Fluidi
Sono composti di molte particelle, troppe per usare la meccanica Non sono corpi rigidi
Non hanno una forma propria
possono avere un proprio volume (liquidi, con volume all’incirca costante), oppure no (gas, vapori)
vengono caratterizzati da grandezze diverse in parte diverse da quelle
meccaniche (pressione, volume, temperatura, densit` a)
Pressione
Data una superficie, interna o a contatto con il fluido, la pressione ` e P = F
∆S
F ` e la forza che il fluido esercita sulla superficie
∆S ` e la superficie
le forze che detrminano la pressione sono dovute agli urti delle
molecole (contro il contenitore del fluido, per esempio)
Statica dei fluidi
Se un fluido ` e in quiete, la pressione sulle pareti del recipiente deve essere normale, altrimenti ci sarebbe una corrente
Lo stesso deve valere per una qualsiasi sezione del fluido
Le molecole si muovono casualmente in ogni direzione, quindi mi aspetto che anche la pressione sia isotropa: questo ` e ci` o che si trova sperimentalmente
Con l’aumentare della profondit` a mi aspetto che la forza peso del liquido aumenti, quindi anche la pressione
Applicazione: martinetto idraulico
Densit` a
ρ ` e il rapporto tra massa e volume ρ = m/V
dipende da temperatura e pressione
Legge di Stevino
Voglio sapere come varia la pressione con l’altezza
considero un cubetto di lato h e calcolo la pressione sulle facce superiore e inferiore p(z) e p(z + h) con l’asse z che cresce verso il basso
p(z + h) sar` a maggiore di p(z) di una quantit` a pari al peso del volumetto diviso per la sua superficie
p(z + h) = p(z) + ρgh
Pressione atmosferica
Vale la legge dei gas perfetti
pV = nRT = NkT
dove T ` e la temperatura assoluta e k ed R le costanti di Boltzmann e dei gas, rispettivamente. N ` e il numero di particelle e n quello di moli.
Se T ` e costante, dato che la pressione diminuisce con l’altezza z in ragione di dp(z) = −ρ(z) g dz
dato che la densit` a ρ si pu` o ottenere come ρ = n M
V =⇒ p = ρ R T M dove M ` e la massa di una mole. Trovo
dp
dz = − gM RT p da questa ottengo (m massa di una molecola)
p = p 0 exp(− gM RT z) = p 0 exp(− gm kT z)
Unit` a di misura della pressione
Nel S.I. si misura in N/m 2 o Pascal (Pa)
Poich´ e un liquido pu` o risalire in un recipiente in cui sia stato fatto il vuoto sotto l’effetto della pressione, si pu` o misurare questa
dall’altezza della colonna di liquido. Si usa il mercurio e 1 mm di mercurio (mmHg ) ` e una misura di pressione
La pressione dell’atmosfera a temperatura ambiente e livello del mare vale circa 1, 013 · 10 5 Pa e 760 mmHg = 1 atm
Il bar vale 10 5 Pa e quindi 1 atm = 1, 013 bar La pressione di 1 m di acqua ` e
ρ g h ≈ 1000 Kg /m 3 · 10m/s 2 · 1 m ≈ 10 4 Pa ≈ 0.1 atm. Quindi 10 m di acqua esercitano la stessa pressione di tutta l’atmosfera
Se avete un pozzo profondo 15 m come fate a tirar su l’acqua?
Se salgo di 100 m in montagna, la pressione di quanto diminuisce?
Calcolo ρ g h = 1.29 Kg /m 3 · 10 m/s 2 · 10 2 m ≈ 12, 9 mbar
La pressione arteriosa si misura il mmHg . Quanto vale quella di una
persona sana?
Applicazioni
della pressione
Se un sommozzatore si immerge in profondit` a deve ritornare in superficie lentamente per evitare l’embolia. Cosa ` e l’embolia e perch´ e
`
e un pericolo per i sub?
Pressione ortostatica: se una persona sta in piedi la pressione alla testa ` e diversa da quella ai piedi. quanto vale la differenza? Dato che il sangue ha una densit` a molto vicina a quella dell’acqua, Se una persona ` e alta 1,60 la differenza ` e circa 0,16 atm e quindi circa 120 mmHg
Mal di montagna: La densit` a dell’aria decresce con l’altitudine, quindi a 3-4000 m l’ossigeno che arriva al cervello ` e molto meno, a cuasa della minore saturazione dell’emoglobina. Il problema si risolve aumentando la percentuale di ossigeno nell’aria o salendo lentamente, per permettere ai globuli rossi di formarsi.
Come fanno gli Yak a vivere sull’Himalaya?
Si pu` o andare in treno a Lhasa? E in aereo?
