5b - Media aritmetica ponderata

(1)

Media aritmetica (ponderata)

I calcoli che abbiamo visto finora si possono effettuare se si dispone di tutte le osservazioni relative alle N unità statistiche.

Tuttavia, spesso accade che si debba operare con tabelle di distribuzioni di frequenze.

(2)

Se vogliamo calcolare la media aritmetica del carattere Grado per i 283 vini dobbiamo usare la formula cosiddetta

Grado ni fi

11 2 0.007

11.5 15 0.053

12 43 0.152

12.5 96 0.339

13 64 0.226

13.5 43 0.152

14 13 0.046

14.5 6 0.021

15 1 0.004

Totale 283 1.000

(3)

In generale la media aritmetica ponderata si calcola moltiplicando ogni valore x_i per un peso w_i e dividendo il tutto per la somma dei pesi

p i

p p i

i

w w

w x

w x w

x w

X x

M + + + + +

+ +

= +

...

) ...

(

2 1

2 2 1

1

∑

∑ ₌

= _p

i p

1

i i i

w w x

(4)

Nel caso delle distribuzioni di frequenze, i pesi w_i sono dati dalle frequenze assolute n_i oppure dalle frequenze relative f_i.

(5)

Media aritmetica ponderata con le frequenze assolute n_i

p i

p p i

i

n n

n x n

x n

X x

M + + + + +

+ +

= +

...

) ...

(

2 1

2 2 1

1

N

n x

n n

x ^p

1

i i i

p 1

i i

p 1

i i i ∑

∑

∑ ₌

=

= =

=

(6)

Media aritmetica ponderata con le frequenze assolute n_i

Grado ni xi·ni

11 2 22

11.5 15 172.5

12 43 516

12.5 96 1200

13 64 832

13.5 43 580.5

14 13 182

14.5 6 87

15 1 15

Totale 283 3607

75 . 283 12

3607 N

n ) x

X ( M

p 1

i i i

=

= ∑₌

(7)

Media aritmetica ponderata con le frequenze relative f_i

p i

p p i

i

f f

f x f

x f

X x

M + + + + +

+ +

= +

...

) ...

(

2 1

2 2 1

1

∑ ∑

∑

=

= =

= ^p

1

i i i

p 1

i i

p 1

i i i

f f x

f x

(8)

Grado fi xi·fi 11 0.007 0.077 11.5 0.053 0.610 12 0.152 1.824 12.5 0.339 4.238 13 0.226 2.938 13.5 0.152 2.052 14 0.046 0.644 14.5 0.021 0.305 15 0.004 0.060

Totale 283 12.75

Media aritmetica ponderata con le frequenze relative f_i

75 .

12 f

x )

X (

M ^p

1

i i i =

= ∑ ₌

A meno di qualche arrotondamento, il risultato è lo stesso

(9)

In questo esempio il risultato è lo stesso che avremmo ottenuto se avessimo avuto a disposizione l’elenco di tutti i valori relativi alle N unità statistiche e avessimo calcolato la media aritmetica semplice.

→ media aritmetica calcolata in modo ESATTO

(10)

Grado ni

11 2 → 2 vini con Grado 11 11.5 15 → 15 vini con Grado 11.5

15 1 → 1 vino con Grado 15 Totale 283

15 ...

...

12 ...

12 5

. 11 ...

5 . 11 11

) 11

( + + + + + + + + + +

X = M

2 volte 15 volte 43 volte ... 1 volta

(11)

Media aritmetica semplice

Media aritmetica ponderata

283

15 ...

...

12 ...

12 5

. 11 ...

5 . 11 11

) 11

( + + + + + + + + + +

X = M

2 volte 15 volte 43 volte ... 1 volta

283

1 15 ...

...

43 12

15 5 . 11 2

) 11

( ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅

X = M

(12)

Quando si opera con distribuzioni di frequenze di caratteri raggruppati in classi non è possibile ottenere il valore esatto della media.

→ media aritmetica calcolata in modo APPROSSIMATO

(13)

Vediamo ad esempio il caso della variabile Chim5

dov’è il valore x_i da inserire nella formula?

