Processi Stocastici 2014/15 – Programma d’esame
Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati del corso. `E inoltre richiesta la conoscenza dettagliata delle dimostrazioni dei seguenti risultati :
• caratterizzazione della legge condizionale µY |X( · |x), nel caso in cui X sia discre- ta, e nel caso in cui la legge di (X, Y ) ammetta una densit`a rispetto alla misura di Lebesgue.
• costruzione della speranza condizionale: esistenza e unicit`a q.c. (§9.5 Williams);
• teoremi elementari sulle martingale a tempo discreto:
– l’integrale stocastico discreto di un processo prevedibile (risp. prevedibile e positivo) rispetto a una martingala (risp. submartingala) `e una martingala (risp. submartingala) (§10.7 Williams);
– (sub)martingale arrestate restano (sub)martingale (§10.9 Williams);
– teorema d’arresto opzionale (§10.10 Williams, con enunciato generalizzato);
• disuguaglianza di upcrossing e teorema di convergenza per supermartingale limi- tate in L1 (capitolo 11 Williams);
• uniforme integrabilit`a, sue propriet`a e relazione con la convergenza in L1 (§13.7 Williams);
• caratterizzazione delle martingale uniformemente integrabili e teorema di L´evy upward (§14.1 e §14.2 Williams);
• disuguaglianza massimale (§14.6 Williams);
• Convergenza di Matingale limitate in L2 (§12.1 Williams)
• Decomposizione di Doob (§12.11 Williams)
• riformulazione del moto browniano come processo gaussiano (Teorema 2.9);
• variazione quadratica del moto browniano e variazione infinita delle sue traiet- torie (Proposizione 2.17 e Corollario 2.18);
• principio di riflessione per il moto browniano (Teorema 3.29);
• Legge 0-1 di Blumenthal per processi di L´evy;
• propriet`a di Markov forte per processi di L´evy.
