Struttura a termine dei tassi (modelli a tempo discreto)

Struttura a termine dei tassi (modelli a tempo discreto)

Wolfgang J. Runggaldier Universit´ a di Padova

June 16, 2007

Queste note riguardano lo studio sia della struttura a termine dei tassi (e del mercato obbligazionario), sia dei derivati dei tassi, supponendo che il tempo evolva nel discreto.

I modelli classici sono formulati nel contesto del tempo continuo e le discretizzazioni temporali sono generalmente considerate solo per eseguire calcoli espliciti. In queste note presentiamo delle formulazioni direttamente a tempo discreto.

Per quel che riguarda la modellizzazione della struttura a termine presenteremo due approcci. Il primo, discusso nel capitolo 3, riguarda una generalizzazione del cosiddetto modello di Ho-Lee per il tempo discreto (vedi riferimenti bibliografici al capitolo 3). Si tratta di un modello relativamente semplice che permette di trasportare alla struttura a termine la modellizzazione del mercato azionario mediante modelli come quello binomiale e trinomiale. Il secondo approccio `e discusso nel capitolo 4 e si basa su un lavoro relati- vamente recente di Filipovic e Zabczyk (vedi riferimenti al capitolo 4). In tale secondo approccio si tenta di trasportare al contesto a tempo discreto l’approccio classico alla struttura a termine a tempo continuo; in particolare si ottiene anche a tempo discreto una cosiddetta struttura a termine affine.

I principali derivati dei tassi (Caps, Floors, Swaptions) sono studiati nel capitolo 5. Il loro prezzaggio viene discusso principalmente nel contesto del primo modello del capitolo 3 ed esempi di calcoli espliciti vengono riportati al capitolo 6.

Le nozioni preliminari vengono discusse nei primi due capitoli. Nel capitolo 1 vengono richiamate le definizioni dei pi´u usuali tassi nel contesto del tempo continuo (alcuni tassi, come quelli istantanei, possono solo essere definiti a tempo continuo). Nel capitolo 2 queste nozioni vengono trasportate/adattate al contesto del tempo discreto e vengono ricavate le varie relazioni tra di loro.

1 Richiamo di definizioni a tempo continuo

Introduciamo qui le nozioni pi´u usuali dei tassi nel contesto sia della capitalizzazione semplice che composta. I tassi dipendono generalmente dalla scadenza dell’investimento, per cui iniziamo col concetto di T −bond a cedola nulla. Il prezzo di un T −bond esprime infatti le aspettative del mercato sul valore futuro della moneta.

• Sia p(t, T ) il prezzo in t di T −bond, cio´e di un’unit´a garantita in T Per introdurre i tassi consideriamo ora il seguente schema :

vendi un T −bond

− − − − − − − − −| − − − − − − − −− − − −| − −− − − −| −→

t T S

incassa p(t, T ) e paga 1 incassa^{p(t,T )}_p(t,S) compraS −bonds in no. di^{p(t,T )}_p(t,S)

Questo schema riguarda un contratto in t che prevede un investimento unitario in T per il periodo [T, S].

• L(t; T, S) : tasso, valutato in t, a capitalizzazione semplice per un investimento in T per il periodo [T, S].

→ 1 + (S − T ) L(t; T, S) = p(t, T ) p(t, S)

⇒ L(t; T, S) = p(t, T ) − p(t, S)

(S − T ) p(t, S) = 1 S − T

 p(t, T ) p(t, S)− 1



(1)

• f (t, T ) : tasso, valutato in T , per un investimento istantaneo in T (si suppone p(t, T ) definita per tutti i T > t e derivabile in T ).

→ f (t, T ) = lim

∆↓0L(t; T, T + ∆)

• Conto monetario (conto bancario)

(Un investimento con continua scadenza e reinvestimento al tasso istantaneo r_t).

B_t+∆ = B_t(1 + ∆r_t)

↓ ∆↓0

dB_t = B_tr_tdt

↓

BT = Btexp hRT

t rsds i

(3)

• L’assenza di arbitraggio per i prezzi p(t, T ) implica che, per ogni misura martingala Q si abbia

p(t, T ) = E^Qn

e^−RtTrsds| F_to

(4)

→ Se r_t ´e deterministica, allora

p(t, T ) = e⁻

RT t rsds

= B_t B_T

→ Si noti che

D(t, T ) := exp



− Z T

t

r_sds



(5)

´e il valore in t di un importo unitario in T (da un importo di D(t, T ) in t si arriva all’importo di 1 in T con un investimento a capitalizzazione continua al tasso r_t) ed ´e dunque interpretabile come “fattore di sconto” (aleatorio).

D’altra parte, p(t, T ) ´e il valore in t di un contratto che prevede un importo unitario in t (grandezza deterministica pagata in T )

Quanto sopra implica che, se r_t ´e deterministico, allora D(t, T ) = p(t, T ).

2 Grandezze corrispondenti a tempo discreto

Consideriamo istanti discreti ad intervalli temporali di lunghezza ∆.

• Sia p(n, N ) := p(n∆, N ∆)

• Supponiamo f (n∆, u) costante in u su intervalli del tipo [k∆, (k + 1)∆), cio´e f (n∆, u) =X

k≥0

f (n∆, (n + k)∆) 1[(n+k)∆,(n+k+1)∆)(u) (6) allora (vedi la seconda in (2))

p(n, n + k) = exp

"

−

Z (n+k)∆

n∆

f (n∆, u)du

#

=

exp

"

−

k−1

X

j=0

Z (n+j+1)∆

(n+j)∆

f (n∆, (n + j)∆)du

#

= exp

"

−

k−1

X

j=0

R(n, n + j)

#

(7)

avendo posto

R(n, n + j) := f (n∆, (n + j)∆) ∆ (8)

→ R(n, n + j) ´e un tasso, valutato in n∆, relativo all’intervallo [(n + j)∆, (n + j + 1)∆).

• Da (7) si ha

p(n, N + 1) = p(n, N )e^{−R(n,N )} 1

p(n, N + 1) = 1

p(n, N )e^{R(n,N )}

(9)

e, confrontando quest’ultima relazione con l’evoluzione del conto monetario in (3), si pu´o interpretare R(n, N ) come un tasso a capitalizzazione continua, per´o a tempo discreto (che rimane costante su intervalli di lunghezza ∆). Dalle (9) risulta anche

R(n, k) = log p(n, n + k)

p(n, n + k + 1) = −log p(n, n + k + 1) − log p(n, n + k)

∆ (10)

dove nell’ultima espressione si deve supporre ∆ = 1.

