7. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 2

7. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 2 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Se f (x) e g(x) sono funzioni definite e positive in [a, +1) tali che f(x) = o(g(x)) per x ! +1, allora

A. esiste b > a tale che f (x) < g(x) per ogni x > b.

B. f (x) + g(x)⇠ g(x) per x ! +1.

C. f (x) + g(x)⇠ f(x) per x ! +1.

2. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x! x0 tali che f (x) = o(g(x)) e g(x) ⇠ h(x) per x! x0. Allora

A. f (x)⇠ h(x) per x ! x0. B. f (x) = o(h(x)) per x! x0. C. f (x) + h(x)⇠ g(x) per x ! x0

3. Se f (x), g(x) e h(x) sono funzioni definite e non negative in (0, +1), tali che f(x) = o(h(x)) e g(x) = o(h(x)) per x! 0⁺, allora

A. esiste > 0 tale che f (x) + g(x) h(x) per ogni x 2 (0, ) B. f (x)⇠ g(x) per x ! 0⁺.

C. lim

x!0⁺f (x) g(x) = 0.

4. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x! 0 con ord(f(x)) < ord(g(x)) < ord(h(x)).

Quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

A. lim

x!0

f (x) + h(x) f (x) + g(x) = 1.

B. lim

x!0

f (x) + g(x) g(x) + h(x) = 0.

C. lim

x!0

g(x) + h(x) f (x) + h(x) = 0

Utilizzando il simbolo “o piccolo”, calcolare i seguenti limiti 5. lim

x!+1

x² log x + 3^x 4^x 2^x+ x 6. lim

x!0⁺

e^x p³

1 x

cos x 1 + sin²x 7. lim

x!0

log(1 + x²) + tan x p1 + 3x p

1 + x + x²

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8. lim

x!0

e^tan3x p cos x sin x log(1 2x) + xp³

1 + x²

9. lim

n!+1

(eⁿ²¹ 1)(sin_n¹ _n¹2) log(cos_n¹) + tan_n¹ 10. lim

x!0

e^↵x p³

1 x

sin x tan²x al variare di ↵2 R 11. lim

x!0

e^x2 (cos x)^↵

sin x x log(1 + x) al variare di ↵2 R 12. lim

n!+1

p1+^↵_n cosp¹n 1

n2sin_n¹+_n2¹ al variare di ↵2 R

. Risolvere gli esercizi 6-10 e 13-24 del libro di testo^(f)

Determinare l’ordine di infinitesimo delle seguenti funzioni 13. f (x) = sin x cos x log(1 x) per x! 0

14. f (x) = e^{sin x} p 1 + x² 15. f (x) =p

cos x e ^x24 16. f (x) = log(cos x) p³

1 + x²+ 1 per x! 0

17. f_↵(x) = sin²(↵x) log(1 + x²) per x! 0 al variare di ↵ 2 R

18. f_↵(x) = (sin x log(1 + ↵x))(e^{sin x} 1)² per x! 0 al variare di ↵ 2 R 19. f↵(x) = cos²x p

1 + ↵x per x! 0 al variare di ↵ 2 R 20. f_↵(x) =⇣

log(cos ↵x) e^sin2x+ 1⌘ (p⁴

cos x 1) per x! 0 al variare di ↵ 2 R

21. Data f (x) funzione infinitesima di ordine 2 per x ! 0, stabilire se i seguenti limiti risultano finiti non nulli, nulli o infiniti.

a. lim

x!0

f (x) log(1 + 2x²) b. lim

x!0

f (x) px sin x c. lim

x!0

f (x) sin²x x

(f)In alcuni esercizi proposti nel libro di testo `e coinvolta l’arcotangente, per risolvere tali esercizi utilizzare i limiti notevoli (che proveremo in seguito): lim

x!0arctan x = 0 e lim

x!0 arctan x

x = 1 o equivalentemente arctan x⇠ x, per x ! 0 , arctan x = x + o(x), per x ! 0

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