Meccanica della Frattura

Meccanica della Frattura

Lecture 11 – Meccanica della Frattura elasto-plastica

Introduzione

• Il requisito fondamentale per la validità della meccanica della frattura lineare elastica

(MFLE) è che la zona plastica all’apice del difetto sia contenuta in un volume piccolo tale da non alterare il campo di sforzo

(condizione di SSY)

• Questo requisito (o K-dominanza) si traduce nella condizione che il K alla frattura sia tale da verificare:

𝐵, 𝑎 ≥ 2.5 𝐾

𝜎

2

Introduzione

• Tuttavia esistono classi di materiali per cui la condizione di SSYY non è mai verificata:

• Alta tenacità

• Basso snervamento

• Spessori sottili

• Temperatura elevata

• La Meccanica della Frattura Elasto-Plastica (MFEP) supera i limiti dell’MFLE.

• Due criteri:

• Crack Tip Opening Displacement (CTOD)

• Integrale J

Introduzione

• Tuttavia esistono classi di materiali per cui la condizione di SSYY non è mai verificata:

• Alta tenacità

• Basso snervamento

• Spessori sottili

• Temperatura elevata

• Wells (1961) osservò che alcuni acciai sono troppo tenaci per essere caratterizzati secondo i criteri di MFLE.

• Egli osservò:

• Le facce della cricca si allontanano prima della frattura e l’apice si arrotonda (blunting)

• Il grado di blunting è proporzionale alla tenacità

☺ Maggiore tenacità,

migliore tolleranza al danno

 La teoria e i criteri di MFLE non possono essere usati

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• Il blunting, o arrotondamento

all’apice, è conseguente allo sviluppo della zona plastica

• Maggiore l’estensione della zona plastica, maggiore il blunting.

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• Il blunting, o arrotondamento

all’apice, è conseguente allo sviluppo della zona plastica

• Maggiore l’estensione della zona plastica, maggiore il blunting.

• Il valore del CTOD dipende dalla distanza dall’apice: necessità di stabilire una definizione operativa

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• La definizione proposta da Irwin: il CTOD viene definito come l’intersezione a 45° a partire dall’apice.

• Materiale elastico perfettamente plastico

• Lavoro compiuto dalle forze all’apice per uno spostamento pari a d_c

𝑅 = න

0 𝛿_𝑐

𝜎

𝑑𝑦 = 𝜎

𝛿

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• La definizione proposta da Irwin: il CTOD viene definito come l’intersezione a 45° a partire dall’apice.

• Il CTOD come criterio di frattura:

• Introdotto dal Wells al TWI nel 1961

• Basato sulla misura dello spostamento delle facce della cricca

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• CTOD e la Meccanica della Frattura Lineare Elastica:

• Assumendo che lo sforzo sia limitato allo snervamento,

𝐾

= 𝑌 𝑎/𝑊 𝜎 𝜋𝑎

𝑎

~ 𝐾

𝜎

2

𝑅 = 𝑚𝜎

𝛿

= 𝐺 = 𝐾

/𝐸

𝑎

~ 𝐾

𝜎

2

~ 𝑚𝛿

𝐸

𝜎

~𝑚 𝛿

𝜀

= 𝐶 𝛿

𝜀

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• La costante C dipende dal rapporto tra la tensione applicata al remoto e la tensione di snervamento

• I dati vengono riportati in termini di CTOD normalizzato in funzione della deformazione normalizzata,

𝜎

𝜎

= 𝜀

/𝜀

𝛿

2𝜋𝜀

𝑎 = 𝑓 𝜀

/𝜀

𝛿

2𝜋𝜀

𝑎 = 𝐾

𝐸𝜎

1

2𝜋𝜀

𝑎 = 𝜎

𝜋𝑎𝑌( 𝑎 𝑊 ) 𝐸𝜎

1

2𝜋𝜀

𝑎 = 𝜎

𝑌 2𝐸𝜎

𝜀

𝛿

2𝜋𝜀 𝑎 = 1 2

𝜀

𝜀

2

Crack Tip Opening Displacement - CTOD

2

for 0.5 2 a

crit a a

y y y

d  

  

 

 = =   

 

-0.25 for 0.5 2 a

crit a a

y y y

d  

  

 = = 

y - Elastic yield strain



2 a

crit y

d

 = 

0.5 1.0 1.5 2.0

a y





0.5 1.0

1.5 Design Curve

UNSAFE SAFE

- Applied strain

a

Queste relazioni sono conformi alla formulazione classica della MFLE: correlano la dimensione del difetto, la sollecitazione applicate e la tenacità del materiale

A) Assegnata la dimensione del difetto e la tenacità, possiamo stabilire la deformazione (sforzo) critica.

B) Assegnato la deformazione (sforzo) di progetto e la tenacità, si determina la dimensione critica del difetto

J-integral

• Formulato inizialmente da J. Rice nel 1968

• Ipotesi:

• Materiale elastico non-lineare

• Piccole deformazioni, assenza di blunting

• Energia meccanica totale: somma dell’energia potenziale di deformazione e energia potenziale del carico applicato

• w densità energia di deformazione (per unità di volume)

J-integral

• J rappresenta la variazione netta di energia potenziale rispetto all'avanzamento del difetto per un solido elastico non-lineare.