→ le relazioni (10) e (7) stabilscono la corrispondenza analoga a quella che a tempo continuo ´e espressa dalle due relazioni in (2).

• In corrispondenza al tasso a composizione semplice L(t; T, S), a tempo discreto possiamo considerare

L(n, n + k) := L(n∆; (n + k)∆, (n + k + 1)∆) e da (1) otteniamo

L(n, N ) = 1

∆

p(n, N ) − p(n, N + 1)

p(n, N + 1) (11)

→ Da (11) e (9) si ottiene

log(1 + ∆ L(n, N )) = R(n, N ) L(n, N ) = _∆¹ e^{R(n,N )}− 1

(12)

delle due variabili. Definendo allora B_n := B_n∆ e prendendo lo spunto dall’ultima delle (3), otteniamo

B_N = B_nexp

Z N ∆ n∆

r_sds



= B_nexp

Z N ∆ n∆

f (s, s)ds



= B_nexp

"_{N −1} X

j=n

f (j∆, j∆)∆

#

= B_nexp

"_{N −1} X

j=n

R(j, j)

#

= B_nexp

"_{N −1} X

j=n

r_j

# (14)

Definire direttamente una dinamica (in n) per p(n, N ) (equivalentemente per R(n, N ), L(n, N )) potrebbe indurre arbitraggio.

L’assenza di opportunit´a di arbitraggio (AOA) impone che i) a tempo continuo :

Esista una misura Q ∼ P t.c. (vedi (4)) p(t, T )

B_t = E^Q

 1 B_T | F_t



cio´e con il conto monetario come numeraire.

ii) a tempo discreto :

Possiamo procedere analogamente e, ponendo in quanto segue F_n = F_n∆, chiedere che esista Q ∼ P t.c.

p(n, N ) B_n = E^Q

 1 B_N | F_n



(15) e questo ci porta alla relazione analoga della (4) e cio´e

p(n, N ) = E^Q (

exp

"

−

N −1

X

j=n

r_j

#

| F_n )

(16)

come pure alla

p(n, N ) = B_nE^Q p(n + 1, N ) B_n+1 | F_n



(17)

→ Da (14) e (16) si noti che, se rj ´e deterministico, allora, ponendo

D(n, N ) := exp

"

−

N −1

X

j=n

r_j

#

, (18)

si ha che, analogamente al caso del tempo continuo, D(n, N ) = p(n, N ).

3 Un primo modello dinamico (semplice) in assenza di opportunit´ a di arbitraggio (AOA)

Il modello qui proposto ´e una generalizzazione ad un numero finito arbitrario di stati di natura di un modello a tempo discreto che va sotto il nome di modello di Ho-Lee discreto (vedi¹)

Iniziamo con l’osservare che, in un contesto deterministico, l’assenza di arbitraggio implica per i prezzi dei bond una relazione del tipo

p(n, n + 1)p(n + 1, N ) = p(n, N ) o, equivalentemente p(n + 1, N ) = p(n, N )

p(n, n + 1) (19) Per passare ad un contesto stocastico, in analogia a quanto avviene per i prezzi dei titoli rischiosi, si pu´o introdurre un fattore perturbativo stocastico del tipo h(ξ_n; n, N ) dove i ξ_n rappresentano una successione di variabili casuali a valori in un insieme finito {1, 2, · · · , K} e porre

p(n + 1, N ) = p(n, N )

p(n, n + 1)h(ξ_n+1; n + 1, N ) (20) Da questa relazione discende immediatamente una prima condizione sui fattori h(·) e cio´e h(·; N, N ) = 1. Una ulteriore condizione deriva dalla richiesta che col modello (20) non introduciamo arbitraggio nel mercato. Questa condizione richiede che esista almeno una misura Q ∼ P tale che, in Q, per ogni N le sequenze p(n, N )/B_n siano delle Q−martingale. Ponendo, per una generica misura Q, q_k := Q{ξ₁ = k}, k = 1, · · · , K (si noti che qui facciamo implicitamente l’ipotesi che nella Q le ξ_k siano i.i.d.), si ha

Proposizione 3.1 Il modello (20) esclude la possibilit´a di arbitraggio se, dato un vettore q = (q₁, · · · , q_K) e scelta una K−upla di numeri positivi δ_k, k = 1, · · · , K, si pone

h(k; n, N ) = δ_k^{N −n} PK

h=1qhδ_h^{N −n} (21)

Dimostrazione : Per prima cosa si noti che dalla (21) si ha immediatamente h(k; N, N ) =

Utilizzando le (14), (9), (20) e (21) e la indipendenza delle ξ_n nella misura Q, si ottiene B_nE^Q p(n + 1, N )

B_n+1 | F_n



= E^Q

 B_n

B_n+1p(n + 1, N ) | F_n



= E^Qe^−R(n,n)p(n + 1, N ) | F_n

= E^Q{p(n, n + 1)p(n + 1, N ) | F_n} = p(n, N )E^Q{h(ξ_n+1; n + 1, N ) | F_n}

= p(n, N )E^Q{h(ξn+1; n + 1, N )} = p(n, N ) ( _K

X

k=1

qkh(k; n + 1, N ) )

= p(n, N ) (22)

Nota 3.2 La dinamica introdotta in (20) porta immediatamente alla seguente rappre- sentazione

p(n, N ) = p(0, N ) p(0, n)

n

Y

j=1

h(ξ_j; j, N )

h(ξ_j; j, n) (23)

che esprime la dinamica (in n) della struttura a termine in funzione della struttura a termine iniziale (p(0, N ) e p(0, n)) e della sequenza di variabili casuali ξ₁, · · · , ξ_n. Si noti anche che, essendo h(ξ_j; n, n) = 1, nel denominatore dell’ultimo termine in (23) il prodotto va in realt´a solo fino a n − 1.

Nota 3.3 Il modello (20) con la scelta (21) conduce ad un albero ricombinante (come nel caso dei modelli binomiale e trinomiale per il mercato azionario) nel senso che p.es.

le coppie (ξ₁ = 1, ξ₂ = 2) e (ξ₁ = 2, ξ₂ = 1) conducono allo stesso risultato. Semplici calcoli permettono infatti di verificare che, per entrambe le coppie, si ha

p(2, N ) = p(0, N ) p(0, 2)

PK k=1q_kδ_k

PK

k=1q_kδ^{N −1}_k   PK

k=1q_kδ_k^{N −1} δ

N −2 1 δ₂^{N −2}

Nota 3.4 Nel caso di K = 2 (modello binomiale) oppure K = 3 (modello trinomiale), anzich´e far assumere a ξn i valori 1, 2 e 1, 2, 3 rispettivamente, si pu´o farli assumere in analogia col mercato azionario i valori u, d nel primo caso e u, m, d nel secondo.

