Formula di De Moivre
Marco Robutti 11 settembre 2013
Introduzione
Per il calcolo delle potenze di un numero complesso, viene molto utile la cosid- detta formula di De Moivre:
(cos θ + ı sin θ)n = cos (nθ) + ı sin (nθ) , (1)
con n ∈ N.
Dimostrazione
La dimostrazione della formula (1) si conduce per induzione. Nelle righe che seguiranno, al fine di rendere più comprensibile la dimostrazione per il caso n = k + 1, la formula verrà verificata anche per il caso n = 1, sebbene non sia strettamente necessario per il principio di induzione in sè.
caso n = 0
Per n = 0 abbiamo che:
(cos θ + ı sin θ)n = (cos θ + ı sin θ)0= 1 (2) cos (nθ) + ı sin (nθ) = cos (0 · θ) + ı sin (0 · θ) = cos 0 + i sin 0 = 1 (3)
Quindi la formula (1) è verificata in quanto la (2) e la (3) sono uguali.
caso n = 1
Per n = 1 abbiamo che:
(cos θ + ı sin θ)n = (cos θ + ı sin θ)1= cos θ + ı sin θ (4) cos (nθ) + ı sin (nθ) = cos (1 · θ) + ı sin (1 · θ) = cos θ + ı sin θ (5)
1
Quindi la formula (1) è verificata in quanto la (4) e la (5) sono uguali. Suppo- niamo ora che la formula sia verificata per il caso n = k, k ∈ N. Bisogna quindi dimostrare che il teorema vale anche per n = k + 1.
caso n = k + 1
Dobbiamo dimostrare che:
(cos θ + ı sin θ)(k+1)= cos ((k + 1) · θ) + i sin ((k + 1) · θ) (6)
A tale scopo, riscriviamo il primo membro dell’equazione (6) nel modo seguente:
(cos θ + ı sin θ)(k+1)=h
(cos θ + ı sin θ)ki
·h
(cos θ + ı sin θ)1i
(7)
Per il caso n = 1 abbiamo verificato la correttezza della formula, mentre per il caso n = k il principio di induzione ci garantisce che anche in tale situazione la formula è valida. Quindi possiamo riscrivere la (7) nel modo seguente
= (cos (kθ) + ı sin (kθ)) · (cos θ + ı sin θ)
= cos (kθ) cos (θ) + ı cos (kθ) sin θ + ı sin (kθ) cos θ − sin (kθ) sin θ
= cos (kθ) cos θ − sin (kθ) sin (θ) + ı (cos (kθ) sin θ + sin (kθ) cos θ) , (8)
dove la (8) si è ottenuta sviluppando i calcoli. A questo punto possiamo subito notare che i primi due termini della (8) non sono nient’altro che il risultato di una formula trigonometrica, più nello specifico della formula di addizione del coseno:
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
dove nel nostro caso abbiamo che α = nθ e β = θ. Per quanto riguarda i termi- ni all’interno delle parentesi che sono moltiplicati per l’unità immaginaria, essi sono il risultato della formula di addizione del seno:
sin (α + β) = sin α cos β − sin β cos α,
dove nel nostro caso abbiamo che α = nθ e β = θ o viceversa. Quindi, tenuto conto di quanto appena illustrato, possiamo riscrivere la (8) nel modo seguente:
= cos (nθ + θ) + ı sin (nθ + θ)
= cos ((n + 1) θ) + ı sin ((n + 1) θ) ,
2
che è uguale a quanto affermato in (6). Abbiamo quindi dimostrato la validità della formula di De Moivre.
3
