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si dice semimartingala e V t e M t sono univocamente determinati. (Supporremo senza perdere in generalit` a che V 0 = M 0 = 0). Possiamo definire anche per le semimartingale la variazione quadratica e risulta

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Academic year: 2021

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(1)

Sia V t un processo a variazione totale limitata e M t una martingala, entrambi i processi adattati alla filtrazione {F t }. Il processo

Z t = Z 0 + V t + M t

si dice semimartingala e V t e M t sono univocamente determinati. (Supporremo senza perdere in generalit` a che V 0 = M 0 = 0). Possiamo definire anche per le semimartingale la variazione quadratica e risulta

n−1

X

i=0

(Z t

i+1

− Z t

i

) 2 →

P

hM i t

quando la partizione π = {t 0 = 0 < t 1 < . . . < t n = t} tende all’infinito; in altre parole la variazione quadratica di Z coincide con la variazione quadratica della sua componente martingala M : il processo a variazione totale limitata V non d` a nessun contributo!

Definiamo

Z t 0

X r dZ r = Z t

0

X r dV r + Z t

0

X r dM r

dove al secondo membro il primo integrale ` e un “normale” integrale di Stieltjes ed il secondo ` e un integrale stocastico rispetto ad una martingala.

Calcoliamo

Z t 0

Z r dZ r come limite (in probabilit` a) delle somme

n−1

X

i=0

Z r

i

(Z r

i+1

− Z r

i

) = 1

2 (Z t 2 − Z 0 2 ) − 1 2

n−1

X

i=0

(Z r

i+1

− Z r

i

) 2 da cui

Z t 0

Z r dZ r = 1 2 (Z t 2 − Z 0 2 ) − 1 2 A t

che possiamo riscrivere Z t 2 = Z 0 2 + 2

Z t 0

Z r dZ r + A t = Z 0 2 + 2 Z t

0

Z r dV r + A t + 2 Z t

0

Z r dM r

Esempio

Z(t) = Z(0) + Z t

0

F (r) dr + Z t

0

G(r) dW r

1

(2)

Z(t) 2 = Z(0) 2 + 2 Z t

0

Z(r) F (r) dr + Z t

0

G(r) 2 dr + 2 Z t

0

Z(r) G(r) dW r Usando l’identit` a (a + b) 2 − (a − b) 2 = 4 a b (spesso chiamata identit` a di polariz- zazione) si pu` o dimostrare che dati due processi di Itˆ o

Z 1 (t) = Z 1 (0) + Z t

0

F 1 (r) dr + Z t

0

G 1 (r) dW r

Z 2 (t) = Z 2 (0) + Z t

0

F 2 (r) dr + Z t

0

G 2 (r) dW r allora si ha

Z 1 (t) Z 2 (t) = Z 1 (0) Z 2 (0) + Z t

0

(Z 1 (r) F 2 (r) + Z 2 (r) F 1 (r)) dr + Z t

0

G 1 (r) G 2 (r) dr +

Z t 0

(Z 1 (r) G 2 (r) + Z 2 (r) G 1 (r)) dW r Cio` e la Proposizione 7.3 del Baldi.

2

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[r]

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