Nota 3.5 Si noti che qui il mercato ´e incompleto anche per un modello binomiale. Una maniera di vederlo ´e di considerare i prezzi dei bond come derivati con sottostante il tasso a breve, che per´o non ´e un titolo trattato sul mercato. Come conseguenza si hanno infinite misure martingala equivalenti per cui, nei problemi di prezzaggio, il modello deve prima essere calibrato ai dati di mercato. In altre parole, il vettore q = [q₁, · · · , q_K] deve essere scelto in modo che i prezzi teorici ottenuti dal modello si avvicinano nel miglior modo possibile ai vari prezzi osservati sul mercato.

Nelle applicazioni che faremo ai derivati dei tassi, tutte le espressioni verranno ri- portate ad espressioni che coinvolgono esclusivamente i prezzi dei bond. Di conseguenza, nei calcoli effettivi che a tempo discreto vanno fatti per ricorsione all’indietro, avremo bisogno solo delle relazioni ricorsive che abbiamo ottenuto per i prezzi dei bond, in parti- colare della (20). Tuttavia possono essere utili relazioni ricorsive (come pure la evoluzione dinamica in n) anche per i vari tassi. Dai legami di questi ultimi con i prezzi dei bond, come ´e stato illustrato nel capitolo 2, possiamo ricavare delle relazioni per l’evoluzione dinamica dei tassi dalle dinamiche per i bond. Nella proposizione che segue daremo rapp- resentazioni dinamiche per i tassi R, r, L che corrispondono all’evoluzione (23) per i bond.

Nel corollario che segue otteremo poi delle relazioni ricorsive per i tassi che corrispondono alla (20) per i bond. Abbiamo ora

Proposizione 3.6 Si ha

R(n, N ) = R(0, N ) −

n

X

j=1 K

X

k=1

1{ξ_j=k}log δ_k+ log PK

h=1qhδ_h^N PK

h=1q_hδ_h^{N −n} (24) r_n = R(0, n) −

n

X

j=1 K

X

k=1

1_{ξj=k}log δ_k+ log

K

X

h=1

q_hδ_hⁿ

!

(25)

L(n, N ) = L(0, N ) G(ξ₁, · · · , ξ_n) + G(ξ₁, · · · , ξ_n) − 1

∆ (26)

dove

G(ξ₁, · · · , ξ_n) :=

PK

h=1q_hδ_h^N PK

h=1q_hδ^{N −n}_h exp

"

−

n

X

j=1 K

X

k=1

1{ξ_j=k}log δ_k

#

Si noti che, analogamente alla (23), le (24) e (26) esprimono la dinamica (in n) della struttura a termine in funzione della struttura a termine iniziale e della sequenza delle variabili casuali ξ₁, · · · , ξ_n. Questa dinamica ´e da intendersi in una misura martingala Q caratterizzata dal vettore q = [q₁, · · · , q_K] che deve essewre calibrato ai dati di mercato (vedi Nota 3.5).

Dimostrazione (della proposizione 3.6) : Dalle (10) e (23) si ha R(n, N ) = log p(n, N )

p(n, N + 1) = log p(0, N ) p(0, n)

p(0, n) p(0, N + 1) +Pn

j=1log h(ξj; j, N ) −Pn

j=1log h(ξj; j, n)

−Pn

j=1log h(ξ_j; j, N + 1) −Pn

j=1log h(ξ_j; j, n)

R(0, N ) +

n

X

j=1 K

X

k=1

1{ξj=k}log h(k; j, N ) h(k; j, N + 1)

= R(0, N ) −

n

X

j=1 K

X

k=1

1{ξj=k}log δk+

n

X

j=1

"

log

K

X

h=1

qhδ_h^{N +1−j}

!

− log

K

X

h=1

qhδ_h^{N −j}

!#

= R(0, N ) −

n

X

j=1 K

X

k=1

1_{ξj=k}log δ_k+ log PK

h=1q_hδ^N_h PK

h=1q_hδ^{N −n}_h

(27) e quindi si ottiene la (24). La (25) ne segue utilizzando la definizione di r_n in (13). Per la (26) si noti che, dalla seconda delle (12) ed utilizzando la (24), risulta

L(n, N ) = _∆¹ e^{R(n,N )}− 1

= _∆¹ h

e^{R(0,N )}expn

−Pn j=1

PK

k=1 1_{ξj=k}log δ_ko ^PK h=1qhδ_h^N PK

h=1qhδ_h^{N −n} − 1i

= _∆¹ e^{R(0,N )}G(ξ₁, · · · , ξ_n) − _∆¹

D’altra parte, sempre dalla seconda delle (12), risulta anche 1

∆e^{R(0,N )} = L(0, N ) + 1

∆

Sostituendo quest’ultima nella relazione precedente si ottiene la (26).

Nota 3.7 Per un generico j ∈ {1, · · · , n} sia Yj :=PK

k=1 1{ξj=k}log δk. Dal fatto che le ξj

sono i.i.d. in Q con q_k = Q{ξ₁ = k}, risulta V ar^Q(Y_j) =PK

k=1q_k(log δ_k)²− PK

k=1q_klog δ_k2

≡ σ² indipendente da j. In base alla (25) segue che V ar(r_n)= nσ² che diverge per n → ∞ a meno che non si prendano dei δ_k dipendenti opportunamente dal periodo k. Questo ´e talvolta considerato un aspetto negativo del modello utilizzato; in realt´a il modello viene utilizzato solo su orizzonti temporali finiti.

Concludiamo col seguente corollario della proposizione 3.6 che fornisce delle relazioni ricorsive per i tassi analoghe alla relazione (20) per i bond.

Corollario 3.8 Valgono le seguenti relazioni ricorsive in n

R(n + 1, N ) = R(n, N ) −

K

X

k=1

1{ξn+1=k}log δ_k+ log PK

h=1qhδ_h^{N −n} PK

h=1q_hδ^{N −n−1}_h (28) rn+1 = rn+ logp(n, n + 2)

PK

h=1q_hδ_h −

K

X

k=1

1{ξn+1=k}log δk (29)

L(n + 1, N ) = L(n, N )G(ξ_n+1) + G(ξ_n+1) − 1

∆ (30)

dove

G(ξ_n+1) = exp −

K

X

k=1

1{ξ_n+1=k}log δ_k

! PK

h=1q_hδ^{N −n}_h PK

h=1q_hδ^{N −n−1}_h (31) Dimostrazione: La dimostrazione la si pu´o fare utilizzando i legami tra i tassi ed i bond e la relazione ricorsiva per i bond data dalla (20). La si pu´o tuttavia anche ottenere come corollario della dimostrazione della proposizione 3.6. Per quanto riguarda la (28), dalla penultima relazione della (27) si ha infatti

R(n + 1, N ) = R(0, N )

−

n

X

j=1 K

X

k=1

1_{ξj=k}log δ_k−

K

X

k=1

1_{ξn+1=k}log δ_k

+

n

X

j=1

"

log

K

X

h=1

q_hδ_h^{N +1−j}

!

