0 ∞+ fD , +∞∞−=

1 Corso di Laurea di Economia

Insegnamento di Metodi Matematici per l’Economia – a.a. 2011/2012 Prof. Domenico De Giovanni

Studio della seguente funzione:

( ) x ⁼

⁵

x

³

( x ^{+ 1} )

²

f

• Dominio

( ) ( f = − ∞ , +∞ )

D

• Asintoti

5 +2

= x

y Asintoto obliquo (a “

+ ∞

” e “−∞”)

• Derivata

Ricordando che

h

⁻¹

( ) y =

⁵

y

è l’inversa di h

( )

x = x⁵ e, pertanto, derivabile in y∈ℜ\

{ } ⁰

, la funzione

( ) x

f

è derivabile in

(

−∞^,−¹

) (

∪ −^1,0

) (

∪ ^0,+∞

)

=D

( )

f^' .

( ) ( ) [ ( ) ] [ ^{( )} ] [ ^{( ) ( )} ]

( )

[

^{3 2}

]

⁴⁵

2 3 4 2 3

1 2 15 3 2

15 3 2

'

1 3 8 5 5 1 1 2 1

3 1

5 1 1

+ +

= + + +

+ +

= +

=

= ⁻

x x

x x x x

x x

x x

x x

x D x Df x f

( )

⁰

' x =

f per ^{x ∈D}

( )

^f' : consideriamo il polinomio al numeratore:

[ ] ^{( )}

^



 



 + +

= + +

= +

+ 5

1 3 3

8 5 3

8

5x⁴ x³ x² x² x² x x² x x

Quindi:

( )

⁰

' x =

f per

( )

5

' 3

−

=

⇔

∈D f x

x

2 N.B.: il segno di f ^'

( )

x per x ∈D

( )

f ^' = il segno del polinomio

5 x

⁴

+ 8 x

³

+ 3 x

²

( ) ( )

( )

=+∞

( )

=+∞

−∞

= +∞

=

+

−

+

−

→

→

−

→

−

→

x f x

f

x f x

f

x x

x x

' 0 '

0

' 1 '

1

; lim lim

; lim lim

Grafico di

f ( ) x

:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3 La funzione f^'

( )

x è derivabile in D

( )

f^' , si ricava così:

( ) ( )

( )

[ ]

[ ] [ ^{( )} ] [ ] [ ^{( )} ] [ ^{( )} ]

( )

[ ]

[ ] [ ^{( )} ] [ ] [ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

( )

( )

( )

^{185 75}

( )

⁸⁵

5 27

4 2

185 5

27 2 4

5 2 9 3

4 5 6

15 85 3 2

2 3 4 2

3 2 4

3 2

3

85 3 2

3 2 5 1 2 4 3

2 3 5 4

2 4 3

2 3

5 2 4 3

2 3 4 '

2

1 1 25

6 1

1 25

6 1

1 2 25

6 1

6 12 6

25 1

1

3 8 5 5

3 4 8 5 1 6

24 20

5 1

1

1 5 1

3 4 8 5 1

6 24 20

5 1

1 3 8 5 5 1

+

−

= +

− +

= +

+

− +

= +

−

−

= −

= +

+ + +

+

− + +

+

=

= +

+ +

+ +

− +

+ +

=

=



 





 



+ +

= +

=

+

−

x x x

x x x x

x

x x x x

x

x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x

x x

x x D x

x x x x x

x x x x

x x

x x D x

x Df x f

In conclusione:

( ) x

f

è convessa in

( − ∞ ,− ¹ ) ( ) x

f

è convessa in

( − ^{1 , 0} ) ( ) x

f

è concava in

( 0 , +∞ )