4.49% 1 0.935 12m 2 0
tir annuo 9.19% 1.5 0.923 18m 2 0
2 0.911 24m 102 102
T2 t Ft 2.37%
0 -93.5 tir annuo 4.80%
12mesi 100 tir annuo 6.95%
T3 t Ft
0 -92.25 18mesi 100
8.40%
tir annuo 5.53%
2. Determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti unitari v(0,t) e quella dei prezzi a termine unitari v(0,6mesi,t).
3. Determinare il prezzo che garantisca l’assenza di opportunità di arbitraggio di un TCF a pronti, con valore facciale 100, scadenza in t=18 mesi, cedole semestrali, tasso annuo nominale del 6%.
4. Ipotizzando che il suddetto TCF sia scambiato sul mercato ad un prezzo di 99, indicare se sia possibile realizzare un arbitraggio ponendo in atto un’opportuna strategia che consenta un guadagno in t = 0
t i(0,t) i(0,6m,t) i(0,12m,t) i(0,18m,t) 0.50 9.19%
1 6.95% 4.76%
1.5 5.53% 3.74% 2.73%
2 4.80% 3.38% 2.69% 2.65%
t v(0,t) v(0,6m,t) v(0,12m,t) v(0,18m,t)
01 0.957
2 0.935 0.977
3 0.923 0.964 0.987
4 0.911 0.951 0.974 0.987
t Ft Ft * v(0,t) P = 100.6935
0
6mesi 3 2.871
12mesi 3 2.805
18mesi 103 95.0175
100.6935
0 6mesi 12mesi 18mesi
acquisto -€ 99.00 € 3.00 € 3.00 € 103.00 vendo € 2.87 -€ 3.00 € - € - vendo € 2.81 € - -€ 3.00 € - vendo € 95.02 € - € - -€ 103.00 saldo € 1.69 € - € - € -
6) ESERCIZIO 1 prova del 23/01/2019
Un individuo quattro anni fa ha cominciato a versare all’inizio di ogni trimestre, quindi in modo anticipato una rata R1=1.000€ per il primo anno, una rata R2=1.400€ per un altro anno e una rata R3 per gli ultimi due anni. Il conto corrente riconosceva un tasso d’interesse annuo del 2,75% per il primo anno, un tasso d’interesse annuo del 2,2% per gli anni successivi.
1. Sapendo che oggi l’individuo dispone dell’importo S= 25.000 €, determinare la rata R3.
Oggi l’individuo utilizza l’importo S come anticipo per l’acquisto di un’auto il cui costo è 45.000
€, mentre per la parte restante del costo dell’auto valuta i tre seguenti finanziamenti:
Finanziamento A: ammortamento a quota capitale costante con 6 rate quadrimestrali posticipate di cui le prime due sono di preammortamento e pari a 350 €;
Finanziamento B: ammortamento con 4 rate semestrali posticipate di cui le prime due di preammortamento e le ultime due di importo pari a 10.500€;
Finanziamento C: 11 rate bimestrali posticipate ciascuna di importo pari a 150€ ed una maxirata finale in t = 2 anni di importo 20.150€.
2. Applicando il criterio del TIR, stabilire il finanziamento migliore;
Durata 4 anni
16 trimestri R1 € 1,000
R2 € 1,400
R3 ???
tasso1 2.75% annuo 0.68% trimestrale
tasso2 2.20% annuo 0.55% trimestrale
S = € 25,000
M1 4342.98979 4.34299
M2 5929.3169 4.235226
M3 8.198907
14727.6933 R3 € 1,796.30
Debito € 20,000
a) Rata € 350 1.75% quadrimes 5.34% annuo
b) € 20,000 10,500 -€
10,500 -€
3.32% tir semestrale 6.74% annuo
c) Cedola € 150 0.75% bimestrale 4.59% annuo