− log

K

X

h=1

q_hδ_h^{N −j}

!#

+ log PK

h=1q_hδ^{N −n}_h PK

h=1q_hδ_h^{N −n−1}

= R(n, N ) −

K

X

k=1

1{ξ_n+1=k}log δ_k+ log PK

h=1q_hδ_h^{N −n} PK

h=1q_hδ_h^{N −n−1}

La dimostrazione della (29) richiede una derivazione autonoma dato che r_n+1 = R(n + 1, n + 1) e quindi rispetto ad rn = R(n, n) varia non solo il tempo corrente ma

anche la scadenza. Utilizzando la definizione di r_n in (13), la (10) e la (20) otteniamo r_n+1 = R(n + 1, n + 1) = logp(n + 1, n + 1)

p(n + 1, n + 2) = − log(p(n + 1, n + 2))

= − logp(n, n + 2)

p(n, n + 1)− log(h(ξ_n+1; n + 1, n + 2))

= − log p(n, n)

p(n, n + 1)− log(p(n, n + 2)) − log(h(ξ_n+1; n + 1, n + 2))

= R(n, n) − log(p(n, n + 2)) − log(h(ξ_n+1; n + 1, n + 2))

= R(n, n) − log(p(n, n + 2)) −PK

k=1 1_{ξn+1=k}log δ_k+ log PK

h=1q_hδ_h

= r_n+ log PK

h=1q_hδ_h p(n, n + 2)−

K

X

k=1

1{ξ_n+1=k}log δ_k

Per quanto riguarda la (30), ripercorrendo gli stessi passaggi della dimostrazione della (26), abbiamo, utilizzando una prima volta la seconda delle (12) come pure la (28)

L(n + 1, N ) = _∆¹ e^{R(n+1,N )} − 1

= _∆¹ h

e^{R(n,N )}exp



−PK

k=1 1{ξn+1=k}log δk

 PK

h=1qhδ^{N −n}_h PK

h=1qhδ^{N −n−1}_h − 1i

= _∆¹ e^{R(n,N )}G(ξ_n+1) − 1

con G(ξ_n+1) come definita in (31). Utilizzando una seconda volta la seconda delle (12) abbiamo poi

1

∆e^{R(n,N )} = L(n, N ) + 1

∆

Sostituendo quest’ultima nella relazione precedente si ottiene la (30).

4 Un modello dinamico alternativo in assenza di op- portunit´ a di arbitraggio (AOA)

• Procediamo qui analogamente a quanto si fa a tempo continuo, dove si postula che p(t, T ) (equivalentemente f (t, T )) siano funzioni del tasso a breve visto come

“fattore” e questa funzione viene determinata in modo da escludere possibilit´a di arbitraggio. La dinamica del tasso a breve viene assegnata direttamente in una misura martingala Q ed in modo tale che la dinamica risulti di tipo Markoviano. Il modello per tale dinamica contiene dei parametri che permettono poi di calibrare il modello ai dati di mercato. Sono infatti i dati di mercato che permettono di

individuare la misura martingale in atto in un mercato specifico. In questa sezione ci baseremo principalmente su ²

4.1 Condizione necessaria per l’assenza di arbitraggio

• Sia Q_n il nucleo di transizione di r_n in quanto catena di Markov (non omogenea) nella misura Q. Per una qualsiasi funzione integrabile φ(·) sia cio´e

(Q_nφ)(r_n) :=

Z

φ(ρ)Q_n(r_n, dρ) = E^Q{φ(r_n+1) | F_n} (32) Dati n e N interi positivi, siano

φ(y) = e^−y ; φ^N₁ (rN −1) ≡ 1 (33) e φ^N_h(r_{N −h}) definite ricorsivamente per h = 2, · · · , N − n da

φ^N_h(r_{N −h}) = Q_{N −h}(φ · φ^N_h−1)(r_{N −h}) (34)

Proposizione 4.1 Affinch´e R(n, N ) soddisfi la condizione di AOA (cio´e che per i cor- rispondenti p(n, N ) valga (15) o (16)) occorre che

R(n, N ) = log φ^N_{N −n}

φ^{N +1}_{N −n+1}(r_n) (35)

Dimostrazione : Dato il legame tra p(n, N ) e R(n, N ) espresso dalla (10), iniziamo

2D. Filipoviˇc and J. Zabczyk, “Markovian Term Structure Models in Discrete Time”, The Annals of Applied Probability, 12 (2002), pp 710-729.

dalla rappresentazione di p(n, N ) corrispondente a (16) e che garantisce AOA. Abbiamo p(n, N ) = E^Q

( exp

"

−

N −1

X

j=n

r_j

#

| F_n )

= E^Qn

e^{−PN −2j=n rj}E^Q{e^{−rN −1}| F_{N −2}} | F_no

= E^Qn

e^{−PN −2j=n rj}(Q_{N −2}φ) (r_{N −2}) | F_no

= E^Qn

e^{−PN −3j=n rj}E^Qe^{−rN −2}φ^N₂ (r_{N −2}) | F_{N −3} | F_no

= E^Qn

e^{−PN −3j=n rj}Q_{N −3} φ · φ^N₂
(r_{N −3}) | F_no

= E^Qn

e^{−PN −3j=n rj}φ^N₃ (r_{N −3}) | F_no

= · · · ·

= e^{−PN −(N −n)j=n rj}E^Qe^−rN −(N −n−1)φ^N_{N −n−1}(rN −(N −n−1)) | F_n

= e^−rnP_n φ · φ^N_{N −n−1}
(r_n) = e^−rnφ^N_{N −n}(r_n)

(36)

Usando ora la (10) abbiamo infine

R(n, N ) = log φ^N_{N −n} φ^{N +1}_{N −n+1}(r_n).

Dalla seconda delle (12) e dalla (36) (equivalentemente dalle (11) e (36)) si ha imme- diatamente il seguente

Corollario 4.2 In condizioni di AOA si ha L(n, N ) = 1

∆

"

φ^N_{N −n}

φ^{N +1}_{N −n+1}(rn) − 1

#

(37)

p(n, N ) = e^−rnφ^N_{N −n}(r_n). (38) Le (35), (37), (38) forniscono una rappresentazione esplicita, valida in condizioni di AOA, di R(n, N ), L(n, N ), p(n, N ) in funzione del tasso a breve r_nvisto come “fattore”.

