Lezione 22
Onde Magneto-acustiche
G. Bosia
Universita’ di Torino
Onde idro-magnetiche in un fluido compressibile
Consideriamo ore il caso di un fluido conduttore, compressibile secondo la legge 'adiabatica’ (XXII-04) che costituisce, il modello che riproduce più da vicino il comportamento del plasma.
Possiamo assumere, come equazioni di partenza, l'equazione del moto completa (p = 0), l'equazione del campo magnetico e l’ equazione di stato linearizzate per piccole perturbazioni
(XXII-01) (XXII-02)
(XXII-03) (XXII-04)
Nel caso considerato la div (v) non è più zero, ma, in base alla (XXII-02) e (XXII-04) è data da:
(XXII-05)
Si può dimostrare che le equazioni precedenti ammettono due soluzioni (ossia che possono esistere due onde fra loro indipendenti), per la propagazione ad un angolo (θ) fra la direzione di propagazione e B0, mentre nel caso di propagazione perpendicolare (θ =π/2), si può propagare una sola onda.
Ci limitiamo qui ad analizzare i due casi particolari di propagazione parallela (θ = 0) e perpendicolare (θ =π/2) a B0.
B v B
) 1 (
) (
0 0
2
0
= −∇ + + ⋅ ∇
∂
∂
µ
ρ p B µ
t
v B v B B
⋅
∇
−
∇
⋅
∂ =
∂
0
0 )
t (
0 )
0
( =
∂ +
∂ div v t ρ
ρ
0
0
0
=
+ p p
p ρ
γ
1 0 )
(
0
∂ =
− ∂
= t
p div p
v γ
Propagazione in un fluido compressibile parallela a B 0
Per una propagazione in direzione z assumiamo ancora ∂/ ∂x = ∂/ ∂y = 0. Essendo div (v) = 0, sarà di conseguenza:
e quindi vz= 0, cioè la velocità v avrà in generale una componente perpendicolare (v⊥) nel piano xy ed una componente parallela (v// = vz k) al campo magnetico B :
(XXII-06)
mentre dalla div B = 0 segue, come al solito ∂Bz/∂z = 0, cioè Bz= 0, il che significa che B è perpendicolare a B0. Come conseguenza di questo fatto, abbiamo B0• B = 0, e quindi va a zero il termine di 'pressione magnetica ' nell'equazione del moto (XXII-01):
possiamo quindi dire che nel caso di propagazione parallela a B0, la pressione magnetica non ha alcun effetto. Le due equazioni (XXII-01) e (XXII-03) facendo uso della (XXII-05) possono allora essere riscritte come:
(XXII-08)
≠ 0
∂
∂ z v
z= 0 +
= v
⊥v
zk v
B B B
B
v
0) 1 (
) (
0 0
0
= −∇ + ⋅ + ⋅ ∇
∂
∂
µ
ρ p µ
t
z B z
v p
t
z∂
+ ∂
∂
− ∂
=
∂ +
∂
⊥
0 0
0
( )
ρ v k B µ
t p v p
z
t
z∂
+ ∂
∂ +
= ∂
∂
∂
⊥
0
0
( )
γ
0k B
v B B
1 0 ) (
0
∂ =
− ∂
= t
p div p
v γ
(XXII-09) (XXII-07)
Propagazione in un fluido compressibile parallela a B 0
Separiamo le componenti trasversali e parallele a B0di queste due equazioni. Otteniamo per la componente trasversale:
e ritroviamo così il sistema di equazioni ((XXI-07) ) e (XXI-08), caratteristico delle onde di Alfvèn. Se scriviamo le componenti parallele a B0delle equazioni (XXII-08) otteniamo:
vediamo che sparisce l'effetto del campo magnetico B0. Eliminando vz, otteniamo l'equazione di propagazione delle onde acustiche:
E concludiamo che in direzione parallela al campo magnetico statico possono propagarsi sia le onde di Alfvèn che le onde acustiche
z
t ∂
= ∂
∂
∂ v
⊥B B
0 0
0
µ
ρ
z
t ∂
= ∂
∂
∂ v
⊥B B
0
z v p
t
z∂
− ∂
∂ =
∂ ρ
0t p v p
z
z∂
+ ∂
∂
= ∂
0 0
0 1
γ B
0B
2 0
2
0 0 2
2 =
∂
− ∂
∂
∂
z p p t
p ρ γ
1 0
0
∂ = + ∂
∂
∂
t p v p