Non c’è perchè al suo posto abbiamo un’intera classe di valori!

Chim5 ni fi

20 |- 40 mg/l 15 0.053

40 |- 60 mg/l 59 0.208

60 |- 80 mg/l 91 0.322

80 |- 100 mg/l 76 0.269 100 |- 150 mg/l 42 0.148

Totale 283 1.000

(14)

In questi casi possiamo solo approssimare la classe con il suo valore centrale

Chim5 ni fi

30 15 0.053

50 59 0.208

70 91 0.322

90 76 0.269

125 42 0.148

Totale 283 1.000

Valore centrale di una classe

a |− b

2 b a +

(15)

Quindi utilizziamo la formula della media ponderata che conosciamo

Chim5 ni xi·ni

30 15 450

50 59 2950

70 91 6370

90 76 6840

125 42 5250

Totale 283 21860

24 . 283 77

21860 N

n ) x

X ( M

p 1

i i i

=

= ∑₌

(16)

Anche se il carattere è discreto raggruppato in classi, si procede alla determinazione del valore centrale.

Numero di trattori

posseduti dall'azienda ni

1 - 5 10

6 - 9 35

10 - 15 13

16 - 19 4

Totale aziende 62

Valori appartenenti alla classe:

1 2

3 → valore centrale 4

5

(17)

Poi si calcola la media normalmente.

posseduti dall'azienda ni xi·ni

3 10 30

7.5 35 262.5

12.5 13 162.5

17.5 4 70

Totale aziende 62 525

4677 .

62 8 525 N

n ) x

X ( M

p 1

i i i

=

= ∑₌

(18)

Si noti che questa operazione porta allo stesso risultato che si otterrebbe

«esplodendo» la tabella sotto la solita ipotesi di uniforme distribuzione all’interno delle classi.

(19)

posseduti dall'azienda ni xi·ni

1 2 2

2 2 4

3 2 6

4 2 8

5 2 10

6 8.75 52.5

7 8.75 61.25

8 8.75 70

9 8.75 78.75

10 2.1667 21.6670

11 2.1667 23.8337

12 2.1667 26.0004

13 2.1667 28.1671

14 2.1667 30.3338

15 2.1667 32.5005

16 1 16

17 1 17

18 1 18

19 1 19

Totale aziende 62 525

4677 .

62 8 ) 525

( = ∑ ₌¹ = = N

n X x

M

p

i i i

(20)

In realtà il concetto di media ponderata non è utile solamente per ricavare la media aritmetica di caratteri partendo dalla loro distribuzione di frequenze.

Infatti inizialmente lo avevamo definito in modo più generale, facendo riferimento a dei generici pesi w_i.

(21)

In generale la media aritmetica ponderata si calcola moltiplicando ogni valore x_i per un peso w_i e dividendo il tutto per la somma dei pesi

p i

p p i

i

w w

w x

w x w

x w

X x

M + + + + +

+ +

= +

...

) ...

(

2 1

2 2 1

1

∑

∑ ₌

= _p

i p

1

i i i

w w x

(22)

Il caso delle distribuzioni di frequenze è soltanto un esempio di applicazione del concetto di media ponderata, la cui utilità può essere più ampia.

(23)

Un’azienda agricola possiede 4 appezzamenti di terreno coltivati a vite, le cui caratteristiche sono riportate nella tabella seguente

Superficie vitata (ha)

Età media delle viti (anni)

Densità di impianto (ceppi/ha)

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(24)

Se desidero calcolare le medie di questi caratteri per i 4 appezzamenti, devo operare in modo differente, a seconda del carattere che sto analizzando.

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(25)

Ad esempio, la media di Superficie vitata, può essere calcolata con la normale formula della media aritmetica semplice

L’azienda possiede 4 appezzamenti della superficie media di 1.15 ha

15 . 4 1

6 . 4 4

5 . 0 6

. 0 5

. 1 ) 2

vit Sup

(

M + + + = =

=

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(26)

Se invece vogliamo calcolare la media di Età media delle viti, la media aritmetica semplice non è adatta!

Perchè?

Perchè ogni appezzamento ha un numero di viti differente !!!!!