Ugualmente, le (35), (37), (38) permettono di definire la dinamica di R(n, N ), L(n, N ), p(n, N ), visti come funzioni del “tempo corrente” n, a partire da quella di r_n. Siccome queste relazioni valgono in condizioni di AOA, tali dinamiche sono da intendersi in una misura martingala Q che va determinata mediante calibrazione ai dati di mercato (daremo una rappresentazione pi´u esplicita di queste relazioni nel prossimo capitolo). Da notare anche che queste dinamiche a tempo discreto hanno una struttura pi´u semplice di quelle corrispondenti a tempo continuo.

4.2 Struttura a termine “affine” a tempo discreto

• A tempo continuo sono state studiate classi di modelli per la struttura a termine per cui sia facile risalire dalla dinamica di r_t a quella di p(t, T ) o f (t, T ) per poi fare pi´u agevolmente la calibrazione ai dati di mercato. Una tale classe ´e data dai cosiddetti modelli con “struttura a termine (esponenzialmente) affine”, cio´e tali che

p(t, T ) = exp[A(t, T ) − B(t, T )r_t]

• Tenendo presente la (38), a tempo discreto cercheremo dei modelli di una forma tale che

φ^N_h(rN −h) = exp−A^N_{N −h}− B_{N −h}^N rN −h

 h = 1, · · · , N − n

e che, per analogia al tempo continuo, chiameremo modelli con “struttura a termine affine”.

Definizione 4.3 Sia ˜Qn la “trasformata di Laplace” di Qn, cio´e Q˜_n(r, λ) =

Z

R

e^−λρQ_n(r, dρ)

Questa definizione generalizza leggermente quella usuale in quanto non consideriamo l’integrale esteso solo ai valori positivi di λ, ma a tutti i valori di λ per cui l’integrale esiste. Questa definizione corrisponde quindi pi´u propriamente a quella di “funzione gen- eratrice dei momenti”.

Proposizione 4.4 Si ´e in presenza di un modello a struttura affine se Q˜_n(r_n, λ) = exp [−ϕ_n(λ) − ψ_n(λ)r_n]

per opportune funzioni ϕ_n(·), ψ(·) e in tale caso si ha

Dimostrazione : Dal fatto che φ^N₁ (r_{N −1}) ≡ 1, si ha che l’affermazione ´e vera per h = 1.

Supponendola vera per h − 1 (h > 1) si ha, in base alla (34) e (32), φ^N_h(r_{N −h}) = Q_{N −h}(φ · φ^N_h−1)(r_{N −h})

= Z

(φ · φ^N_h−1)(ρ) Q_{N −h}(r_{N −h}, dρ)

= Z

exp−ρ − A^N_{N −(h−1)}− B_{N −(h−1)}^N ρ QN −h(r_{N −h}, dρ)

= e^{−ANN −(h−1)} Z

exp− 1 + B_{N −(h−1)}^N
ρ Q_{N −h}(r_{N −h}, dρ)

= e^{−ANN −(h−1)}Q˜N −h



rN −h, 1 + B_{N −(h−1)}^N



= exp h

−A^N_{N −(h−1)}− ϕN −h



1 + B_{N −(h−1)}^N



− ψN −h



1 + B^N_{N −(h−1)}

 rN −h

i

= exp−A^N_{N −h}− B_{N −h}^N r_{N −h} dimostrando cos´ı l’affermazione per induzione.

Nota 4.5 Si noti che, in generale,

A^N_m 6= A^{N +1}_m , B_m^N 6= B_m^{N +1} per m = n, · · · , N − 1.

Usando le (35), (37), (38) si ottiene immediatamente il seguente

Corollario 4.6 In assenza di arbitraggio, per modelli a struttura a termine affine si hanno le seguenti espressioni in funzione di rn

R(n, N ) = 

A^{N +1}_n − A^N_n
+ B_n^{N +1}− B_n^N
r_n

L(n, N ) = _∆¹ exp  A^{N +1}_n − A^N_n
+ B_n^{N +1}− B_n^N
r_n − 1

p(n, N ) = exp−A^N_n − (1 + B_n^N) rn

Come preannunciato, le relazioni esplicite tra r_ne R(n, N ), L(n, N ), p(n, N ) espresse nel Corollario 4.6 permettono di ricavare la dinamica (in n) di questi ultimi in funzione di quella di r_n. Allo scopo manteniamo fisso il periodo/scadenza N . Inoltre, per semplicit´a di scrittura, poniamo

A_n,N := A^{N +1}_n − A^N_n , B_n,N := B_n^{N +1}− B_n^N Abbiamo allora il seguente

Corollario 4.7 In assenza di arbitraggio, per modelli a struttura a termine affine si hanno le seguenti dinamiche

R(n + 1, N ) = R(n, N ) + (A_n+1,N − A_n,N) + B_n+1,N(r_n+1− r_n) + (B_n+1,N− B_n,N) r_n L(n + 1, N ) = _∆¹ [(1 + ∆ L(n, N ))

· exp {(A_n+1,N − A_n,N) + B_n+1,N(r_n+1− r_n) + (B_n+1,N − B_n,N) r_n} − 1]

p(n + 1, N ) = p(n, N ) exp(A^N_n − A^N_n+1) + (1 + B_n^N) r_n− (1 + B_n+1^N ) r_n+1 .

4.3 Esempio (versione a tempo discreto del modello di Ho-Lee per il tempo continuo)

Consideriamo il cosiddetto modello di Ho-Lee a tempo continuo. Discretizzando la sua dinamica a tempo continuo secondo lo schema di Euler-Maruyama otteniamo la seguente dinamica a tempo discreto

r_n+1 = r_n+ Φ_n∆ + σ∆w_n (40)

dove ∆w_nsono v.c. i.i.d., normali di media zero e varianza ∆ e Φ_ne σ sono dei parametri che permetteranno di calibrare il modello ai dati di mercato.

Si noti che, come nel modello di Ho-Lee descritto nel precedente capitolo 3 (si veda in particolare la nota 3.7), anche qui V ar(rn) = nσ² se si sceglie la volatilit´a σ costante nel tempo.

