17.3. Il paradiso dell’integrale di Fourier.
17.3.1. Euristica. Consideriamo i processi di analisi e di sintesi di Fourier per una funzione f (x) periodica di periodo L. Assumiamo che f (x) sia abbastanza regolare in modo tale che ci sia convergenza puntuale nel processo di sintesi. Allora si ha
f (n) =b 1 L
Z L/2
−L/2
f (x)e−i2πLnxdx (1)
f (x) = lim
N →∞
XN n=−N
f (n)eb i2πLnx = X∞ n=−∞
f (n)eb i2πLnx (2)
Vogliamo capire che cosa succede a queste relazioni quando l’intervallo [−L/2, L/2]
aumenta a dismisura fino a ricoprire l’intera retta reale.
Se assumiamo che la funzione f (x) sia abbastanza buona, l’integrale a secondo membro della (1) converger`a nel limite di grandi L, ma il fattore 1/L davanti far`a tendere a zero le coordinate di Fourier. `E dunque utile passare a coordinate dimensionate anche per le coordinate — cos`ı come `e dimensionata la funzione, infatti L pu`o essere una lunghezza o un tempo — e riscalarle con un fattore L in modo da garantire che si abbia un limite finito non nullo. A tal fine, definiamo
def= 1 (3) L
ξ def= n L = n (4)
fb(ξ)def= 1
f (n) =b 1
fb
ξ
(5)
e sostituiamo nella (1). Si ottiene
fb(ξ) = 1
fb
ξ
= Z L/2
−L/2
f (x)e−i2πξxdx
Consideriamo un possibile grafico delle coordinate di Fourier riscalate bf (asu- mendole per semplicit`a reali). Il grafico mostra chiaramente che nel limite, quando la distanza tra due punti sulle ascisse si avvicina sempre pi`u, si dovrebbe ottenere, almeno euristicamente, una funzione limite bf (ξ) definita su tutti i punti dell’asse
1
2
delle ξ.
� = 1 L
ξ = �n f��(ξ)
Possiamo aspettarci un limite finito e non nullo per arbitrariamente piccolo o, equivalentemente, per L arbitrariamente grande se f (x) `e abbastanza buona: deve essere non solo regolare, ma anche con decrescenza abbastanza rapida al crescere di |x| in modo tale che l’integrale improprio
f (ξ) =b Z ∞
−∞
f (x)e−i2πξxdx che si ottiene nel limite = 1/L → 0 sia finito.
Consideriamo adesso la somma parziale della serie di Fourier in (2):
XN n=−N
f (n)eb i2πLnx
Tenuto conto della (5), possiamo riscrivere la somma parziale come
(6) SN =
XN n=−N
fb(ξ)ei2πiξx
Se adesso facciamo crescere N come 1/ = L, riconosciamo in SN la somma di Riemann che nel limite N → ∞ diventa l’integrale (improprio)
Z ∞
−∞
f (ξ)eb i2πiξxdξ = lim
N →∞SN
E difficile trasformare le argomentazioni euristiche precedenti in una dimostra-` zione rigorosa. Possiamo per`o dire che abbiamo buone ragioni per ritenere che se f (x) `e abbastanza buona, nel limite del periodo L che va all’infinito — e tenuto
3
conto del riscalamento (5) — i processi di analisi e sintesi dell’analisi di Fourier diventano
f (ξ) =b Z ∞
−∞
f (x)e−i2πξxdx f (x) =
Z ∞
−∞
f (ξ)eb i2πiξxdξ
Ci aspettiamo cio`e che valga un teorema analogo al seguente (che `e corretto chia- mare “teorema di Fourier, visto che il passaggio al limite di periodo infinito era gi`a stato considerato da Fourier con argomentazioni analoghe a quelle che abbio esposto sopra).
Teorema 1 (di Fourier). Sia f (ξ)b def=
Z ∞
−∞
f (x)e−i2πξxdx (7)
Allora, se f (x) appartiene ad una certa classe di funzioni, si ha f (x) =
Z ∞
−∞
f (ξ)eb i2πiξxdξ (8)
Prima di procedere, due parole su notazioni e terminologia. La funzione ˆf (ξ) `e detta trasformata di Fourier di f . L’interpretazione fisica della ξ `e di una frequenza temporale, se x `e un tempo, o spaziale, se x `e uno spazio (in quest’ultimo caso, se k `e il numero d’onda, ν = k/2π). La notazione standard per la trasformata inversa di una funzione g = g(ξ) `e
g∨(x) = Z ∞
−∞
g(ξ)ei2πiξxdξ ,
Il teorema di Fourier `e dunque riassunto dalla formula ˆf∨ = f . Infine, si osservi che
f (x) =f (−x) .ˆˆ
Naturalmente, il teorema di Fourier `e vuoto, se non si chiarisce quale sia la
“certa classe di funzioni” di cui si parla. Ad essere generici, si potrebbe dire che, se le funzioni sono buone, il teorema di Fourier vale. Questa affermazione `e in effetti molto meno vaga di quanto possa sembrare. Infatti, tra poco mostreremo che se le funzioni sono buone, nel senso tecnico del termine specificato nella lezione 9.2, vale il teorema di Fourier.
17.3.2. Trasformate di Fourier di funzioni buone. Lo spazio delle funzioni buone `e il paradiso dell’integrale di Fourier: vale il teorema di Fourier e tutte le propriet`a dell’integrale di Fourier che si utilizzano nella pratica si dimostrano facilmente e rigorosamente in questo paradiso. Innanzi tutto, vale il seguente teorema.
4
Teorema 2. Se f (x) `e una funzione buona, allora anche ˆf (ξ) lo `e
Richiamiamo dalla lezione 9.2 la nozione di funzione buona: una funzione di x ∈ R che `e infinitamente differenziabile e tale che essa e le sue derivate decrescono all’infinito pi`u rapidamente di qualunque potenza negativa di |x|. Per dimostrare il teorema, incominciamo col derivare p volte
f (ξ) =b Z ∞
−∞
f (x)e−2πiξxdx . Poich`e f `e buona possiamo scambiare derivata e integrale
fˆ(p)(ξ) = Z +∞
−∞
(−2πix)pf (x)e−i2πξxdx
Adesso integriamo per parti N volte il secondo membro (tenendo conto che f si annulla all’infinito). Otteniamo
fˆ(p)(ξ) = Z +∞
−∞
dN
dxN [(−2πix)pf (x)] 1
(2πiξ)Ne−2πiξxdx Allora
| ˆf(ξ)(k)| = 1
(2πiξ)N Z +∞
−∞
dN
dxN [(−2πix)pf (x)] e−2πiξxdx
≤ (2π)p−N
|ξ|N
Z +∞
−∞
dN
dxN [xpf (x)]
dx
Quindi ˆf(p) `e di ordine |ξ|−N per ogni N , cio`e decresce pi`u rapidamente di qua- lunque potenza negativa di |ξ|; in breve, `e una funzione buona.
