Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell’Automazione
22/2/2011
Il seguente esercizio va svolto su questo foglio prestampato.
Esercizio 1. In un’urna ci sono 8 palline etichettate con numeri da 1 a 8. Si estrae una pallina; poi, senza rimettere nell’urna la pallina già estratta, si estrae un’altra pallina.
i) Qual è la probabilità che entrambe le palline abbiano sull’etichetta un numero pari?
ii) Qual è la probabilità che esattamente uno dei numeri sulle etichette sia
> 5?
iii) Qual è la probabilità che la somma dei numeri sulle etichette sia > 10?
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell’Automazione
22/2/2011
I seguenti due esercizi possono essere svolti sui fogli a quadretti.
Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) = C jxj e jxj +1.
i) Stabilire per quali valori di e C essa sia una densità di probabilità.
Si indichi nel seguito con X una v.a. con tale densità.
ii) Trovare la funzione di ripartizione F di X.
iii) Detta X0 una copia indipendente di X, trovare la densità fY (t) di Y = min (X; X0), per t 0.
iv) Per = 1, calcolare E [jXj].
Esercizio 3. Consideriamo due agenti …nanziari. Ogni ora, ciascun agente compie un’azione, scelta tra due possibilità A e B. Ci sono pertanto quattro possibilità di azioni scelte dai due agenti: (A; A), (A; B), (B; A), (B; B)(ad esempio, (A; B) signi…ca che il primo agente sceglie A ed il secondo B).
Quando si realizza (A; A), il primo agente guadagna 10 ed il secondo 0.
Quando si realizza (A; B), il primo guadagna 0 ed il secondo 10. Quando si realizza (B; A), il primo guadagna 0 ed il secondo 10. Quando si realizza (B; B), il primo guadagna 10 ed il secondo 0.
I due agenti scelgono in modo indipendente l’uno dall’altro, scegliendo però in base al proprio guadagno dell’ora precedente: se hanno guadagnato 10 conservano la scelta precedente, altrimenti la modi…cano con probabilità 1/2.
i) Descrivere il problema con una catena a 4 stati, stabilire tutte le proprietà di tale catena e calcolare il guadagno medio di ciascun agente all’equilibrio.
ii) Rispondere alle stesse domande nella seguente variante del caso prece- dente: i due agenti scelgono in modo indipendente l’uno dall’altro; il primo, se guadagna 10 cambia, mentre se guadagna 0 cambia con probabilità 1/2; il secondo, se guadagna 10 conferma la scelta precedente, mentre se guadagna 0 cambia (si consiglia di rileggere più volte questo testo).
iii) Calcolare, nel caso (ii), la probabilità di trovarsi in (A; A) partendo da (B; B) in n passi (n qualsiasi), traendo delle conclusioni anche in relazione a fatti scoperti al punto (ii). Calcolare poi la probabilità di trovarsi in (A; A) partendo da (A; B), in 8 ed in 9 passi. Cercare in…ne di capire se vale la convergenza all’equilibrio partendo da (A; B).
1 Soluzioni
Esercizio 1. a) Il numero di estrazioni (possibili) di 2 palline senza rimpiazzo da un insieme di 8 elementi è pari al numero di sottoinsiemi di 2 elementi da un insieme di 8 elementi, cioè 8
2 = 8 7
2 1 = 28. Il numero di estrazioni (favorevoli) di 2 palline senza rimpiazzo da un insieme di 4 elementi (i 4 numeri pari fra 1 e 8) è pari al numero di sottoinsiemi di 2 elementi da un insieme di 4 elementi, cioè 4
2 = 4 3 2 1 = 6.
La probabilità p richiesta sarà quindi p = 6 28 = 3
14. Soluzione alternativa.
La probabilità che la prima pallina estratta sia pari è 4 8 = 1
2; la probabilità che anche la seconda pallina sia pari (sapendo che una pari è già stata es- tratta) è 3
7. La probabilità p richiesta è il prodotto delle probabilità, quindi p = 1
2 3 7 = 3
14.
b) Detti X1, X2 i numeri sulle etichette delle due palline estratte la probabil- ità richiesta può essere calcolata come P (X1 > 5; X2 5) + P (X1 5; X2 >
5) = 3 8
5 7+ 5
8 3 7 = 30
56 = 15 28. Seconda soluzione.