z
zγ
cs
p =
0 0
ρ γ (XXII-10)
(XXII-11)
(XXII-13) (XXII-12)
(XXII-14)
Propagazione perpendicolare a B 0
In questo caso e’:
Di conseguenza saranno nulli i termini contenenti l'operatore (B
0· ∇ );
in particolare, la dà:
o da cui, integrando rispetto al tempo, risulta:
(IV-69)
da questa si vede che B è parallelo a B
0, e quindi trasversale rispetto alla direzione di
propagazione. L'equazione del moto
(XXII-15),scrivendo le componenti perpendicolari a B
0, diventa:
da questa, prendendo la divergenza di entrambi i membri e tenendo conto delle relazioni:
= 0
∂
∂ z
p0 p
0
1 B γ B=
) ( )
( v = div v
⊥div
B B B
B
v 0
) 1 (
) (
0 0
0 =−∇ + ⋅ + ⋅∇
∂
∂
µ
ρ p µ
t B B v B v
⋅
∇
−
∇
⋅
∂ =
∂
0
0 )
t (
t p p
t ∂
= ∂
∂
∂
0 0
γ B B
) (
0
0 µ
ρ v =−∇ +B0⋅B
∂
∂ ⊥ ⊥ p t
)
2( ∇
⊥= ∇
⊥div
1 0 ) (
0
∂ =
− ∂
= t
p div p
v γ
(XXII-15) (XXII-16)
(XXII-17)
(XXII-18)
(XXII-18)
Onde magnetoacustiche
Ricorrendo alla ed alla otteniamo infine:
da cui vediamo che, in direzione perpendicolare a B , può propagarsi un'onda con velocità (V) data da:
dove c e VA. sono rispettivamente la velocità del suono e la velocità di Alfvèn. Un'onda di questo tipo è detta 'onda magnetoacustica' . Fra le principali particolarità di queste onde, va segnalato il fatto che esse sono trasversali in B, come le onde di Alfvèn, e longitudinali in v, come le onde acustiche.
Il fatto che siano trasversali in B è già stato dimostrato. Il fatto che v sia longitudinale risulta facilmente se ammettiamo che la propagazione avvenga, per esempio, lungo l'asse x:
vediamo nell'equazione del moto (XXII-18) in quale direzione agiscono le forze. Utilizzando la t
p div p
∂
− ∂
=
0
) 1
(v γ
0 )
( 2
0 0
2
0 0 2
2 − + ∇ =
∂
∂ p B ⊥ p
t p
ρ µ ρ
γ 0
2 2 0
0 2
0 0
A
s V
B c
V = p + = +
ρ µ ρ
γ 0
p p B p
p B
p ⊥ ⊥
⊥ + ⋅ =∇ + = + ∇
∇ ( ) ( ) (1 )
2 0 2
0µ γ µ
γ µ
B B0
p0 p
0
1 B γ B =
p0 p
0
1 B γ B=
(XXII-20)
(XXII-21)
(XXII-22)
(XXII-23)
Onde magneto-acustiche
d'altra parte:
Quindi il fluido è sollecitato da forze parallele alla direzione di propagazione (x) e concludiamo che la velocità 'materiale' v è diretta secondo la direzione di propagazione.
Per dare una spiegazione qualitativa, supponiamo che il fluido compreso fra due piani paralleli, perpendicolari all'asse x ( vedi figura), venga compresso.
Esso reagirà alla compressione per effetto della propria pressione p, ed inoltre perché le linee di campo magnetico B, 'incollate' al fluido, subiranno una
deformazione, per cui risulteranno 'infittite1 e quindi il campo B intensificato. Il fatto che il campo magnetico varia nello spazio comporta la comparsa di correnti secondo l'equazione J = rot (H) , questa densità di corrente provoca una forza per unità di volume f = JxB = (rot HxB) che, come sappiamo risulta data da:
.dove l'ultimo termine è nullo perché B è parallelo a z e non varia al variare di z. Quindi il campo B reagisce alla compressione con una forza equivalente all'effetto di pressione data dalla 'pressione magnetica‘
(B2/2µ ). Possiamo perciò considerare le onde magneto-acustiche come onde simili alle onde acustiche v
x xi
p p
∂
= ∂
∇⊥ (XXII-24)
(XXII-25)
