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Une plaque rectangulaire (2b, 2a) rigide de masse négligeable repose sur trois ressorts verticaux identiques de raideur k. A chaque sommet de la plaque est fixée une charge de masse m/4.

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Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

21

Exercice IV-7: Plaque sur ressorts

Objectif : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée.

Une plaque rectangulaire (2b, 2a) rigide de masse négligeable repose sur trois ressorts verticaux identiques de raideur k. A chaque sommet de la plaque est fixée une charge de masse m/4.

Un système de guidage parfait n’autorise que 3 mouvements : une translation verticale z , et deux rotations notées α et β .

On pose { } X

T

=< z a α b β > .

A l’équilibre dans le champ de pesanteur la plaque est horizontale.

g G

k k k

F G

x G

o

α

y G

o

z G

o

2a z

β

2b

Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, et calculez les précontraintes dans les ressorts à l’équilibre.

Oscillations libres : On posera ω

o2

= k m / et V

o

= 6 h ω

o

Calculez les pulsations et les modes propres du système.

Vous construirez une base normalisée telle que [ ] [ ][ ] Z

T

M Z = m [ ] 1 , avec [ ] 1 matrice unité.

À l’instant initial la plaque passe par sa position d’équilibre, tous ses points ayant la même vitesse verticale dirigée vers le haut V

o

. Déterminez les oscillations libres de la plaque.

Réponse forcée :

Utilisez la base modale pour déterminer la solution particulière forcée de la plaque soumise à une force

verticale d’intensité constante F, appliquée en un point P de la plaque qui décrit un cercle de centre G de rayon

R avec une vitesse angulaire constante ω.

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