• J può altresì essere interpretato come il flusso di energia all’apice

• La soluzione è analoga a quella di Griffith: l’equilibrio

energetico è scritto per una regione piccola che comprende l’apice.

J-integral

• Nel caso di materiale lineare elastico si ha la coincidenza tra J e G di Griffith:

• E quindi una correlazione diretta tra J e K:

J-integral: il campo di HRR

• Hutchinson, Rice e Rosengren hanno dimostrato come J descriva la singolarità del campo elasto-plastico all’apice.

• Assumendo per il materiale una legge alla Ramberg-Osgood,

J-integral: il campo di HRR

• La soluzione di HHR prevede che il campo vada all’infinito per r → 0.

• La singolarità è 1/r^(1/n+1) dipende dall’incrudimento del materiale

• La singolarità del campo è rilassata dal blunting

• La soluzione non vale per una distanza pari a 2CTOD dall’apice (grandi deformazioni)

• J come parametro di frattura: la frattura avviene quando J raggiunge un valore critico caratteristico del materiale

J-integral: equivalenza J-K-CTOD

• Tutti e tre i parametri sono equivalenti dal punto di vista formale

• L’equivalenza vale solo in condizioni di K dominanza

• NOTA: quando vale K il CTOD non è misurabile ma può essere ottenuto dalle relazioni

𝐽 = 𝐾 ²

𝐸 = 𝑚𝜎 _𝑌 𝛿 _𝑐

0.111 0.817 1.36

y

m a

W



= − + + 

J-dominance

K-dominated zone J-dominated zone Large strain

-1/2 -1/(n+1)

ln(s_yy)

ln(r/L)

K-dominance

2

2.5 K

B 

 

    

J-dominance

K-dominated zone J-dominated zone Large strain

-1/2 -1/(n+1)

ln(s_yy)

ln(r/L)

J-dominance

, 25

y

b B J

 

J-dominance

Determinazione del J-integral: il fattore h

• Rice ha dimostrato che l’integrale J è essenzialmente uguale allo strain energy release rate o, in alternativa, al lavoro, per avanzamento unitario, fatto su un corpo elastico non lineare contenente un difetto. In condizioni di spostamento imposto,

• Rice propose di determinare direttamente, su un unico campione, il valore del J dalla curva Carico-Spostamento

𝐽 = 𝑑𝑈 𝐵𝑑𝑎

𝐽 = − 1 𝐵 න

0

∆

𝜕𝑃

𝜕𝑎

𝑑∆

Determinazione del J-integral: fattore h

• Sumpter e Turner, proposero la seguente espressione operativa per il calcolo del J come somma di due

termini , elastico e plastico, in cui il termine A indica l’area sotto la curva di carico-spostamento:

• h_p è un opportuno fattore che dipende dalla

geometria e che può essere determinato attraverso analisi limite (collasso plastico generalizzato.

𝜂

=2+0.522(b/W)

CT SENB

CCP

𝜂

= 0.32 + 12 𝑎

𝑊 − 49.5 𝑎 𝑊

2

+ 99.8 𝑎 𝑊

3

𝑎/𝑊 ≤ 0.282 𝐽 = 𝐽

+ 𝐽

= 𝐾

𝐸 + 𝜂

𝐴

𝐵𝑏

Determinazione del J-integral: equazioni incrementali

• Nel 1988, viene presentato il metodo delle equazioni incrementali all’interno della norma ASTM E813.

• La seguente equazione viene derivata per tener in conto delle variazioni di J con l’avanzare del difetto,

CT SENB

CCP

𝐽 = න

0

∆

𝜂

𝑏𝐵 𝑃𝑑∆ − න

𝑎₀ 𝑎

𝛾

𝑏 𝐽𝑑𝑎

Determinazione del J-integral: equazioni incrementali

• Standard per la costruzione della curva J-R viene rivisto con l’ASTM E1820- 2011

𝐽_{𝑝𝑙(𝑖)} = 𝐽_{𝑝𝑙(𝑖−1)} + 𝜂_𝑖−1

𝐵𝑏_𝑖−1 𝐴^{𝑖−1,𝑖}_𝑝𝑙 1 − 𝛾_𝑖−1

𝐵𝑏_𝑖−1 𝑎_𝑖 − 𝑎_𝑖−1

𝐴_𝑝𝑙^{𝑖−1,𝑖} = 1

2 𝑃_𝑖 + 𝑃_𝑖−1 Δ_{𝑝𝑙(𝑖)} − Δ_{𝑝𝑙(𝑖−1)} 𝜂_𝑖−1 = 2.0 + 0.522 𝑏_𝑖−1/𝑊

𝛾_𝑖−1 = 1.0 + 0.76 𝑏_𝑖−1/𝑊

Determinazione del J-integral: ASTM1820

• Standard per la costruzione della curva J-R viene rivisto con l’ASTM E1820- 2011

Determinazione del J-integral: ASTM1820

• Standard per la costruzione della curva J-R viene rivisto con l’ASTM E1820- 2011

