Successioni numeriche (vedi Bergamini modulo N unità 2)
Chiamiamo successione numerica una funzione da N* verso R, cioè una funzione che ad ogni numero naturale positivo n associa un numero reale a n .
f : N* → R n a h n
a n è l'ennesimo termine della successione e " n " è l'indice del termine a n .
(Bergamini definisce le successioni come funzioni da N verso R, ma cambia poco) Facciamo qualche esempio:
{a n } = {1, , , , , ... } 1 2 1 3 1 4 1 5 {b n } = { , , , , , ... } 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 {c n } = {-2, 4, -8, 16, -32, ... }
Rappresentazione di una successione
Possiamo rappresentare una successione tramite un elenco dei primi termini (enumerazione), tramite una definizione analitica (mediante funzione) o per ricorrenza.
Definizione analitica: le tre successioni date sopra sono presentate tramite degli elenchi ma possiamo anche specificarle tramite una definizione analitica:
a n = , 1 n b n = 2n−1 , c n = (-2) n
2
abbiamo cioè un'espressione che ci dice quanto vale il termine generale a n (o b n o c n ).
Definizione per ricorrenza: un'altra possibilità per presentare una successione è quella di definirla per ricorrenza. Si deve definire il valore del primo o dei primi termini (dipende) e poi come si trova il valore di un termine conoscendo il termine precedente o alcuni termini precedenti. Le tre successioni viste sopra potrebbero venir definite così:
{ a n+1 a 1 = = 1 a n { {
1+a n
a 1 = 1 2 a n+1 = a n + 1
a 1 = −2 a n +1 = −2a n
Una successione famosa è quella di Fibonacci.
viste sopra occorrono due termini per partire e continuare:
{ a a n 1 = 0, a 2 = 1
+2 = a n +1 + a n
I termini di questa successione (o serie) costituiscono i numeri di Fibonacci che incontriamo in fenomeni di crescita biologici e troviamo poi impiegati in Arte (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ) Esercizi:
1. Trova l'espressione analitica delle successioni seguenti:
a n = { , , , , ...} 1 3 1 5 1 7 1 9 b n = { 1 4 , 2 9 , 16 3 , 25 4 , 36 5 , ... }
2. Sono date le successioni di termine generale a n = 2n − 1 b n = n$(n+1) 2 . Scrivi i primi 5 termini e individua la sua forma ricorsiva
3. Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un'unica coppia, se ogni mese
ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?
Successioni crescenti, decrescenti e costanti
Diciamo di una successione che è crescente se ogni suo termine è maggiore del precedente, diciamo di una successione che è decrescente se ogni suo termine è minore del precedente e diciamo di una successione che è costante se tutti i suoi termini sono uguali.
Esempi: Se definiamo quattro successioni come segue,
a n = 1 n b n = 2n−1 c n = (-2) n d n = 4
2
potremo dire che la prima è decrescente, la seconda crescente, la terza non è ne crescente ne decrescente ne costante mentre la quarta e costante.
Limite di una successione
Consideriamo ancora la successione {a n } = {1, , , , , ...} di termine generale a 1 2 1 3 1 4 1 5 n = 1 1 +n . Vediamo che al crescere di n si avvicina sempre più a 0. Scriviamo allora
a n → 0 per n → +∞
e leggiamo "a n tende a zero per n che tende a più infinito" o "a n tende a zero quando n tende a più infinito". Traduciamo dunque la freccia → con "tende a".
Si dice anche che la successione converge a zero al tendere di n all'infinito o che la successione ha per limite zero al tendere di n all'infinito. La nozione di limite riveste una grande importanza nello sviluppo di quella parte della matematica che va sotto il nome di "analisi", è dunque stato necessario precisarla.
Si dice che la successione a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ... ha per limite l al tendere di n all'infinito se per ogni numero positivo ε (epsilon),
(dipendente da ε), tale che |l - a n | < ε per tutti i valori n ≥ N.
Scriveremo anche:
lim a nd∞ n = l Non sempre però una successione posside un limite finito.
Quando lo possiede si dice che converge e quando non lo possiede si dice che diverge.
Consideriamo ora la successione {b n } = { , , , , , ... } di termine generale b 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 n = 2n 2 +1 . Vediamo che al crescere di n cresce anche b n , senza limite. Possiamo però scrivere
b n → +∞ per n → +∞
e dire che "b n tende a più infinito per n
lim b nd∞ n = +∞
Questa terminologia è utile, pur non essendo forse molto coerente, perché + ∞ non è considerato come un numero l. Attenzione però, anche una successione tendente all'infinito si dice divergente.
Per la terza successione, {c n } = {-2, 4, -8, 16, -32, ... } di termine generale c n = (-2) (n + 1) , vediamo che non possiamo individuare nessun numero a cui tende la successione al crescere di n. Tutt'al più
possiamo dire che |c n | tende a più infinito per n che tende a più infinito. Della successione c n diremo che
non ha limite.
Operazioni sui limiti
Grazie ad una definizione precisa di limite si possono dimostrare le seguenti proprietà dei limiti delle successioni (escludiamo qui i limiti infiniti):
(k ∈ R)
nd∞ lim (k $ a n ) = k $lim a nd∞ n lim a nd∞ n ! nd∞ lim b n = lim (a nd∞ n ! b n )
nd∞ (
lim a n $ lim b nd∞ n = nd∞ lim (a n $ b n ) lim a nd∞ n + nd∞ lim b n = lim (a nd∞ n + b n ) nd∞ lim b n ! 0)
Progressioni aritmetiche
Si dice che una successione è una progressione aritmetica quando la differenza tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale costante viene chiamata ragione d (d come differenza) della progressione.
