1 Corso di Laurea di Economia
Insegnamento di Metodi Matematici per l’Economia – a.a. 2011/2012 Prof. Domenico De Giovanni
Studio della seguente funzione:
( ) ( )
xx
e x x f
1
1
−
−
=
• Dominio
( ) ( f = − ∞ , 0 ) ( ∪ 0 , +∞ )
D
Trattasi di una funzione continua e derivabile in
D ( ) f
( ) = ( − )
−= −∞
−∞
→
−∞
→
x x
x
e x x
f
1 1
1 lim
lim
(in quanto 1 0lim =
−∞
→ x
x )
( ) = ( − )
−= −∞
→
→ − −
x x
x
e x x
f
1 1
0 0
1 lim
lim
(in quanto −= +∞
→ − x x
e
1 1
0
lim
)( ) lim ( 1 ) 0
lim
1 1
0 0
=
−
=
−
→
→ + +
x x
x
f x x e
(in quantolim 0
1 1
0
=
−
→ + x
x
e
)( ) = ( − ) = +∞
−
+∞
→ +∞
→
x x
x
f x x e
1 1
1 lim
lim
(in quanto 1 0lim =
+∞
→ x
x )
• Ricerca degli asintoti obliqui (all’infinito).
Sia
x ≠ 0
:i)
( )
x x
y x x e
x x
x
f xx 1
1 1 1 1
−
− =
− =
=
−
Il limite per x tendente a + (- ) di
( )
x x
f sarà il risultato della “composizione”
e x ye
x y
y x
=
=
− =
= −
→
− +∞
→ 1
lim , 1 1 lim
2
( ye e
x
x y
y x
=
=
− =
= +
→ +
−∞
→ 1
lim , 1 1
lim )
Quindi
( ) ( )
x e x e f
x x f
x x
=
=
=
=
−∞
→ +∞
→
lim , lim
ii)
( )
x e x e
e x e
x x ex x f
x x
x
1 1 1 1
1 1
1 −
−
=
− −
=
−
−
−
Determinare il limite per x tendente a + (- ) può ricondursi al calcolo del limite per y 1x
= a 0+ (0-) di
( )
y e e y y −
− 1− 1
Trattandosi di rapporti di infinitesimi e rapporto di funzioni derivabili, possiamo considerare il rapporto delle loro derivate:
( y ) e ( ) e [ y ]
e
y y y+
−
−
− =
− +
−
− − −1 1 1
1
1
1 11
ed il limite per x tendente a 0.
Così:
[
f( )
x ex]
ex
2
lim − =−
+∞
→
[
f( )
x ex]
ex
2
lim − =−
−∞
→
In conclusione, y=ex−2e è l’equazione dell’asintoto obliquo a “+ ” e a “- ”.
• Derivate
- La derivata prima della funzione:
( ) [ ( )
1]
1 1[
1 2]
1 1 2 2' 1
1 1
1
x x e x
x x e
e x D x
f x x x + −
=
− +
=
−
=
− −
− −
− −
( ) ( )
2 5 1
2 5 , 1
0
2 1 '
+
= −
−
= −
⇔
∈
=
x x f D x x
f
3 x1 punto di max relativo
x2 punto di min relativo
f(x) crescente in
− −
∞
− 2
5
, 1 e in
+ +∞
− ,
2 5 1
f(x) decrescente in
− − 0 2 ,
5
1 e in
− + 2
5 , 1
0
NB:
( )
1 1 2 1[
2]
0 '
0
1 1 lim
1 1 lim
lim e y y
x x e
x
f y
x x
x x
− +
=
+ −
= −
+∞
→
−
→
→ + +
[ 1 ] lim [ 1 ] 0
lim
12 2
1
+ − =
=
−
+
→+∞ −− +∞
→ x y
y
x
e
y y y
y
e
così lim '( )
00
+ =
→ f x
x
- La derivata seconda della funzione:
( ) [ 1 (
1 2) ] 1 1(
2 3 4 2 3)
1(
3 4)
1 4
(
2 3 4 2 3)
1(
3 4)
1 4' 3 1
3 2
1
1
x e x x x e x x
x x x e x
x e
D x
Df x
x x
x
x x −
=
−
= +
−
− +
=
− +
=
+
−
− +
−
−
−
−
− −
−
−
− −
( ) ( )
3 , 1
0 ''
'' x = x∈D f ⇔ x= f
( ) 0 ( , 0 )
''
x < x ∈ − ∞
f
,f ( ) x
è concava in( − ∞ , 0 )
( )
∈
< 3
, 1 0
''
0
x x
f
,f ( ) x
è concava in
3 , 1 0
( )
+∞
∈
> ,
3 0 1
''
x x
f
,f ( ) x
è convessa in
, +∞
3
1
4 Grafico di f
( )
xSi riporta il particolare riguardante il punto di minimo relativo.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5 1.0 1.5