Proposizione 4.8 Il modello di Ho-Lee a tempo discreto induce una struttura a termine affine con







ϕ_n(λ) = λ Φ_n∆ −^λ₂²σ²∆ ψ_n(λ) = λ

(41) e si ha











A^N_n = ∆

N −2

X

i=n

(N − i − 1)Φ_i− 1 2σ²∆

N −2

X

i=n

(N − i − 1)²

N

(42)

cosicch´e si ottengono le seguenti dinamiche



















R(n + 1, N ) = R(n, N ) + A_n+1,N − A_n,N + Φ_n∆ + σ∆w_n

L(n + 1, N ) = _∆¹ [(1 + ∆ L(n, N )) exp {A_n+1,N− A_n,N + Φ_n∆ + σ∆w_n} − 1]

p(n + 1, N ) = p(n, N ) expn

−_{N −n}¹ log p(n, N ) − _{N −n}^ANn − ^σ₂²∆(N − n − 1)²

−(N − n − 1) σ∆w_n}

(44) Dimostrazione : Il nucleo di transizione per rn ´e del tipo

Qn(rn, dρ) = N (dρ; rn+ Φn∆, σ²∆)

dove N (dρ; m, σ²) denota la distribuzione di una v.c. Normale con media m e varianza σ² e che ha come “trasformata di Laplace”

Q˜_n(r_n, λ) = Z

R

e^−λρN (dρ; r_n+ Φ_n∆, σ²∆)

= exp{−λ(r_n+ Φ_n∆) +^λ₂²σ²∆} = exp{−ϕ_n(λ) − ψ_n(λ) r_n} con ϕ(λ) e ψ_n(λ) come in (41).

Da (39) abbiamo allora le relazioni ricorsive







A^N_n = A^N_n+1+ (1 + B_n+1^N )Φ_n∆ −^(1+B

N n+1)²

2 σ²∆ ; A^N_{N −1} = 0

B_n^N = 1 + B^N_n+1 ; B^N_{N −1}= 0

che, come si vede facilmente, conducono a (42). Analogamente a (42) si ha anche











A^{N +1}_n = ∆

N −1

X

i=n

(N − i)Φ_i− 1 2σ²∆

N −1

X

i=n

(N − i)²

B_n^{N +1} = N − n

(45)

Da (42) ed (45) segue allora (43) osservando che

−

N −1

X

i=n

(N − i)²+

N −2

X

i=n

(N − i − 1)² = −

N −1

X

i=n

(N − i)²+

N −1

X

i=n+1

(N − i)² = −(N − n)² Infine, (44) ´e una conseguenza del Corollario 4.7, di (40) e (43) e, per l’ultima relazione, anche delle seguenti

A^N_n − A^N_n+1= (N − n − 1)Φn∆ −^{(N −n−1)}₂ ² σ²∆

(1 + B_n^N) r_n− (1 + B_n+1^N ) r_n+1 = (N − n)r_n− (N − n − 1) [r_n+ Φ_n∆ + σ∆w_n] r_n = −(N − n)⁻¹log p(n, N ) + A^N_n

l’ultima delle quali discende dall’ultima relazione del Corollario 4.6. 

4.3.1 Calibrazione del modello di Ho-Lee ai dati di mercato

Per il modello di Ho-Lee supponiamo di poter osservare sul mercato il valore di R(n, N ), cio´e del tasso a termine nel generico istante n per il generico periodo futuro [N, N + 1).

In base al Corollario 4.6 si ha

R(n, N ) = [A_n,N + B_n,Nr_n] e quindi, in base a (43),

R(n, N ) = ∆

N −1

X

i=n

Φi− σ²

2 ∆(N − n)²+ rn (46)

Supponendo, pi´u precisamente, di poter osservare sul mercato il tasso a termine oggi (cio´e in n = 0) per i vari periodi m = 0, 1, · · · , N − 1, si ha

Proposizione 4.9 Immaginando di aver determinato σ per altra via (volatilit´a storica), siano R^∗(0, m) i valori del tasso a termine osservati oggi per i periodi m = 0, 1, · · · , N.

I coefficienti del modello (40) corrispondono allora a Φ_n = R^∗(0, n + 1) − R^∗(0, n)

∆ + σ²

 n + 1

2



Dimostrazione : Dalla (46) abbiamo R^∗(0, n + 1) = ∆

n

X

i=0

Φ_i−σ²

2 ∆(n + 1)²+ r₀

R^∗(0, n) = ∆

n−1

X

i=0

Φ_i−σ²

2 ∆n²+ r₀ Sottraendo il secondo termine dal primo risulta

∆Φ_n= R^∗(0, n + 1) − R^∗(0, n) + σ²∆n + 1 2σ²∆ e quindi

Φ_n = R^∗(0, n + 1) − R^∗(0, n) + σ²



n + 1

5.1 Caps e Floors

Supponiamo di essere all’istante n (cio´e in t = n∆) e sia data una sequenza di istanti futuri T₀, T₁, · · · , T_N, ciascuno un multiplo intero di ∆. Indichiamo con N_i l’intero per cui T_i = N_i∆ (i = 0, · · · , N ). Inoltre sia α_i = T_i− T_i−1 = (N_i − N_i−1)∆; i = 1, · · · , N . Consideriamo un individuo o una istituzione che chiameremo “agente” che debba pagare per ciascuno degli intervalli temporali [T_i, T_i+1]; i = 0, · · · , N − 1 l’interesse su un certo capitale che supponiamo unitario. Il tasso d’interesse corrisponda ai tassi LIBOR (potreb- bero anche essere EURIBOR). Consideriamo il caso in cui il tasso viene stabilito all’inizio di ciascun intervallo ed il pagamento degli interessi avviene alla fine dell’intervallo (per semplicit´a, vedi anche (11), quando non c’´e ambiguit´a indicheremo con L(i − 1, i − 1) il tasso LIBOR L(T_i−1; T_i−1, T_i) stabilito in T_i−1 per l’intervallo [T_i−1, T_i]). Il generico tasso L(i − 1, i − 1) ´e aleatorio in un istante antecedente a T_i−1. Per proteggersi contro il ris- chio di un aumento di tali tassi, l’agente stipula un contratto che gli permette di non dover eccedere il pagamento corrispondente ad un tasso fisso (cap) K. L’agente pagher´a comunque un importo corrispondente al tasso effettivo L, ma ricever´a dal contratto la differenza (L − K)⁺. In definitiva, egli paga quindi l’interesse in corrispondenza ad un tasso dato da

L − (L − K)⁺= min(L, K).

Prima di passare alla valutazione (pricing) di un tale contratto, che chiameremo sem- plicemente Cap, premettiamo un commento riguardo al fattore di sconto (vedi anche la parte finale del capitolo 1).

