Università di Trento - CdLT in Fisica - A. A. 2019/2020
Analisi Matematica II - Esercitazione 01 Antonio Moscato
04 Marzo 2020
Esercizio 01 Sia l’insieme W .
= (x, y) ∈ R
2| x
2+ cos y > 1 .
Si stabilisca se si tratta di un aperto od un chiuso di R
2rispetto alla topologia indotta dalla norma euclidea e se ne determini la frontiera.
Svolgimento. Constatare che W costituisca un aperto di R
2è presto fatto: si consideri la funzione
f : (x, y) ∈ R
27−→ f (x, y) .
= x
2+ cos y ∈ R.
Si tratta di una funzione continua in quanto somma di funzioni continue sullo stesso dominio.
L’insieme W è quindi l’insieme di tutti e soli i punti del piano per cui f(x, y) ∈ (1, +∞).
Quest’ultimo, in particolare, è un aperto di R, pertanto, ricordando che
una funzione tra spazi topologici è continua se e solo se la contro-immagine di qualunque aperto del codominio risulta in un aperto del dominio ,
essendo W = f
−1((1, +∞)) , si prova l’asserto. X
Sia, ora, la funzione
g : x ∈ h
− √ 2, √
2 i
7−→ g(x) .
= arccos (1 − x
2) ∈ [0, π],
chiaramente pari, con diagramma cartesiano come in figura.
Ogni punto P (x
0, y
0) del precedente diagramma è tale che x
20+ cos y
0= 1.
Senza ledere di generalità, sia x
0∈ 0, √
2 i e si consideri il punto Q(x, y
0) con 0 < x < x
0. Allora
1 = x
20+ cos y
0> x
2+ cos y
0,
da cui consegue che, muovendosi dal diagramma verso l’asse delle ordinate, la condizione di appartenenza a W non è verificata. Il sottoinsieme E di R × [0, π] contenuto in W è di seguito evidenziato.
Ora, E è solo contenuto in W e questo perchè tutto quanto fatto si riferisce alla sola restrizione
della funzione coseno all’intervallo [0, π]; ripetendo l’intero procedimento per ogni [nπ, (n +
1)π], n ∈ Z, si ottiene
La frontiera di W sarà ovviamente il contorno della figura precedente: centrando una palla aperta di raggio opportuno in ognuno dei suoi punti, questa intersecherà tanto W quanto il suo complementare.
Esercizio 02 Sia l’insieme
X = (x, y) ∈ R
2| cos(xy) ≥ 0 ∧ y ≥ x
2.
È un aperto o un chiuso di R
2? Individuarne la frontiera e, qualora abbia senso, stabilire la compattezza della chiusura.
Svolgimento. Si sa che
cos z ≥ 0 ⇐⇒ z ∈
2nπ, (4n + 1) π 2
∨
(4n + 3) π
2 , 2(n + 1)π
, n ∈ Z, pertanto
cos(xy) ≥ 0 ⇐⇒ 2nπ
x ≤ y ≤ (4n + 1)π
2x ∨ (4n + 3)π
2x ≤ y ≤ 2(n + 1)π
x , n ∈ Z.
È evidente che le uguaglianze individuano delle iperboli equilatere riferite ai propri asintoti.
Graficamente, si ha
Esercizio 03 Si determini il campo di esistenza delle seguenti funzioni a valori reali, descri- vendone le caratteristiche topologiche nello spazio euclideo ambiente.
1. z = p−|x
2+ y
2− 2| . 2. z = h
arcsin(x+y−2)+arcsin(x−y)(x2+y−4x+3)π
i.
Svolgimento. 1. La funzione radice quadrata è definita solo per argomenti non-negativi, men- tre la funzione valore assoluto è a valori non-negativi. Se non fosse per quel segno −, la funzione sarebbe definita su tutto il piano, invece ha significato solo all’annullarsi del suo argomento, ossia
x
2+ y
2− 2
= 0 ⇐⇒ x
2+ y
2− 2 = 0.
Le soluzioni della precedente equazione definiscono l’insieme di tutti e soli i punti costi- tuenti la circonferenza di centro l’origine e raggio √
2 . Visto che il suo complementare è aperto in R
2, suddetto insieme è chiuso; non solo, poiché ogni palla aperta di centro l’origine e raggio maggiore di √
2 lo contiene, questo è anche limitato e in definitiva, per
il teorema di Heine-Borel, compatto. X
2. È sensato sommare e moltiplicare funzioni laddove tutte esistono; ciò significa che la funzione risultante esiste solo dove esistono tutte le altre funzioni di cui si compone. Ma- tematicamente, questo vuol dire che la funzione in questione esiste nell’intersezione dei domini delle funzioni che compaiono a numeratore e denominatore. A tal proposito, quin- di, si ricorda che la funzione arcoseno è la funzione inversa della funzione seno ristretta all’intervallo [−π/2, π/2] a valori nell’intervallo [−1, 1]; la funzione potenza ad esponente reale ha significato solo per valori positivi della base. Il tutto, quindi, si traduce nello studio del seguente sistema.
−1 ≤ x + y − 2 ≤ 1
−1 ≤ x − y ≤ 1 x
2+ y − 4x + 3 > 0
≡
1 2 3 Partendo dalla condizione 1 , ecco che
1 ≤ x + y ≤ 3 ⇐⇒
( y ≥ 1 − x
y ≤ 3 − x
L’insieme delle soluzioni è rappresentato in figura.
Analogamente per 2 .
−1 ≤ x − y ≤ −1 ⇐⇒
( y ≥ x − 1 y ≤ x + 1 con
Infine
0 < x
2− 4x + 3 + y = (x − 2)
2− 1 + y ⇐⇒ y > 1 − (x − 2)
2, da cui
Di conseguenza, l’interesezione delle precedenti soluzioni, che restituisce il campo di
esistenza della funzione in questione, è
L’insieme non è né chiuso né aperto: appartengono all’insieme punti di frontiera (quelli risultanti dalle rette precedentemente adoperate), ma l’insieme non coincide con la sua chiusura
1. Quest’ultima, peraltro, è compatta
2.
Esercizio 04 Si provi che la funzione f (x, y) =
(
(x−1)5−(x−1)2−3(y−1)2x2+3y2−2(x+3y−2)
+ 1 (x, y) 6= (1, 1)
0 (x, y) = (1, 1)
è continua su tutto il piano.
Svolgimento. Si osservi preliminarmente che (x − 1)
5− (x − 1)
2− 3(y − 1)
2x
2+ 3y
2− 2(x + 3y − 2) = (x − 1)
5− (x − 1)
2− 3(y − 1)
2(x − 1)
2+ 3(y − 1)
2=
≡ (x − 1)
5(x − 1)
2+ 3(y − 1)
2− 1.
Pertanto, risolvere l’esercizio vuol dire provare la continuità di
g(x, y) =
(
(x−1)5(x−1)2+3(y−1)2
