7. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 2 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.
1. Se f (x) e g(x) sono funzioni definite e positive in [a, +1) tali che f(x) = o(g(x)) per x ! +1, allora
A. esiste b > a tale che f (x) < g(x) per ogni x > b.
B. f (x) + g(x)⇠ g(x) per x ! +1.
C. f (x) + g(x)⇠ f(x) per x ! +1.
2. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x! x0 tali che f (x) = o(g(x)) e g(x) ⇠ h(x) per x! x0. Allora
A. f (x)⇠ h(x) per x ! x0. B. f (x) = o(h(x)) per x! x0. C. f (x) + h(x)⇠ g(x) per x ! x0
3. Se f (x), g(x) e h(x) sono funzioni definite e non negative in (0, +1), tali che f(x) = o(h(x)) e g(x) = o(h(x)) per x! 0+, allora
A. esiste > 0 tale che f (x) + g(x) h(x) per ogni x 2 (0, ) B. f (x)⇠ g(x) per x ! 0+.
C. lim
x!0+f (x) g(x) = 0.
4. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x! 0 con ord(f(x)) < ord(g(x)) < ord(h(x)).
Quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?
A. lim
x!0
f (x) + h(x) f (x) + g(x) = 1.
B. lim
x!0
f (x) + g(x) g(x) + h(x) = 0.
C. lim
x!0
g(x) + h(x) f (x) + h(x) = 0
Utilizzando il simbolo “o piccolo”, calcolare i seguenti limiti 5. lim
x!+1
x2 log x + 3x 4x 2x+ x 6. lim
x!0+
ex p3
1 x
cos x 1 + sin2x 7. lim
x!0
log(1 + x2) + tan x p1 + 3x p
1 + x + x2
34
8. lim
x!0
etan3x p cos x sin x log(1 2x) + xp3
1 + x2
9. lim
n!+1
(en21 1)(sinn1 n12) log(cosn1) + tann1 10. lim
x!0
e↵x p3
1 x
sin x tan2x al variare di ↵2 R 11. lim
x!0
ex2 (cos x)↵
sin x x log(1 + x) al variare di ↵2 R 12. lim
n!+1
p1+↵n cosp1n 1
n2sinn1+n21 al variare di ↵2 R
. Risolvere gli esercizi 6-10 e 13-24 del libro di testo(f)
Determinare l’ordine di infinitesimo delle seguenti funzioni 13. f (x) = sin x cos x log(1 x) per x! 0
14. f (x) = esin x p 1 + x2 15. f (x) =p
cos x e x24 16. f (x) = log(cos x) p3
1 + x2+ 1 per x! 0
17. f↵(x) = sin2(↵x) log(1 + x2) per x! 0 al variare di ↵ 2 R
18. f↵(x) = (sin x log(1 + ↵x))(esin x 1)2 per x! 0 al variare di ↵ 2 R 19. f↵(x) = cos2x p
1 + ↵x per x! 0 al variare di ↵ 2 R 20. f↵(x) =⇣
log(cos ↵x) esin2x+ 1⌘ (p4
cos x 1) per x! 0 al variare di ↵ 2 R
21. Data f (x) funzione infinitesima di ordine 2 per x ! 0, stabilire se i seguenti limiti risultano finiti non nulli, nulli o infiniti.
a. lim
x!0
f (x) log(1 + 2x2) b. lim
x!0
f (x) px sin x c. lim
x!0
f (x) sin2x x
(f)In alcuni esercizi proposti nel libro di testo `e coinvolta l’arcotangente, per risolvere tali esercizi utilizzare i limiti notevoli (che proveremo in seguito): lim
x!0arctan x = 0 e lim
x!0 arctan x
x = 1 o equivalentemente arctan x⇠ x, per x ! 0 , arctan x = x + o(x), per x ! 0
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d. lim
x!0
sin2x log(1 + x2) f (x)
. Risolvere gli esercizi 31-40 del libro di testo
Per risolvere i precedenti esercizi sar`a utile ricordare i seguenti limiti notevoli per y! 0
sin y
y ! 1 sin y⇠ y sin y = y + o(y)
1 cos y
y2 ! 12 1 cos y⇠ y22 cos y = 1 y22 + o(y2)
tan y
y ! 1 tan y⇠ y tan y = y + o(y)
ey 1
y ! 1 ey 1⇠ y ey = 1 + y + o(y)
log(1+y)
y ! 1 log(1 + y)⇠ y log(1 + y) = y + o(y)
(1+y)↵ 1
y ! ↵ (1 + y)↵ 1⇠ ↵y (1 + y)↵= 1 + ↵y + o(y)
sinh y
y ! 1 sinh y⇠ y sinh y = y + o(y)
cosh y 1
y2 ! 12 cosh y 1⇠ y22 cosh y = 1 +y22 + o(y2) e che valgono le seguenti propriet`a degli “o” piccoli
• o(f(x)) ± o(f(x)) = o(f(x))
• k · o(f(x)) = o(k · f(x)) = o(f(x))
• g(x) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))
• o(g(x)) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))
• o(f(x) + o(f(x)) = o(f(x))
• o(o(f(x))) = o(f(x))
• g(x) ⇠ f(x) se e solo se g(x) = f(x) + o(f(x))
• Principio di cancellazione dei termini trascurabili: lim
x!x0
f (x)+o(f (x))
g(x)+o(g(x)) = lim
x!x0
f (x) g(x)
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