• Non ci sono risultati.

x ≠ 0 fD fD ,00, +∞∪∞−=

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "x ≠ 0 fD fD ,00, +∞∪∞−="

Copied!
4
0
0

Testo completo

(1)

1 Corso di Laurea di Economia

Insegnamento di Metodi Matematici per l’Economia – a.a. 2011/2012 Prof. Domenico De Giovanni

Studio della seguente funzione:

( ) ( )

x

x

e x x f

1

1

=

• Dominio

( ) ( f = − ∞ , 0 ) ( ∪ 0 , +∞ )

D

Trattasi di una funzione continua e derivabile in

D ( ) f

( ) = ( )

= −∞

−∞

−∞

x x

x

e x x

f

1 1

1 lim

lim

(in quanto 1 0

lim =

−∞

x

x )

( ) = ( )

= −∞

x x

x

e x x

f

1 1

0 0

1 lim

lim

(in quanto

= +∞

x x

e

1 1

0

lim

)

( ) lim ( 1 ) 0

lim

1 1

0 0

=

=

+ +

x x

x

f x x e

(in quanto

lim 0

1 1

0

=

+ x

x

e

)

( ) = ( − ) = +∞

+∞

+∞

x x

x

f x x e

1 1

1 lim

lim

(in quanto 1 0

lim =

+∞

x

x )

• Ricerca degli asintoti obliqui (all’infinito).

Sia

x ≠ 0

:

i)

( )

x x

y x x e

x x

x

f xx 1

1 1 1 1

− =

− =

=

Il limite per x tendente a + (- ) di

( )

x x

f sarà il risultato della “composizione”

e x ye

x y

y x

=

=

− =

=

+∞

1

lim , 1 1 lim

(2)

2

( ye e

x

x y

y x

=

=

− =

= +

+

−∞

1

lim , 1 1

lim )

Quindi

( ) ( )

x e x e f

x x f

x x

=

=

=

=

−∞

+∞

lim , lim

ii)

( )

x e x e

e x e

x x ex x f

x x

x

1 1 1 1

1 1

1  −

 

 −

=

− −

=

Determinare il limite per x tendente a + (- ) può ricondursi al calcolo del limite per y 1x

= a 0+ (0-) di

( )

y e e y y

1 1

Trattandosi di rapporti di infinitesimi e rapporto di funzioni derivabili, possiamo considerare il rapporto delle loro derivate:

( y ) e ( ) e [ y ]

e

y y y

+

− =

− +

1 1 1

1

1

1 1

1

ed il limite per x tendente a 0.

Così:

[

f

( )

x ex

]

e

x

2

lim − =−

+∞

[

f

( )

x ex

]

e

x

2

lim − =−

−∞

In conclusione, y=ex−2e è l’equazione dell’asintoto obliquo a “+ ” e a “- ”.

• Derivate

- La derivata prima della funzione:

( ) [ ( )

1

]

1 1

[

1 2

]

1 1 2 2

' 1

1 1

1

x x e x

x x e

e x D x

f x x x + −

=

− +

=

=

( ) ( )

2 5 1

2 5 , 1

0

2 1 '

+

= −

= −

=

x x f D x x

f

(3)

3 x1 punto di max relativo

x2 punto di min relativo

f(x) crescente in 



 − −

− 2

5

, 1 e in 



 + +∞

− ,

2 5 1

f(x) decrescente in 



− − 0 2 ,

5

1 e in 



 − + 2

5 , 1

0

NB:

( )

1 1 2 1

[

2

]

0 '

0

1 1 lim

1 1 lim

lim e y y

x x e

x

f y

x x

x x

− +

=

 

 + −

=

+∞

+ +

[ 1 ] lim [ 1 ] 0

lim

1

2 2

1

+ − =

=

+

+∞

+∞

x y

y

x

e

y y y

y

e

così lim '

( )

0

0

+ =

f x

x

- La derivata seconda della funzione:

( ) [

1

(

1 2

) ]

1 1

(

2 3 4 2 3

)

1

(

3 4

)

1 4

' 3 1

3 2

1

1

x e x x x e x x

x x x e x

x e

D x

Df x

x x

x

x x

=

= +

− +

=

− +

=

+

+

( ) ( )

3 , 1

0 ''

'' x = xD fx= f

( ) 0 ( , 0 )

''

x < x ∈ − ∞

f

,

f ( ) x

è concava in

( − ∞ , 0 )

( ) 

 

∈ 

< 3

, 1 0

''

0

x x

f

,

f ( ) x

è concava in

 

 3 , 1 0

( ) 

 

 +∞

> ,

3 0 1

''

x x

f

,

f ( ) x

è convessa in

 

 , +∞

3

1

(4)

4 Grafico di f

( )

x

Si riporta il particolare riguardante il punto di minimo relativo.

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 1.0 1.5

Riferimenti

Documenti correlati

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.. Sia f una funzione continua e derivabile nell’intervallo

[r]

ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 3 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.. Risolvere gli esercizi 11-25 del libro

[r]

Il punto della curva più vicino ad A è quello per cui la funzione f (x ) assume il

Calcolare la ma- trice jacobiana di g in un punto generico del piano e mostrare che in ogni punto (x, y) ∈ R 2 sono verificate le ipotesi del teore- ma della funzione inversa;

Anche qui, essendo f continua e derivabile in ]0, +∞[, dovrà esistere almeno un punto di flesso.. La serie converge, si applicano il criterio del confronto asintotico e il criterio

[r]