5. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 1

5. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 1

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Se f (x) e g(x) sono funzioni definite e positive in [a, + 1) tali che f(x) = o(g(x)) per x ! +1, allora

A. esiste b > a tale che f (x) < g(x) per ogni x > b.

B. f (x) + g(x) ⇠ g(x) per x ! +1.

C. f (x) + g(x) ⇠ f(x) per x ! +1.

2. Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x ! x 0 tali che f (x) = o(g(x)) e g(x) ⇠ h(x) per x ! x 0 . Allora

A. f (x) ⇠ h(x) per x ! x 0 . B. f (x) = o(h(x)) per x ! x 0 . C. f (x) + h(x) ⇠ g(x) per x ! x 0

3. Se f (x), g(x) e h(x) sono funzioni definite e non negative in (0, + 1), tali che f(x) = o(h(x)) e g(x) = o(h(x)) per x ! 0 ⁺ , allora

A. esiste > 0 tale che f (x) + g(x)  h(x) per ogni x 2 (0, ) B. f (x) ⇠ g(x) per x ! 0 ⁺ .

C. lim

x !0

f (x) g(x) = 0.

Utilizzando la relazione di asintotico, calcolare i seguenti limiti 4. lim

x !0

log(cos x) sin ² x 5. lim

x !0

e ^{tan x} 1 p

cos x 1 log(1 + sin x) 6. lim

x !0

(cos x)

7. lim

x!+1

e

1 p

x ² + 2 p

x ² + 1 8. lim

x !0

sin(⇡ cos x) x sin x 9. lim

x !0

sin(↵x ³ ) log( p

1 + x ³ ) al variare di ↵ 2 R 10. lim

x!1

cos( ^⇡ ₂ x)

(x 1) ^↵ al variare di ↵ 2 R

25

Utilizzando il simbolo “o piccolo”, calcolare i seguenti limiti 11. lim

x!+1

x ² log x + 3 ^x 4 ^x 2 ^x + x 12. lim

x!0

e ^x p

1 x

cos x 1 + sin ² x 13. lim

x !0

log(1 + x ² ) + tan x p 1 + 3x p

1 + x + x ² 14. lim

x!0

e ^tan

^x p cos x sin x log(1 2x) + x p

1 + x ²

15. lim

n !+1

(e

1)(sin ¹ _{n n} ¹

) log(cos _n ¹ ) + tan _n ¹ 16. lim

x !0

e ^↵x p

1 x

sin x tan ² x al variare di ↵ 2 R 17. lim

x!0

e ^x

(cos x) ^↵

sin x x log(1 + x) al variare di ↵ 2 R 18. lim

n !+1

p n sin

+

p 1+

cos

al variare di ↵ 2 R

Per risolvere i precedenti esercizi sar` a utile ricordare i seguenti limiti notevoli per y ! 0

sin y

y ! 1 sin y ⇠ y sin y = y + o(y)

1 cos y

y

! ¹ ₂ 1 cos y ⇠ ^y ₂

cos y = 1 ^y ₂

+ o(y ² )

tan y

y ! 1 tan y ⇠ y tan y = y + o(y)

e

1

y ! 1 e ^y 1 ⇠ y e ^y = 1 + y + o(y)

log(1+y)

y ! 1 log(1 + y) ⇠ y log(1 + y) = y + o(y)

(1+y)

1

y ! ↵ (1 + y) ^↵ 1 ⇠ ↵y (1 + y) ^↵ = 1 + ↵y + o(y)

26