4.1111 Metodi alle differenze finite per equazioni paraboliche lineari a coefficienti costanti Sia data l'equazione alle derivate parziali

(1)

4.1111 Metodi alle differenze finite per equazioni paraboliche lineari a coefficienti costanti Sia data l'equazione alle derivate parziali



  



v v



²₂

associata alle seguenti condizioni iniziali ed al contorno:

 

  

  

 

  

a b v v

v a v

_a

v b v

_b

, : ( , ) ( )

: ( , ) ; ( , )

0 0

0

Si renda adimensionale l'equazione con il seguente cambio di coordinate:

x a

b a t

  b a

 



 ;  

( )

²

quindi si rendano omogenee le condizioni al contorno con il seguente cambio di variabile:

u u   

^*

v v

_a

 ( v

_b

 v x

_a

)

dove

u^*

è un valore di riferimento arbitrario. Senza perdere di generalità, si può quindi considerare il problema

 



 u

t u x

t u t u t

x u x u x



  

 

2 2

0

0 0 1 0

0 1 0

: ( , ) ( , ) , : ( , ) ( )

Se u₀ è continua in

  ^{0 1} ^,

, la soluzione del problema avrà la forma¹



^













1

2

)

2

sin(

) , (

j

t j

j

j x e

A t

x u

dove i coefficienti ^A^j sono i coefficienti di Fourier per la funzione ^{u x}^{( , )}⁰ ^^{u x}⁰^{( )} nell'intervallo 0 1, . In particolare, se il dato iniziale è costante (^{u x}⁰^{( )}^¹), la soluzione si scrive come

 

2 2

(2 1) 1

4 1

( , ) sin (2 1)

(2 +1)

j t

j

u x t e j x

j



  



  

Gli allievi sono incoraggiati a provare i propri programmi confrontando le soluzioni numeriche trovate con questa soluzione analitica, riportata per l'appunto come riferimento e rappresentata in figura.

1si veda ad esempio Carslaw e Jaeger, Conduction Heat Transfer in Solids, § 3.3

(2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t=0.005

0.01 0.05

0.5 0.1

u

x

Il dominio di integrazione è la semistriscia del piano delimitata dalle rette di equazione x  0,

x 1

e t  0.

Un modo per affrontare il sistema dal punto di vista numerico è quello di discretizzare il secondo membro dell'equazione, fissando una griglia computazionale ad esempio a passo costante x , e trasformare così l'EDP in un sistema di N equazioni differenziali ordinarie, per mezzo di schemi alle differenze finite atti ad esprimere la derivata seconda:



1 2



,0

, ,..., (0)

1,...,

i N

i i

du f u u u dt

u u

i N



Naturalmente si può anche discretizzare il primo membro, con una formula alle differenze finite, e

lungo la variabile

t

si procederà con passo costante

^^t

o anche con passo variabile

^t^k

.

(3)

x t

i n

n+1

i+1,...

i-1,

0, 1,... , N , N+ 1

Sarà:

t

_n

t

_k

x i x

k n



i

 





^ ^

1

;

Un valore numerico della variabile dipendente sarà perciò contrassegnato da due indici: u

ⁱⁿ

.

Il metodo più semplice per la integrazione numerica alle differenze finite è senza dubbio quello che si ottiene costruendo l'analogo del metodo di Eulero esplicito per le equazioni differenziali

ordinarie. Esso consiste nel valutare la derivata prima con lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine della funzione incognita

^u

nella variabile

t

intorno al punto

^tⁿ

, per incremento positivo:

u u u

t t O t

in in

i n



  





 

1



2

  (  )

In base all'equazione differenziale, è



 u

t

u

i

x

n

i



n





  

  

 

2 2

da cui si vede che è necessario esprimere la derivata seconda al secondo membro dell'equazione con una formula che impieghi i valori della funzione al tempo

^tⁿ

, ossia, se si usa la formula centrale:

u u

t O t u u u

x O x

i n

i

 n

 

    

1



1 1

2

 

( ) ( )

il che dà luogo alla seguente formula del metodo esplicito:

(4)

 

1

1 1

2

n n n n n

i i i i i

u u t u u u

x



 

    



La formula appena scritta riguarda i nodi interni al dominio. Per i due nodi adiacenti al contorno, la formula si particolarizza rispettivamente in:

1 i 

 

1

1ⁿ 1ⁿ

t

2

0 2

1ⁿ 2ⁿ

u u u u

x



    

 i N 

 

1

2 1

2 0

n n n n

N N N N

u u t u u

x





    



Esercizio 1. Si risolva il problema di cui è stata fornita la soluzione analitica con il metodo esplicito alle differenze finite, suddividendo l'intervallo di integrazione lungo la variabile ^x in 20 intervalli di uguale ampiezza. Si scelga dapprima un passo di integrazione t = 0.001 e poi t = 0.002 .

Esercizio 2. Si mostri che la costruzione dell'analogo del metodo di Eulero implicito per le equazioni differenziali ordinarie conduce allo schema (di Laasonen):

 

u u t

x u u u

in in

in

in in



 



   

1

2 11 1

11

 2



Il metodo presentato nell'Esercizio 2 è un metodo implicito in quanto le equazioni alle differenze finite costituiscono un sistema lineare accoppiato a matrice tridiagonale, che richiede un

procedimento di risoluzione seppure semplice. Esso è quindi più laborioso del metodo esplicito, ma presenta vantaggi legati alle proprietà di stabilità numerica che saranno chiariti nel seguito. Di seguito si ricava il sistema lineare tridiagonale relativo al metodo di Laasonen. Definiamo

2

r t x

 

 Raggruppando le incognite al primo membro:



_iⁿ1¹

2

_iⁿ¹ _iⁿ1¹



_iⁿ¹ _iⁿ

r u

_^

u

^

u

_^

u

^

u

    

da cui

 

1 1 1

1

1 2

1

n n n n

i i i i

ru

_^

r u

^

ru

_^

u

    

cioè, sinteticamente:

1

n



n

Tu u

(5)

dove T è una matrice quadrata

⁽^N^{ }¹^{) (}^N^¹⁾

avente la forma (detta simmetrica di Tœplitz

²

):

1 2

r r

r r r

r r

 

 

    

 

  

 

  

    

 

   

 

T   

Per risolvere il sistema tridiagonale risultante si può adoperare l’algoritmo di Thomas.

Un terzo metodo, detto di Crank-Nicolson, guadagna un ordine di accuratezza nella discretizzazione temporale, esprimendo il secondo membro come media aritmetica delle determinazioni ai tempi n ed n+1 della formula centrale per la derivata seconda:

u u

t O t u u u

x

u u u

x O x

i n

i

 n

   



    

  



  

  

1

2 1 1

2

1

1 1

1 1 2

2

2   2

  

( ) ( )

Anche il metodo di Crank-Nicolson è implicito. Di seguito si ricava il sistema lineare tridiagonale relativo al metodo C-N. Raggruppando i termini noti al secondo membro e le incognite al primo:



¹¹

²

¹ ¹¹



¹



¹

²

¹



2 2

n n n n n n n n

i i i i i i i i

r r

u

_^

u

^

u

_^

u

^

u u

_

u u

_

       

da cui

   

1 1 1

1

1 1

1

2 2 2 2

n n n n n n

i i i i i i

r r r r

u

_^

r u

^

u

_^

u

_

r u u

_

       

cioè, sinteticamente:

1

n



n

Tu b

dove T è una matrice quadrata ( N   1 ) ( N  1 avente la forma (di Tœplitz): )

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