Il termine generale di una progressione aritmetica potrà dunque essere scritto come a n = a 1 + (n - 1)⋅d (n ∈ N*, d ∈ R è la ragione)
A volte si considerano un numero finito di termini cosecutivi di una successione e allora il primo e l'ultimo termine sono detti estremi della progressione. I termini compresi tra i due estremi di una progressione aritmetica sono anche detti medi aritmetici.
Somma di termini consecutivi di una progressione aritmetica
Se consideriamo i primi n termini di una progressione aritmetica, la loro somma sarà data da:
S n = a 1 + a 2 n $ n
Progressioni geometriche
Si dice che una successione è una progressione geometrica quando il quoziente tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale costante viene chiamata ragione q (q come quoziente) della
progressione.
Il termine generale di una progressione aritmetica potrà dunque essere scritto come
a n = a 1 ⋅q n - 1 (n ∈ N*, q ∈ R è la ragione)
I termini compresi tra i due estremi di una progressione geometrica sono detti medi geometrici.
Somma di termini consecutivi di una progressione geometrica
Se consideriamo i primi n termini di una progressione geometrica, la loro somma sarà data da:
S n = q $ a q n − 1 − a 1
Un insieme particolare
Definiamo per ricorrenza una successione di numeri complessi M(c):
{ M n M 1 (c) = c
+1 (c) = (M n (c)) 2 + c
In altri termini c è un numero complesso e chiamiamo M(c) la successione di numeri complessi il cui primo termine vale c e ogni termine successivo è dato dal termine precedente al quadrato più c. I primi termini sono dunque c, c 2 + c, (c 2 + c) 2 + c, ((c 2 + c) 2 + c) 2 + c, ...
Ad ogni numero complesso c è dunque associata una successione M(c). Per certi numeri complessi c la sucessione M(c) tende all’infinito, per altri resta entro certi limiti. Se per esempio c = 0 la successione converge verso 0, se c = -1 alterna tra -1 e 0, se c = 1 tende al infinito. Se c = 1/4 la successione sembra convergere verso ½ (ho provato con excel fino al 65’535esimo termine).
Chiamiamo l'insieme dei numeri c per i quali la successione M(c) non tende all’infinito, insieme di Mandelbrot. Se vogliamo rappresentare sul piano di Gauss tutti i numeri complessi appartenenti all’insieme di Mandelbrot, otteniamo una figura che forse avete già visto.
La frontiera di questo insieme è particolare. Possiamo immaginare questo insieme come un isola che
vediamo da un aereo; se ci avviciniamo per osservare più da vicino la costa, scopriamo sempre più
dettagli. Possiamo proseguire questo zoom sulla frontiera all'infinito e sempre troveremo qualcosa di
complesso (vedi l'immagine della frontiera calcolata dal computer). Questo insieme è un esempio di
quegli oggetti matematici chiamati frattali.
Limiti di funzioni di una variabile continua
Anche quando abbiamo delle funzioni da R verso R possiamo parlare di limiti. Per esempio possiamo dire che x 2 tende a 4 quando x tende a 2 e scrivere
lim (x xd2 2 ) = 4
Questo avviene sia che x tenda a 2 "da sinistra" (x < 2), sia che x tenda a 2 "da destra" (x > 2).
xd2 lim (x − 2 ) = 4 xd2 lim (x + 2 ) = 4
Facciamo un' altro esempio. Consideriamo la funzione f(x) = x + x x 3 , definita da R* verso R. Al tendere di x a zero, la funzione f(x) tende a uno. Anche se non è definito il valore della funzione per x uguale a zero, possiamo scrivere:
lim x + x xd0 x 3 = 1
g da R verso R nel modo seguente :
{ 2 per x 3 per x ! 1 = 1
g(x) =
Benché g(1) = 3, anche in questo caso possiamo scrivere lim g xd1 (x) = 2
Un ultimo esempio. Consideriamo la funzione h(x) = 1/x definita da R* verso R. Se x tende a zero per valori negativi (da sinistra), 1/x tende a −∞. Mentre che se x tende a zero per valori positivi (da destra), 1/x tende a + ∞. Possiamo allora scrivere:
xd0 −
lim 1x = −∞ xd0 lim 1x = +∞ +
A proposito di quest'ultimo esempio facciamo qualche osservazione.
- Possiamo definire dei limiti da destra e da sinistra e questi possono essere fra loro diversi.
- Anche qui possiamo parlare di limite per x che tende a zero indipendentemente da quello che succede per x = 0.
- Abbiamo qui dei limiti infiniti che devono essere trattati con un po' di prudenza perchè l'infinito non è un numero.
Il concetto di limite di una funzione, come quello di una successione, ha dovuto esser precisato in modo da poter costruire l'analisi. Riportiamo qui di seguito una definizione di limite anche se noi non avremo bisogno di lavorare in modo rigoroso con questo tipo di definizione.
La funzione f(x) ha per limite a, al tendere di x al valore x 1 , se in corrispondenza a ogni numero positivo ε, non importa quanto piccolo, si può trovare un numero positivo δ , (dipendente da ε) tale
che |f(x) - a| < ε, per ogni x ≠ x 1 che soddisfi la diseguaglianza |x - x 1 | < δ.
x y