Nota 5.1 In quanto segue, indicheremo con D(n, Ni) il fattore di sconto tra gli istanti n∆ e T_i = N_i∆ che (si veda (18)) ´e dato da

D(n, N_i) = exp

"

−

Ni−1

X

j=n

r_j

#

Esso denota l’importo in n∆ che ´e equivalente ad un’unit´a pagabile in T_i (l’importo deve essere investito secondo lo schema dato dalla (14)). Esso ´e lo strumento fondamen- tale che interviene nel prezzaggio in assenza di arbitraggio, appunto perch´e ´e l’inverso del conto bancario che ´e considerato come il “num´eraire” se non specificato altrimenti.

In generale, tale fattore di sconto ´e stocastico.

D’altra parte abbiamo i T_i−bond che forniscono il valore attuale di un’unit´a (deter- ministica/garantita) pagata in T_i = N_i∆. Il suo valore ´e p(n, N_i) che ´e una quantit´a nota in n∆.

Se r_j ´e deterministico, allora si ha D(n, N_i) = p(n, N_i), in generale per´o si ha p(n, N_i) = E^Q

( exp

"

−

Ni−1

X

j=n

r_j

#

| F_n )

e, comunque, D(n, N_i) stabilisce un “importo equivalente”, mentre p(n, N_i) si riferisce al valore di un contratto (riguardante una quan- tit´a futura certa).

Il valore di un Cap (il capitale di riferimento ´e supposto sempre unitario), riportato

ad un istante n∆ < T₀ = N₀∆, ´e quindi

N

X

i=1

D(n, N_i)α_i(L(i − 1, i − 1) − K)⁺

(ricordiamo che usiamo L(i − 1, i − 1) per indicare L(T_i−1; T_i−1, T_i)).

Il valore di un Floor al contrario ´e (l’agente riceve dalla controparte un importo corrispondente al tasso effettivo L, ma riceve poi dal contratto un importo corrispondente a (K − L)⁺; in totale riceve cio´e L + (K − L)⁺ = max{L, K})

N

X

i=1

D(n, N_i)α_i(K − L(i − 1, i − 1))⁺

I singoli termini delle sommatorie vengono chiamati Caplets e Floorlets rispettiva- mente ed il prezzo di un Cap/Floor ´e semplicemente la somma dei prezzi dei Caplets/Floorlets.

In base al principio di assenza di arbitraggio, il prezzo in n∆ dello i−esimo Caplet pu´o scriversi come

CP L_i(n) = E^QD(n, N_i)α_i(L(i − 1, i − 1) − K)⁺| F_n

(47) e si pu´o quindi calcolare come il prezzo di una opzione call, pur di disporre della dinamica del tasso LIBOR nella misura martingala Q.

Per il calcolo effettivo, trovandoci in un contesto a tempo discreto, possiamo anche usare una relazione ricorsiva all’indietro, basata sulla condizione di assenza di arbitraggio (analoga alla (17) per la quale

CP L_i(n)

B_n = E^Q CP L_i(n + 1) B_n+1 | F_n



(48) Prima di fornire la base all’algoritmo ricorsivo nella prossima proposizione, enunciamo e dimostriamo il seguente

Lemma 5.2 Per arbitrari n < N si ha

Dimostrazione: Usando il doppio condizionamento e la (20) abbiamo E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 2, N − 1)p(N − 1, N ) | Fn}

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 2, N − 1)E{p(N − 1, N ) | F_{N −2}} | F_n}

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 2, N − 1)En _{p(N −2,N )}

p(N −2,N −1)h(ξ_{N −1}; N − 1, N ) | F_{N −2}} | F_no

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 3, N − 2)p(N − 2, N ) | F_n}

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 3, N − 2)E{p(N − 2, N ) | FN −3} | Fn}

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 3, N − 2)En

p(N −3,N )

p(N −3,N −2)h(ξ_{N −2}; N − 2, N ) | F_{N −3}} | F_no

= E^Q{p(n, n + 1) · · · , p(N − 4, N − 3)p(N − 3, N ) | F_n}

= · · · = E^Q{p(n, N ) | F_n} = p(n, N ) Abbiamo ora la seguente

Proposizione 5.3 Il prezzo dello i−esimo Caplet ´e dato da

• All’inizio dello i−esimo intervallo CP Li(i − 1) = (1 + Kαi)

 1

1 + Kα_i − p(Ni−1, Ni)

+

e corrisponde quindi al valore alla maturit´a di un’opzione put con sottostante un bond.

• In un generico istante n∆ antecedente a T_i−1

CP L_i(n) = E^Qe^−R(n,n)CP L_i(n + 1) | F_n = p(n, n + 1)E^Q{CP L_i(n + 1) | F_n} Dimostrazione : Basta dimostrare la prima relazione dato che la seconda discende immediatamente dalla condizione di assenza di arbitraggio espressa in (48) e dalla (14).

La prima relazione discende dalla seguente sequenza di espressioni equivalenti per le quali

usiamo principalmente le (48),(14), (9), il lemma 5.2 e (11). Abbiamo allora CP L_i(i − 1) = α_iE^Qn_B

Ni−1

B_Ni (L(i − 1, i − 1) − K)⁺| F_Ni−1o

= α_iE^Q





 exp



−

Ni−1

X

j=Ni−1

R(j, j)



(L(i − 1, i − 1) − K)⁺ | F_Ni−1







= αiE^Q







Ni−1

Y

j=Ni−1

p(j, j + 1)(L(i − 1, i − 1) − K)⁺ | FNi−1







= α_i(L(i − 1, i − 1) − K)⁺E^Qp(Ni−1, N_i−1+ 1) · · · p(N_i− 1, N_i) | F_Ni−1

= α_ip(N_i−1, N_i) 1 − p(N_i−1, N_i) α_ip(N_i−1, N_i) − K

+

= (1 − p(N_i−1, N_i) − Kα_ip(N_i−1, N_i))⁺

= (1 − (1 + Kα_i)p(N_i−1, N_i))⁺= (1 + Kα_i)

 1

1 + Kαi

− p(N_i−1, N_i)

+

che ci fornisce il risultato.

Corollario 5.4 Vale la seguente rappresentazione

CP L_i(n) = (1+Kα_i)E^Q (

exp

"

−

Ni−1−1

X

j=n

R(j, j)

# 1 1 + Kαi

− p(N_i−1, N_i)

+

| F_n )

(49)

Dimostrazione: In base alla (48) ed utilizzando la (14) possiamo scrivere CP L_i(n) = E^Q

 B_n

B_Ni−1 CP L_i(N_i−1) | F_n



= E^Q (

exp

"

−

Ni−1−1

X R(j, j)

#

CP L(N ) | F )

Nota 5.5 Il prezzo di un Floorlet lo si pu´o calcolare mediante una procedura duale a quella per un Caplet. Tuttavia si pu´o anche utilizzare la relazione “Floor-Cap Parity”, analoga alla “Put-Call Parity” che presenteremo nella prossima sottosezione 5.2.2.