Per simmetria, il numero dei casi “favorevoli” può essere determinato rad- doppiando il numero di casi ottenuto imponendo che la prima estrazione dia un esito > 5 e la seconda un esito 5. Tale valore si ottiene met- tendo ai primo posto della coppia ordinata che rappresenta i due numeri estratti un qualunque elemento dell’insieme A = f6; 7; 8g e al secondo posto un qualunque elemento dell’insieme B = f1; 2; 3; 4; 5g, ed è quindi pari a
#(A) #(B) = 3 5 = 15 (non c’è problema di rimpiazzo nel calcolo dei casi
“favorevoli”, in quanto gli insiemi A e B sono disgiunti). Quindi la probabil- ità richiesta è 2 15
56 = 15 28.
c) La prima pallina estratta deve avere sull’etichetta un numero (10+1) 8, cioè 3. Ci sono quindi 6 casi da considerare per calcolare quante sono le seconde estrazioni “favorevoli”:
(3; 8) (4; 7)(4; 8)
(5; 6)(5; 7)(5; 8) (6; 5)(6; 7)(6; 8) (7; 4)(7; 5)(7; 6)(6; 8) (8; 3)(8; 4)(8; 5)(8; 6)(8; 7)
per un totale di 18 casi “favorevoli”. Naturalmente non c’è bisogno di con- teggiare i casi “favorevoli” elencandoli uno per uno: supponiamo di con- teggiarli in una situazione con rimpiazzo e poi togliamo i casi corrispondenti a due estrazioni dello stesso numero (che non sono consentite nelle estrazioni senza rimpiazzo). Dobbiamo calcolare 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7 6
2 = 21 (dobbiamo cioè sommare i primi 8 3+1numeri naturali) e togliere le coppie di numeri (compresi fra 1 e 8) uguali fra loro e con somma > 10, che sono 8 10
2 = 3. Quindi 21 3 = 18 sono i casi “favorevoli” e la probabilità richiesta è 18
56 = 9 28. Soluzione alternativa:
Dato che la somma fra numeri gode della proprietà commutativa, per il con- teggio dei casi “favorevoli”possiamo supporre senza perdita di generalità che il primo numero sia più grande del secondo e poi raddoppiare il numero di casi ottenuto. Per la prima estrazione abbiamo 3 possibilità (6, 7 o 8). Per la seconda estrazione, il numero di casi “favorevoli”parte da 1 se alla prima viene estratto 6, e cresce di 2 ogni volta che il primo numero estratto sale di uno. In totale avremo quindi 2 (1 + 3 + 5) = 2 9 = 18 casi “favorevoli” e la probabilità richiesta è 18
56 = 9 28.
Esercizio 2. L’esercizio è simile a quelli già dati, per cui verranno solo riportati pochi dettagli.
i) Ogni > 1 va bene (l’esponenziale rende integrabile la funzione, come si vedrà anche dal seguente calcolo), mentre per = 1 la funzione jxj 1 non è integrabile. Vale
Z 1
1
Cjxj e jxj +1dx = 2 Z 1
0
C
+ 1( + 1) x e x +1dx
= 2 C
+ 1 h
e x +1i1
0
= 2 C + 1 se > 1(altrimenti diverge) e dobbiamo prendere C = +12 .
ii) Dobbiamo calcolare F (t) =
Z t 1
+ 1
2 jxj e jxj +1dx:
Se t < 0, vale F (t) =
Z t 1
+ 1
2 jxj e jxj +1dx = Z 1
t
+ 1
2 x e x +1dx
= 1
2 h
e x +1i1
t
= 1
2e ( t) +1 = 1
2e jtj +1: Invece, per t 0, vale
F (t) = 1 2 +
Z t 0
+ 1
2 x e x +1dx
= 1 2
1 2
h
e x +1it 0
= 1 1
2e t +1 = 1 1
2e jtj +1: iii)
P (Y > t) = P (X > t; X0 > t) = P (X > t) P (X0 > t) = (1 FX(t))2 FY (t) = 1 (1 FX (t))2
quindi
fY (t) = 2 (1 FX(t)) fX(t) = 2 (1 FX(t)) + 1
2 jtj e jtj +1
= 21
2e jtj +1 + 1
2 jtj e jtj +1 = + 1
2 jtj e 2jtj +1: iv)
E [jXj] = Z 1
1jxj1 + 1
2 jxj e jxj2dx = Z 1
1
x2e x2dx:
La densità N 0;12 è
g (x) = 1 q
2 12
exp x2
2 12 = 1 p e x2
e la sua varianza è
1 2 =
Z 1
1
jx 0j2 1
p e x2dx
pertanto Z 1
1
x2e x2dx = p
2 : Questo è E [jXj].