Failure Assessment Diagram -FAD

• E’ il metodo più utilizzato per la verifica strutturale di componenti a meccanica della frattura elasto-plastica

• E’ di facile implementazione. Il problema altamente non-lineare è risolto in

funzione di due parametri che variano linearmente con il carico applicato

• È un approccio molto versatile: copre dalla frattura puramente fragile a quella

puramente duttile

• È adatto a strutture saldate in quanto

tiene in conto gli sforzi residui

Failure Assessment Diagram – FAD: concetto originale

• Il concetto di FAD fu inizialmente

introdotto da Dowling e Townley e da

Harrison et al. : è derivato da una versione modificata dello «strip-yield model» che prevede per una cricca passante in un corpo infinito la seguente espressione del SIF:

• Questa soluzione è asintotica alla tensione di snervamento

• Sostituendo la tensione di snervamento con quella di «collasso» della struttura l’espressione consente di prevedere il cedimento quando lo sforzo si avvicina a quello critico.

• Per una struttura caricata in tensione, il collasso avviene quando lo sforzo sulla sezione netta raggiunge la tensione di

«flow stress» del materiale.

• 

dipende dalle proprietà tensili del

materiale, dalla dimensione del difetto

rispetto alla sezione della struttura.

Failure Assessment Diagram – FAD: concetto originale

• Per la costruzione del FAD, si divide il K

per la soluzione lineare elastica del SIF, K

:

• Con questo passaggio:

• Si normalizza l’espressione (adimensionale)

• Si elimina la dipendenza dalla radice di

geometrica presente nello strip-yield model

• Il rapporto tra K

eK

viene indicato come

K

. Mentre il rapporto tra gli sforzi viene

indicato con S

.

Failure Assessment Diagram – FAD: concetto originale

• Per un assegnato difetto, la rottura è prevista quando K

=K

.

• K

non è necessariamente la sola

tenacità a frattura in LEFM ma può essere ottenuto da un J

.

• Per la verifica di un difetto è necessario

conoscere il rapporto:

Failure Assessment Diagram – FAD: concetto originale

• Nel 1976, l’approccio del FAD basato sullo strip-yield model è stato incorporato in una procedura per la verifica ad integrità strutturale di componenti denominata R6- Approach

• Da allora, la procedura è viene continuamente aggiornata

• Oggi la R6 usa sempre il concetto di FAD ma l’equazione

Non è più utilizzata.

Failure Assessment Diagram – J-based FAD

• La possibilità di utilizzare il J-integral in ambito FAD fu dimostrato per primo da Bloom (1980 )e Shih et al. (1981)

• Lo strip-yield model non considera

l’incrudimento del materiale e questo ha un effetto sulla curva risultante del FAD.

• Invece del K

si utilizza il K

: questo ha

una base fisica e considera l’effetto della

effettica zona plastica sul K

.

Failure Assessment Diagram – J-based FAD

• Il K

è ottenuto da:

• In maniera simile, si normalizza il SIF applicato per il valore ammissibile del materiale e lo sforzo di «riferimento» per la tensione di snervamento.

𝐾

= 𝐸𝐽 1 − 𝜈

𝐾

= 𝐾

𝐾

𝐿

= 𝜎

𝜎

Failure Assessment Diagram – J-based FAD

• Il «reference» stress 

è definito come:

dove 

è il parametro della Ramberg-

Osgood e P

(reference load) è il valore di carico limite a collasso plastico del

componente. Questa definizione introduce una dipendenza geometrica del FAD

• Passo finale: introduzione di una linea di cut-off per il valore massimo di L

𝜎

= 𝜎

𝑃 𝑃

Linear elastic fracture mechanics

Failure Assessment Diagram – Approssimazione della curva di FAD

• Il calcolo accurato della curva di FAD richiede il calcolo del J-integral. Questo può essere computazionalmente oneroso e complicato

• In generale la forma del FAD dipende dalla geometria e dal materiale. La dipendenza della geometria può essere eleminata attraverso un’opportuna definizione di L

.

• In assenza di informazioni sulla curva sforzo-deformazione del materiale, si assume:

𝐾

= 1 − 0.14𝐿

0.3 + 0.7𝑒𝑥𝑝 −0.65𝐿

Linear elastic fracture mechanics

𝐾

= 1 + 0.5𝐿

0.3 + 0.7𝑒𝑥𝑝 −0.65𝐿

Failure Assessment Diagram – Approssimazione della curva di FAD

• Il calcolo accurato della curva di FAD richiede il calcolo del J-integral. Questo può essere computazionalmente oneroso e complicato

• In generale la forma del FAD dipende dalla geometria e dal materiale. La dipendenza della geometria può essere eleminata attraverso un’opportuna definizione di L

.

• In assenza di informazioni sulla curva sforzo-deformazione del materiale, si assume:

𝐾

= 1 − 0.14𝐿

0.3 + 0.7𝑒𝑥𝑝 −0.65𝐿

𝐾 = 1 + 0.5𝐿

0.3 + 0.7𝑒𝑥𝑝 −0.65𝐿

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

K r

L_r

FAD

Design condition