2. Dal grafico di f(x) a quello di f(mx)

Anno Scolastico 2017/2018

CONFRONTO TRA GRAFICI

Classe 5° sez. E Liceo Scientifico Scienze Applicate Prof. Giuseppe Scippa

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Confronto tra grafici

1. Dal grafico di f(x) a quello della sua derivata f’(x) e viceversa

Osservazioni su f(x) Conseguenze per f’(x) Negli intervalli in cui f(x) è crescente f’(x) > 0

Negli intervalli in cui f(x) è decrescente f’(x) < 0 Nei punti in cui f(x) ha tangenti orizzontali

(max o min) f’(x) = 0 (f’(x) interseca l’asse delle x)

Negli intervalli in cui f(x) ha la concavità verso l’alto

f’(x) è crescente

Negli intervalli in cui f(x) ha la concavità verso il basso

f’(x) è decrescente

Nei punti in cui f(x) ha flessi f’(x) ha tangenti orizzontali negli stessi punti*

Se f(x) ammette asintoto orizzontale f’(x) tende a zero per x→ ∞

Se f(x) ammette asintoto verticale f’(x) tende all’infinito nello stesso punto Se f(x) ammette asintoto obliquo = 𝑚 + q f’(x) tende a m per → ∞

Se f(x) è pari f’(x) è dispari

Se f(x) è dispari f’(x) è pari

* in altre parole la f’(x) presenterà un massimo o minimo in corrispondenza dei punti di flesso della funzione di partenza

Studiando la crescenza e la decrescenza della f’(x) (concavità della funzione) se risulta che:

f’(x)<0 e poi f’(x)>0 il flesso è un massimo f’(x)>0 e poi f’(x)<0 il flesso è un minimo

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2. Dal grafico di f(x) a quello di f(mx)

DILATAZIONE E CONTRAZIONE ORIZZONTALI

Il grafico della funzione f(mx) si ottiene dal grafico della funzione f(x).

 Se m>1, allora si verifica una contrazione (parallela all’asse delle x)

 Se 0<m<1, allora si verifica una dilatazione (parallela all’asse delle x) Dilatazione e contrazione sono omotetie*.

Si consideri per esempio la funzione sinusoide.

La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano.

Si chiamano funzioni sinusoidali, invece, quelle che si possono ottenere dalla funzione y =sin(x) con trasformazioni elementari.

1. I punti di intersezione con l’asse y restano fissi.

Il grafico ottenuto è dunque formato da punti che hanno tutti le ascisse mutate di un fattore m;

2. al crescere del parametro m (CONTRAZIONE) si intensifica il numero delle spire (le "onde" sono più frequenti);

3. l’ampiezza della funzione y =sin(m∙x) è uguale a quella della funzione y =sin(x);

4. il periodo viene modificato: il nuovo periodo T si ottiene risolvendo mT=2π**.

 Grafico di f(x)

 Grafico di f’(x)

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*un'omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma.

y=sin(3x) (CONTRAZIONE)

y=sin(-1/2x) (DILATAZIONE)

 Grafico f(mx)

 Grafico f(x)

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3. Dal grafico di f(x) al grafico di f(|x|)

Funzione: f(x) f|x|

x≥0 La funzione è crescente verso l’ alto.

Il grafico è uguale alla funzione f(x)≥ 0.

x<0 La funzione decresce verso il basso.

Il grafico è simmetrico rispetto all’ asse delle y di quello che y=f(x) ha per x>0.

La funzione interseca l’ asse delle y.

I punti di intersezione con l’asse delle y sono punti angolosi.

*I punti angolosi sono punti di non derivabilità: in tali punti esistono entrambe le derivate ( destra e sinistra), ma sono diverse.