5.2 Interest Rate Swaps

Caps e Floors riguardano una serie di scambi di pagamenti futuri, solo se tali scambi risultano convenienti. Si possono considerare scambi che avvengono in ogni caso tra due serie di pagamenti, una ad un tasso fisso, l’altra ad un tasso variabile (il valore allora risulta dalla stessa espressione che per i Caps o Floors, ma senza la parte positiva).

Tali scambi si chiamano Interest Rate Swaps (IRS) e possono essere di uno dei seguenti due tipi, dove i pagamenti seguono lo stesso schema come nei Caps e Floors:

a) Payer IRS (PFS) : si paga alle scadenze T₁ = N₁∆, · · · , T_N = N_N∆ al tasso fisso K per ricevere al tasso variabile L, ed il valore totale di tale operazione in un istante n∆ ≤ T₀ = N₀∆ ´e

N

X

i=1

D(n, N_i) α_i(L(i − 1, i − 1) − K)

b) Receiver IRS (RFS) : si riceve al tasso fisso K e si paga a quello variabile con valore totale in n∆

N

X

i=1

D(n, N_i) α_i(K − L(i − 1, i − 1))

5.2.1 Prezzo di un IRS

Limitatamente al seguente lemma usiamo in questa sottosezione per i prezzi dei bond ed i tassi i simboli introdotti nel capitolo 1 nel contesto del tempo continuo.

Sia Qⁱ (con valore atteso corrispondente Eⁱ) la misura martingala equivalente, cor- rispondente a p(n∆, T_i) come num´eraire. Usando il simbolo pieno L(n∆; T, S) per il tasso a termine a capitalizzazione semplice, valutato in n∆ e relativo al periodo [T, S] (T >

n∆), abbiamo

Lemma 5.6 Per n∆ < m∆ ≤ T si ha

Eⁱ{L(m∆; T, T_i) | F_n} = L(n∆; T, T_i) (50) cio´e i tassi a termine a capitalizzazione semplice, relativi ad un periodo che termina in Ti, sono delle martingale nella misura Qⁱ.

Dim.: Dalla definizione nel paragrafo 1 abbiamo L(n∆; T, T_i) = 1

T_i− T

 p(n∆, T ) p(n∆, T_i) − 1



Questo implica

p(n∆, T_i) L(n∆; T, T_i) = 1

T_i − T [p(n∆, T ) − p(n∆, T_i)]

dove la parte destra ´e un multiplo della differenza tra due bonds. Essa ´e quindi una quantit´a trattata sul mercato (un portafoglio di bonds), il cui prezzo deve soddisfare al principio di assenza di arbitraggio : se scontato rispetto a p(n∆, T_i), deve essere una Qⁱ−martingala. Ma

L(n∆; T, Ti) = 1 T_i− T

p(n∆, T ) − p(n∆, T_i) p(n∆, T_i) e quindi L(n∆; T, T_i) ´e una Qⁱ−martingala.

Tornando alla notazione per bond e tassi come introdotta nel capitolo 2 per il tempo discreto, consideriamo qui un PFS (per un RFS le considerazioni sono completamente analoghe).

Supponiamo per semplicit´a in tutto il seguito che i periodi [T_i−1, T_i] siano di lunghezza unitaria, cio´e poniamo, ∀i, α_i = 1 ed anche ∆ = 1 cosicch´e N_i−1+ 1 = N_i. Vale ora la seguente

Proposizione 5.7 Il prezzo in n ≤ T₀ = N₀ di un PFS con date di pagamento cor- rispondenti a N₁, · · · , N_N, e tasso fisso K ´e

P F S(n) = p(n, N₀) − p(n, N_N) − K

N

X

i=1

p(n, N_i)

Dimostazione: Indicando con P F Sⁱ(n) il “prezzo” all’istante n del generico i−esimo termine del PFS, in base alla condizione di assenza di opportunit´a di arbitraggio ed utilizzando la misura martingala Qⁱ corrispondente a p(n, N_i) come numeraire, si ha

P F Sⁱ(n)

p(n, N_i) = Eⁱ L(i − 1, i − 1) − K p(N_i, N_i) | F_n



dove, lo ricordiamo, L(i − 1, i − 1) ´e il simbolo abbreviato per L(T_i−1; T_i−1, T_i). Tenendo inoltre presente che L(n, i − 1) = L(n; T_i−1, T_i) ´e una martingala nella misura martingala corrispondente a p(n, N_i) come numeraire, si ottiene (si ricorda che supponiamo per semplicit´a α_i = 1 ed anche ∆ = 1 per cui N_i−1+ 1 = N_i)

5.2.2 Floor-Cap Parity

Cosiderando sempre lo stesso schema di pagamenti ed indicando con CP (n) ed F L(n) i prezzi in n di un Cap e di un Floor ripettivamente, si ha

Proposizione 5.8 La Floor-Cap Parity ´e data da

CP (n) − F L(n) = P F S(n)

e permette di esprimere il prezzo di un Floor mediante il prezzo di un Cap e di un PFS.

Dimostrazione: In base alla (47) abbiamo (per un generico α_i)

CP (n) =

N

X

i=1

E^QD(n, N_i)α_i(L(i − 1, i − 1) − K)⁺| F_n

ed, analogamente

F L(n) =

N

X

i=1

E^QD(n, N_i)α_i(K − L(i − 1, i − 1))⁺| F_n

D’altra parte, usando la misura martingala Q corrispondente a B_n come numeraire, il prezzo P F S(n) di un payer forward swap in assenza di arbitraggio e valutato in n pu´o essere espresso come

P F S(n) =

N

X

i=1

E^Q{D(n, N_i)α_i(L(i − 1, i − 1) − K) | F_n}

Considerando allora l’identit´a

(L(i − 1, i − 1) − K)⁺− (K − L(i − 1, i − 1))⁺ = L(i − 1, i − 1) − K dalle relazioni sopra segue immediatamente l’affermazione della proposizione.

5.3 Swap Rate e Swaptions

Alla base di quanto segue considereremo sempre un Payer Interest Rate Swap (PFS). Per un RFS le considerazioni sono completamente analoghe. Facciamo inoltre sempre l’ipotesi semplificativa α_i = 1, ∆ = 1.

Definizione 5.9 Un forward swap rate S_0,N(n) al tempo n e relativo a date di paga- mento T₁ = N₁, · · · , T_N = N_N ´e il valore del tasso fisso K che rende il corrispondente PFS un contratto equo, cio´e tale che

P F S(n) = 0