(27)

Calcoliamo il numero totale di ceppi

Resa (Q/ha)

Numero totale di ceppi

2 30 4000 80 8000

1.5 15 4000 70 6000

0.6 10 2000 120 1200

0.5 15 3000 100 1500

(28)

Ad esempio, ci sono ben 8000 ceppi con età media 30 anni, e solo 1200 ceppi con età media 10 anni. Di questa circostanza possiamo tenere conto utilizzando la media aritmetica ponderata.

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80 8000

1.5 15 4000 70 6000

0.6 10 2000 120 1200

(29)

In questo caso calcoliamo la media di Età media delle viti, ponderata per il Numero totale di ceppi di ogni appezzamento.

83 . Ceppi 21

Totale

Anni Totale

1500 1200

6000 8000

1500 15

1200 10

6000 15

8000 ) 30

( = =

+ +

+

⋅ +

= ⋅ med Età

M

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80 8000

1.5 15 4000 70 6000

0.6 10 2000 120 1200

(30)

Allo stesso modo, la media di Densità di impianto, deve tenere conto del fatto che ogni appezzamento ha un’estensione differente: ancora una volta ci vuole una media ponderata!!!!!

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

(31)

Questa volta i pesi dovranno essere dati dalla Superficie vitata

43 . Superficie 3630

Tot.

Ceppi Totale

5 . 0 6 . 0 5 . 1 2

5 . 0 3000 6

. 0 2000 5

. 1 4000 2

imp) 4000

M(Dens = =

+ +

+

⋅ +

= ⋅

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(32)

Anche la media di Resa necessita di una media ponderata, perchè le estensioni sono differenti, quindi anche in questo caso i pesi saranno dati dalla Superficie vitata

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

(33)

13 . Superficie 84

Tot.

Quantità Tot.

5 . 0 6 . 0 5 . 1 2

5 . 0 100 6

. 0 120 5

. 1 70 2

M(Resa) 80 = =

+ +

+

⋅ +

= ⋅

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(34)

Proprietà della media aritmetica

Proprietà di bilanciamento degli scarti della media aritmetica

La media aritmetica bilancia gli scarti positivi e negativi, ovvero

(x M) 0

N

1 i

i − =

∑

=

(35)

Verifichiamo banalmente la proprietà facendo riferimento alla media semplice che abbiamo calcolato per la Superficie vitata dei 4 appezzamenti.

Superficie

vitata (ha) xi - M

2 0.85 scarto positivo

1.5 0.35 scarto positivo

0.6 -0.55 scarto negativo

0.5 -0.65 scarto negativo

media somma degli scarti 1.15 0.85 + 0.35 - 0.55 - 0.65 = 0

(36)

Proprietà di internalità della media aritmetica

La media aritmetica è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo della serie di valori su cui è calcolata

) x

( max M

) x

(

min _i

i i

i ≤ ≤

(37)

Proprietà di minimo della media aritmetica

Data una successione di N valori x₁, ... x_N, la somma dei loro scarti da una dato valore A, elevati al quadrato, è minima se e solo se A è la media aritmetica M della successione.

(x A) (x M) A M

N

1 i

2 i

N

1 i

2

i − > ∑ − ∀ ≠

∑

(38)

Proprietà della media aritmetica di trasformazioni lineari

Se due caratteri stanno tra loro secondo una relazione lineare del tipo

allora, la stessa relazione sussiste anche tra le loro medie

X b

a

Y = + ⋅

) (

)

(Y a b M X M = + ⋅

(39)

Questa proprietà è molto utile nel caso intervengano variazioni costanti di fenomeni già analizzati.

Immaginiamo di voler calcolare la resa media dei 4 appezzamenti di terreno nell’anno successivo a quello già analizzato, sapendo che in tale intervallo di tempo la produttività di tutti e 4 gli appezzamenti è aumentata del 20%.

(40)

Non è necessario rifare tutti i calcoli, basta osservare che un aumento del 20%

corrisponde a una trasformazione lineare del tipo

con: Y = resa dell’anno successivo

X = resa dell’anno già analizzato (84.13)

a = 0

X b

a

Y = + ⋅

(41)

Quindi

la resa media dell’anno successivo è pari a 100.96 Q/ha.