Manometri
Sono gli strumenti per misurare la pressione
Manometri a liquido (per esempio a U): sfruttano la rsalita di un liquido sotto pressione
Manometri piezoelettrici (sfruttano il fatto che alcune sostanze sviluppano una d.d.p. se sottoposte a pressione). Funzionano cos`ı anche certi accendigas
Sfigmomanometro: ` e l’apparecchio che i medici usano per misurare la
pressione. Facendo entrare l’aria nel manicotto lo si gonfia fino a una
pressione a cui il cuore non riesce a pompare sangue nel braccio: ` e la
pressione massima (sistolica). Diminuendo la pressione si ode il
rumore del moto vorticoso del sangue: la pressione a cui questi rumori
cessano ` e la minima (diastolica)
Principio di Archimede
Considero un cubetto di lato L immerso in un liquido a profondit` a z > L. La pressione sopra il cubetto ` e p 0 + ρgz mentre sotto ` e p 0 + ρgz + ρgL. Avr` o quindi una spinta verso l’alto pari a ρgL · L 2 = ρV cio` e al peso dell’aqua spostata
In generale posso immaginare di togliere istantaneamente il corpo dal liquido, e di sostituire la parte immersa con un uguale volume del liquido. Otterrei un liquido perfettamente in equilibrio. Dato che il peso che ho aggiunto ` e esattamente il peso di liquido spostato, trovo una dimostrazione generale del principio
Che densit` a deve avere un corpo per galleggiare?
Come pu` o galleggiare una nave di ferro?
E pi` ` u facile noutare in mare o in piscina?
Interazioni microscopiche
Per un gas la distanza d tra molecole si trova osservando che a temperatura ambiente (circa 300 K ) e pressione di 1 atm ≈ 10 5 Pa il volume a disposizione di una molecola ` e
V /N A = nRT /pN A = 1·8.314J/K ·300K /10 5 Pa/6·10 23 ≈ 4·10 −25 m 3 Quindi la distanza media tra molecole sar` a
d = (V /N a ) 1/3 ≈ 4 · 10 −8 m D’altra parte, le dimensioni tipiche di una molecola sono
≈ 4 · 10 −9 m, circa dieci volte inferiori. Le molecole di un gas interagiscono quindi molto poco
Per un liquido come l’acqua, d ` e invece intorno a 3 · 10 −10 m, dello stesso ordine delle dimensioni della molecola, e le forze tra molecole diventano quindi importanti
Per molecole non polari il ruolo principale ` e giocato dalle forze di Van
der Waals, repulsive a corta distanza e attrattive a grande distanza,
che diventano nulle per r → ∞
Tensione superficiale
L’acqua che esce lentamente dal rubinetto gocciola
un ago posato lievemente sull’acqua non affonda, anche se la sua densit` a ` e maggiore di quella dell’acqua
Alcuni insetti camminano sull’acqua
In un capillare ai bordi l’acqua si trova sopra o sotto il livello del centro
Le molecole alla superficie del liquido sono attratte verso l’interno, dato che da quella parte la densit` a ` e maggiore
Per aumentare la superficie di un liquido devo compiere del lavoro,
perch´ e rompo met` a dei legami
Tensione superficiale
Definizioni
Definisco tensione superficiale la forza per unit` a di lughezza che serve per rompere il legami del liquido e aumentare la superficie. Se la superficie aumenta da entrambi i lati (come per una pellicola) il valore sar` a doppio.
τ = F L
Allontanando di un tratto dx i due lembi della linea, devo fare un lavoro F dx = τ L dx = τ dA essendo dA l’aumento di area. La tensione superficiale si pu` o quindi anche definire come
τ = dW dA
τ si misura in N/m
Applicazioni
della tensione superficiale
Le gocce di un liquido tendono verso una forma sferica perch´ e la superficie sferica ` e quella pi` u piccola a parit` a di volume (occorre per` o tenere conto della forza di gravit` a, che deforma soprattutto le gocce pi` u grandi)
Il sapone e i detersivi hanno la caratteristica di diminuire la tensione superficiale (tensioattivi); ` e questa propriet` a che li rende utili, perch´ e permette all’acqua di penetrare meglio nelle fibre dei tessuti
Ugualmente, al crescere della temperatura, la tensione superficiale
dell’acqua diminuisce: a 0 o C ` e 0.076 N/m, a 20 o C ` e 0.072 N/m e
a 100 o C ` e 0.059 N/m, il che rende molto pi` u facile lavare con acqua
calda
Legge di Laplace
Considero una bolla di sapone sferica di raggio r . La tensione
superficiale in un punto ha una componente verso il centro della sfera.
Per calcolarla trovo il lavoro che serve per ingrandire la bolla di un raggio dr
dS = 4π (r + dr ) 2 − r 2 = 8π r dr
Il lavoro per espandere un recipiente di gas di un volume dV ` e dato da pdV , che, in questo caso, significa
dW = 2p dV = 2 p 4πr 2 dr = τ dS = 8πτ r dr
Il fattore 2 ` e dovuto al fatto che la bolla di sapone ha due superfici.
Dal confronto delle due equazioni p = 2τ /r
Se S non ` e sferica, il raggio di curvatura dipende dalla direzione considerata. Se r 1 e r 2 sono i raggi minimo e massimo si trova
p = τ
1 r
1+ r 1
2