Esercizio 3. i) Detti 1 = (A; A), 2 = (A; B), 3 = (B; B), 4 = (B; A) i quattro stati, vale ad esempio
P ((A; A) ! (A; A)) = P (secondo agente non cambia) = 1=2 P ((A; A) ! (A; B)) = P (secondo agente cambia) = 1=2 P ((A; A) ! (B; B)) = 0
P ((A; A) ! (B; A)) = 0
(per il fatto che quando siamo in (A; A) il primo agente resta in A sicura- mente) e così via. La matrice di transizione è
P = 0 BB
@
1=2 1=2 0 0
0 1=2 1=2 0
0 0 1=2 1=2
1=2 0 0 1=2
1 CC A
(si disegni anche il grafo). E’un’unica classe irriducibile, quindi c’è un’unica misura invariante. La matrice è bistocastica, quindi la misura invariante è uniforme: = (1=4; 1=4; 1=4; 1=4). La matrice è regolare (ad esempio perche’
è irriducibile e con un elemento diagonale positivo), quindi c’è convergenza all’equilibrio. Non vale il bilancio dettagliato (es. p411
2 6= p1412).
Il guadagno medio all’equilibrio del primo agente è
(A;A) 10 + (B;B) 10 = 5:
Per simmetria questo è anche il guadagno medio del secondo agente.
ii) Ora vale, ad esempio,
P ((A; A)! (A; A)) = 0 P ((A; A)! (A; B)) = 0 P ((A; A) ! (B; B)) = 1 P ((A; A)! (B; A)) = 0
(per il fatto che quando siamo in (A; A) entrambi gli agenti cambiano si- curamente) e così via, facendo attenzione che ora la situazione non è più simmetrica tra i due agenti. La matrice di transizione è
P = 0 BB
@
0 0 1 0
0 1=2 1=2 0
1 0 0 0
1=2 0 0 1=2
1 CC A
(si disegni anche il grafo). Gli stati (A; A) e (B; B) formano una classe irriducibile con matrice ridotta 0 1
1 0 bistocastica e quindi misura in- variante uniforme, ma non regolare, in quanto le sue potenze sono 0 1
1 0 stessa oppure 1 0
0 1 . Gli altri sue stati sono transitori. L’unica misura invariante è pertanto = (1=2; 0; 1=2; 0). Il guadagno medio del primo agente è
(A;A) 10 + (B;B) 10 = 10 mentre quello del secondo agente è nullo.
iii) Se n è dispari, la probabilità è 1, altrimenti è zero. Si vede quindi che p(n)3;1 non tende a 1, coerentemente con la scoperta fatta sopra della non regolarità.
Se si parte da (A; B), è indispensabile connettersi a (B; B) in modo da avere poi un numero dispari di passi davanti, altrimenti il contributo è nullo.
Quindi va bene andare subito in (B; B) (poi nei restanti 9 passi si arriva in (A; B)), tragitto che ha probabilità 1/2. Oppure e¤ettuare
(A; B)! (A; B) ! (A; B)
e poi andare in (B; B), tragitto che ha probabilità 12 12 12. Oppure e¤ettuare (A; B)! (A; B) ! (A; B) ! (A; B) ! (A; B)
e poi andare in (B; B), tragitto che ha probabilità 12 5. E così via, quindi la probabilità richiesta è
1 2
1
+ 1
2
3
+ 1
2
5
+ 1
2
7
= 0:664 06:
Se si vuole la probabilità in 9 passi, con ragionamenti analoghi si trova 1
2
2
+ 1
2
4
+ 1
2
6
+ 1
2
8
= 0:332 03:
Si intuisce che non c’è convergenza all’equilibrio. Rigorosamente, vale p(9)21 = 1
2p(8)21 e si intuisce che in generale valga
p(2n+1)21 = 1 2p(2n)21 per cui non può accadere che p(n)21 ! 12.