96 .

100 13

. 84 2

. 1 )

(

) (

=

⋅

=

⋅ +

= Y

M

X M

b a

Y M

(42)

Significato della media aritmetica

Qual è il significato della media aritmetica?

Se la somma a numeratore ha un significato concreto, allora la media aritmetica rappresenta quanta parte di questo totale spetterebbe ad ogni unità nell’ipotesi che esso sia ripartito equamente.

(43)

Ricordiamo l’esempio iniziale, in cui avevamo calcolato il prezzo medio di 14 vini.

Den P

Montepulciano_Abruzzo1 2.50 Montepulciano_Abruzzo2 4.00 Montepulciano_Abruzzo3 2.00 Montepulciano_Abruzzo4 3.60 Montepulciano_Abruzzo5 2.90 Montepulciano_Abruzzo6 6.80 Montepulciano_Abruzzo7 3.75 Montepulciano_Abruzzo8 2.80 Montepulciano_Abruzzo9 7.50 Montepulciano_Abruzzo10 1.60 Montepulciano_Abruzzo11 7.50 Montepulciano_Abruzzo12 2.35 Montepulciano_Abruzzo13 2.20

90 . 14 3

60 . 54

14

10 . 5 ...

50 . ) 2

(

=

+

= + X

M

(44)

In questo caso la somma a numeratore ha un significato concreto: qual è il costo totale che deve sostenere una persona che acquista tutti i 14 vini.

(45)

Significato della media aritmetica: quanto costerebbe una bottiglia se il costo totale di tutte le 14 bottiglie venisse equamente ripartito tra loro?

Den P

Montepulciano_Abruzzo1 2.50 Montepulciano_Abruzzo2 4.00 Montepulciano_Abruzzo3 2.00 Montepulciano_Abruzzo4 3.60 Montepulciano_Abruzzo5 2.90 Montepulciano_Abruzzo6 6.80 Montepulciano_Abruzzo7 3.75 Montepulciano_Abruzzo8 2.80 Montepulciano_Abruzzo9 7.50 Montepulciano_Abruzzo10 1.60 Montepulciano_Abruzzo11 7.50 Montepulciano_Abruzzo12 2.35

90 . 14 3

60 . 54

14

10 . 5 ...

50 . ) 2

(

=

+

= + X

M

(46)

Tuttavia la media aritmetica si può calcolare anche nel caso in cui la somma a numeratore non avesse un significato concreto, come avviene ad esempio per il carattere Grado.

(47)

Den Grado

Montepulciano_Abruzzo1 ^12.5 Montepulciano_Abruzzo2 ^12.5 Montepulciano_Abruzzo3 ^12.5 Montepulciano_Abruzzo4 ^12.0 Montepulciano_Abruzzo5 ^12.0 Montepulciano_Abruzzo6 ^13.0 Montepulciano_Abruzzo7 12.5 Montepulciano_Abruzzo8 12.5 Montepulciano_Abruzzo9 13.5 Montepulciano_Abruzzo10 13.0 Montepulciano_Abruzzo11 13.5 Montepulciano_Abruzzo12 12.5 Montepulciano_Abruzzo13 12.0 Montepulciano_Abruzzo14 13.0

6 . 14 12

177

14

0 . 13 ...

50 . ) 12

(

=

+

= + X

M

(48)

In ogni caso, sia che abbia o che non abbia un significato concreto, la media aritmetica di una serie di valori x₁, x₂, ..., x_N è quella quantità M che, sostituita ad ognuno degli N valori, ne lascia invariata la somma.

(49)

Ragionando nell’esempio del costo delle 14 bottiglie di vino:

• ognuna delle 14 bottiglie ha un costo diverso (x₁, x₂, ..., x_N)

• la somma x₁+ x₂+ ... +x_N è uguale a 54.60

• la media aritmetica è quella quantità M tale che, se le 14 bottiglie avessero tutte lo stesso costo, la somma dei loro costi sarebbe comunque pari a 54.60.