Processi Stocastici 2014/15 – Foglio di esercizi 2

Processi Stocastici 2014/15 – Foglio di esercizi 2

Moto browniano

Esercizio 1. Sia {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Definiamo gli eventi D := {B_t}_t∈[0,1] è crescente ,

Cn := B_i/2n− B_(i−1)/2n ≥ 0 , per ogni 1 ≤ i ≤ 2ⁿ , n ∈ N . (a) Si calcoli P(C_n), per ogni n ∈ N.

(b) Si mostri che vale l’inclusione D ⊆ C_n, per ogni n ∈ N.

(c) Si deduca che P(D) = 0. Quindi, q.c., il moto browniano non è crescente sull’inter- vallo [0, 1].

(d) (*) Si dimostri che, q.c., il moto browniano non è crescente in nessun sotto-intervallo di [0, ∞).

Esercizio 2. Sia {B_t}_t≥0 un moto browniano reale tale che t 7→ B_t(ω) è continua per ogni (e non solo per q.o.) ω ∈ Ω.

(a) Si mostri cheR₁

0 Btdt è una variabile aleatoria normale e se ne calcolino media e varianza.

[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]

(b) (*) Si mostri che inf_t∈[0,1]Bt non è una variabile normale.

Esercizio 3. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Si dimostrino le seguenti proprietà.

(a) Per ogni α > 0 esiste 0 < C_α< ∞ tale che E(|B_t|^α) = C_αt^α/2, per ogni t ≥ 0.

(b) Per ogni scelta di istanti 0 < t₁ < . . . < t_k < ∞ e di intervalli aperti non vuoti I1, . . . , I_k⊆ R, si ha P(Bt1 ∈ I₁, . . . , Btk ∈ I_k) > 0.

(c) (*) Per ogni ε > 0 esiste C > 0 tale che P(sup_t∈[0,1]Bt> C) ≤ ε.

Esercizio 4. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Data una partizione π = {0 = t₀ < t₁ < . . . < t_k = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |π| = max1≤i≤k(ti− t_i−1). Introducendo la variazione quadratica Sπ =Pk

i=1(Bti− B_ti−1)² di B relativa a π, sappiamo che per |π| → 0 si ha S_π → t in L². Più precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < ∞ universale tale che

E(S_π− t)²

= cPk

i=1(t_i− t_i−1)².

Sia {π⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di partizioni π⁽ⁿ⁾= {0 = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k

n = t}, tale che non solo |π⁽ⁿ⁾| → 0 per n → ∞, ma anche P

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞.

(a) Si mostri che, per ogni ε > 0,P

n∈NP(|S_π(n)− t| > ε) < ∞.

[Sugg. Applicare un’opportuna disuguaglianza.]

(b) Si deduca che S_π(n) → t q.c. per n → ∞.

†Ultima modifica: 22 maggio 2015.

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Esercizio 5. Siano B = {B_t}_t∈[0,∞) e β = {β_t}_t∈[0,∞) due moti browniani reali indipen- denti, definiti su uno spazio di probabilità completo (Ω, F , P) (in particolare, le variabili aleatorie B_t e β_s sono indipendenti, per ogni s, t ≥ 0). Consideriamo il processo reale X = {X_t}_t∈[0,∞) definito da

X_t := B2 3t− β1

3t. (a) Si mostri che X è un processo gaussiano.

(b) Si mostri che X è un moto browniano reale.

Definiamo ora il processo reale Y = {Y_t}_t∈[0,∞) ponendo Y_t := β²

3t+ B¹

3t.

(c) Si mostri che, per ogni t ∈ [0, ∞), le variabili aleatorie X_te Y_t sono scorrelate, cioè Cov(X_t, Y_t) = 0. Esse sono indipendenti?

(d) Si mostri che, per ogni 0 < s < t < ∞, le variabili aleatorie X_s e Y_t non sono indipendenti.

[Sugg.: si considerino separatamente i due casi s < ^t₂ e ^t₂ ≤ s < t.]

(e) Si mostri che, per ogni (a, b) ∈ R² con a²+ b² = 1, il processo Z = {Zt}_t∈[0,∞) definito da Z_t:= aX_t+ bY_t è un moto browniano reale.

Esercizio 6. Sia {B_t}_t∈[0,∞)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F , P). Per n ∈ N e s, t > 0 fissati, introduciamo i seguenti eventi:

A := u 7→ B_u è derivabile in u = 0

=



∃ lim

u↓0

B_u

u ∈ (−∞, +∞)

 , C_n,s := |B_s| ≤ ns , D_n,t := |B_u| ≤ nu , ∀u ∈ [0, t] .

Per questo esercizio non è possibile utilizzare né la legge del logaritmo iterato, né la non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano.

(a) Si mostri che, per ogni n ∈ N fissato, si ha P(Cn,s) → 0 per s ↓ 0 .

