DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI

DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI

In questa scheda sono proposte alcune domande teoriche sul concetto di limite e alcuni esercizi sul calcolo di limiti proposti a temi d’esame negli scorsi anni.

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa ^(a) .

1. Siano (a _n ) e (b _n ), (c _n ) tre successioni reali tali che a _n  b n  c n per ogni n 2 N. Allora A. se (a _n ) e (c _n ) sono regolari allora (b _n ) `e regolare

B. se (a _n ) e (c _n ) sono limitate allora (b _n ) `e limitata

C. Se (a _n ) e (c _n ) sono convergenti allora (e ^b

) `e convergente

2. Sia (a _n ) successione positiva e convergente e sia (b _n ) successione infinitesima. Allora A. (a _n b _n ) `e limitata

B. ⇣

b

a

⌘ `e limitata

C. a ^b _n

`e convergente

3. Siano (a _n ) e (b _n ) successioni regolari e positive tali che b _n = o(a _n ) per n ! +1. Allora A. lim

n!+1 b

a

+b

= 0

B. Per ogni successione non nulla (c _n ) , ^b _c

n

= o(a _n ) per n ! +1 C. lim

n!+1

log(1+b

) a

= 1

4. Siano f (x) e g(x) funzioni definite e positive nell’intervallo (0, 1] tali che lim

x !0

f (x) = lim

x !0

g(x) e f (x) = o(g(x)) per x ! 0 ⁺ . Allora

A. Esiste 2 (0, 1) tale che f(x)  g(x) per ogni x 2 (0, ) B. lim

x !0

f (x) + g(x) = lim

x !0

g(x) C. lim

x !0

f (x) g(x) = 0

5. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x ! x 0 tali che f (x) = o(g(x)) e g(x) ⇠ h(x) per x ! x 0 . Allora

A. f (x) ⇠ h(x) per x ! x 0

B. f ² (x) = o(h(x)g(x)) per x ! x 0

C. f (x) + h(x) ⇠ g(x) per x ! x 0

6. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni definite e positive in (0, + 1) tali che lim

x!+1 f (x) = lim

x!+1 g(x) =

x !+1 lim h(x) = 0. Supposto che f (x) = o(g(x)) e g(x) = o(h(x)) per x ! +1, allora A. f (x) = o(h(x)) per x ! +1

B. lim

x !+1 h(x)

f (x)+g(x) = + 1 C. lim

x !+1 f (x) (h(x))

= 0

(a)

per provare che un’a↵ermazione `e vera occorre produrre una dimostrazione, sfruttando anche i risultati visti a lezione.

Per provare che un’a↵ermazione `e falsa `e sufficiente trovare un controesempio

1

Per ciascun esercizio proposto individuare la risposta corretta e motivarla.

1. La successione a _n = ⁿ

n+e

per n ! +1 a converge a 1

c diverge

b converge a 0

d nessuna delle precedenti 2. La successione a n = n ^↵ n log n + n ² log(1 + _n ¹ ) per n ! +1

a diverge a + 1 se e solo se ↵ > 1 c converge a 0 se e solo se ↵ < 1

b diverge a 1 se e solo se ↵ < 1 d nessuna delle precedenti

3. La successione a _n = n ^↵n log(1 + ² _n!

) converge a per ogni ↵ > 0

c per ogni ↵ < 1

b per nessun ↵ 2 R d nessuna delle precedenti 4. La successione a _n =

^{p n}

^p

ⁿ

e

1 con ↵ 6= 1, per n ! +1 a diverge a + 1 per ogni ↵ > 1

c converge a 0 per ogni ↵ < 1

b converge a 1 per ogni ↵ 6= 1 d nessuna delle precedenti 5. Il limite lim

x !0 (1 + |x|)

e

a non esiste

c esiste e vale e

b esiste e vale 0

d nessuna delle precedenti 6. La funzione f _↵ (x) = 1 + _x ¹

2x per x ! +1 converge a per ogni ↵ 2 R c solo per ↵ > 0 b per nessun ↵ 2 R

d nessuna delle precedenti

7. La funzione f _↵ (x) = _sin ^e

x log(1+x ^{(cos x)}

⁾

) per x ! 0 ⁺ `e infinitesima a per ogni ↵ 6= 2

c solo per ↵ = 2

b per ogni ↵ 2 R

d nessuna delle precedenti 8. La funzione f (x) = _{1 x} ^x

log(1 + tan x) per x ! 0 ha ordine di infinitesimo

a 1

c maggiore di 2

b 2

d nessuna delle precedenti 9. La funzione f (x) = log(cos ↵x) x sin x ha ordine di infinitesimo

a 2 per ogni ↵ 2 R c 4 per qualche ↵ 2 R

b maggiore di 4 per qualche ↵ 2 R d nessuna delle precedenti

10. La funzione f ↵ (x) = p

cos(↵x) cos ² x per x ! 0 ha ordine di infinitesimo a maggiore di 2 per qualche ↵ 2 R

c 2 solo per ↵ = 2

b 2 per ogni ↵ 2 R

d nessuna delle precedenti

2