Facoltativo: si mostri che in effetti P(Cn,s)/(2n√

s) → 1/√

2π per s ↓ 0 (con n fissato).

(b) Si spieghi perché per ogni s ≤ t vale l’inclusione di eventi D_n,t⊆ C_n,s. (c) Si deduca che P(D_n,t) = 0, per ogni n ∈ N e t > 0 .

(d) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi A ⊆ S

n,k∈N D_{n, 1/k}. (e) Si mostri che P(A) = 0 .

Esercizio 7. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e definiamo le variabili τ_a := inf{t ≥ 0 : B_t= a} , S_t := sup

0≤u≤t

B_u. Ricordiamo il principio di riflessione: P(S_t≥ a) = P(τ_a≤ t) = P(|B_t| ≥ a).

(a) Si ricavi la densità della variabile S_t.

[Si consideri innanzitutto la funzione di ripartizione di St.]

(b) Si mostri che vale la relazione P(τ_a≤ t) = P(|B₁| ≥ ^√a

t), per ogni a, t > 0.

(c) Si deduca che per ogni a ∈ R si ha P(τa< ∞) = 1.

(d) Si determini la densità della variabile τ_a. Quanto vale E(τ_a)?

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(e) (*) Si mostri in dettaglio come dal punto (c) segue che, q.c., lim sup

t→∞

Bt = +∞ , lim inf

t→∞ Bt = −∞ .

Esercizio 8. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F , P). Introduciamo l’insieme degli zeri Z = Z(ω) ⊆ [0, ∞) del moto browniano, ponendo

Z(ω) := s ∈ [0, ∞) : B_s(ω) = 0 . (a) Si mostri che, per ogni t > 0 fissato, q.c. t 6∈ Z.

(b) Si deduca che q.c. Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) = ∅.

(c) Si mostri che q.c. Z è un insieme chiuso.

[Sugg.: Non serve fare nessun calcolo!]

(d) (*) Si mostri che q.c. Z ha misura di Lebesgue nulla.

[Sugg.: la misura di Lebesgue di un insieme C ⊆ [0, ∞) vale m(C) =R∞

0 1C(s) ds. Quindi m(Z) è una variabile aleatoria e si vuole mostrare che m(Z) = 0 q.c..]

(e) (*) Si mostri che q.c. 0 è un punto di accumulazione di Z, cioè esiste una successione di punti in Z che converge a 0.

[Sugg.: Si ricordino le proprietà delle traiettorie del moto browniano.]

Esercizio 9 (*). Indichiamo con C lo spazio C([0, 1], R) delle funzioni f : [0, 1] → R continue. Sia d(f, g) := kf − gk∞= sup_x∈[0,1]|f (x) − g(x)| la distanza uniforme e sia τ la topologia che d induce su C. Sia dunque B la corrispondente σ-algebra di Borel:

B = σ(τ ) = σ(A ⊆ C : A è aperto)

Un sottoinsieme D ⊆ C si dice cilindrico se D = {f ∈ C : f (t₁) ∈ B1, . . . , f (t_k) ∈ B_k} per un’opportuna scelta di k ∈ N, t1, . . . , t_k ∈ [0, 1] e G₁, . . . , G_k∈ B(R). Sia dunque

F = σ(D ⊆ C : D è cilindrico) .

Scopo dell’esercizio è mostrare che le due σ-algebre B e F coincidono.

(a) Per t ∈ [0, 1] definiamo la proiezione π_t: C → R ponendo πt(f ) := f (t). Si mostri che la funzione π_t: C → R è continua, dunque B-misurabile, ∀t ∈ [0, 1].

(b) Si deduca che ogni insieme cilindrico D appartiene a B, dunque F ⊆ B.

[Sugg.: Si osservi che D = π⁻¹_t1 (G1) ∩ . . . ∩ π⁻¹_t

k(Gk)]

(c) Si mostri che d(f, g) = sup_{x∈[0,1]∩Q}|f (x) − g(x)| (dove il sup è ristretto a Q) per ogni f, g ∈ C.

(d) Poniamo d_f(g) := d(f, g). Si mostri che, per ogni f ∈ C fissata, la funzione d_f : C → R è F-misurabile.

[Sugg.: Si esprima df come limite di funzioni che dipendono da πt₁, . . . , πt_n.]

(e) Detta B(f, ε) = {g ∈ C : d(f, g) < ε} la palla aperta di centro f e raggio ε, si mostri che B(f, ε) ∈ F per ogni f ∈ C e ε > 0.

(f) Ricordiamo che lo spazio metrico (C, d) è separabile (ad esempio i polinomi con coefficienti razionali sono un sottoinsieme numerabile e denso) e dunque ogni aperto è unione numerabile di palle aperte. Si concluda che τ ⊆ F e dunque B ⊆ F .