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4. Funzione esponenziale: da f(x) a e

f ( x ) y e ^{f ( x )}

x0 Max relativo x0 Max relativo

x0 Min relativo x0 Min relativo

x0 Flesso x0 Flesso

Nei punti in cui f ( x₀ ) 0 e f ( xo )1

Se f ( x )   e f ( x )  

Se f ( x )   e f ( x )  0 

Il grafico della funzione esponenziale e f ( x ) è tutto al di sopra dell’asse x.

Esso si ottiene da quello di f ( x ) applicando all’esponente e , i valori significativi di f ( x )

(massimi, minimi, incontro con gli assi).

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5. Grafico Traslato: da f(x) a f(x+k)

Il grafico della funzione f ( x k ) si ottiene traslando con ampiezza k il grafico della funzione f ( x ) :

- verso sinistra se k 0

- verso destra se k 0

log_e x log_e (x 2)

log_e x log_e (x 2)

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6. Funzione reciproca: da f(x) a 1/f(x)

Il grafico della funzione 1/f(x), detta anche reciproca di f(x), si ottiene osservando le seguenti considerazioni:

 In ogni intervallo dove il grafico della funzione f(x) cresce, il grafico della reciproca decresce

 In ogni intervallo dove il grafico della funzione f(x) decresce, il grafico della reciproca cresce

 Nei punti in cui f(x) vale 0, la reciproca non è definita e tende all’infinito, ciò implica la presenza di una serie di asintoti verticali

 Nei punti dove f(x) tende all’infinito, il reciproco tende a 0

 Se f(x) è diversa da 0, di conseguenza anche la reciproca è diversa da 0

 Se f(x) è uguale a + o – 1, di conseguenza anche la reciproca è uguale a + o – 1

 f(x) e 1/f(x) hanno entrambe lo stesso segno e lo stesso asse di simmetria

f(x) 1/f(x)

Se f(x)>0 Allora 1/f(x)<0

Se f(x)<0 Allora 1/f(x)>0

Se f(x)=0 Allora 1/f(x)→∞ (asintoto verticale)

Se f(x)→∞ (asintoto verticale) Allora 1/f(x)=0

Se f(x)≠0 Allora 1/f(x)≠0

Se f(x)= ±1 Allora 1/f(x)= ±1

f(x) 1/f(x)

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7) Dal grafico della funzione y=f al grafico della funzione y= 𝐥𝐨 𝒇

Se

:

 Negli intervalli dove f(x)<0, ossia negativa, la funzione log f(x) non esiste.

Quindi negli intervalli dove la curva del grafico di f(x) sta sotto l’asse x,la curva del grafico di log f(x) non deve essere tracciata.

Infatti per definizione l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0 sempre.

 Nei punti in cui f( )=1, la funzione log f( )=0. Questo significa che i punti di ordinata 1 in f(x) saranno punti di intersezione con l’asse x nella funzione log f(x).

 Se f(x) tende a +∞ allora log f(x) tende a +∞. Quindi, graficamente, dove f(x) sale, log f(x) sale anch’essa. Lo stesso vale anche per l’andamento discendente.

 Negli intervalli dove f(x) è crescente/decrescente , log f(x) è ugualmente crescente/decrescente. Quindi i punti di massimo e di minimo se ci sono sono gli stessi. Ciò è anche una conseguenza del punto precedente.

 Se f(x) tende a 0, allora log f(x) tende a -∞. Partendo da questo si deduce che i punti di intersezione con l’asse x di f(x), siano punti di non continuità in log f(x) . Graficamente dove f(x)=0, in log f(x) vanno tracciati degli asintoti verticali.

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Se 0 < a < 1 :

 Negli intervalli dove f(x)<0, ossia negativa, la funzione log f(x) non esiste.

Quindi negli intervalli dove la curva del grafico di f(x) sta sotto l’asse x,la curva del grafico di log f(x) non deve essere tracciata.

Infatti per definizione l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0 sempre.

 Nei punti in cui f( )=1, la funzione log f( )=0. Questo significa che i punti di ordinata 1 in f(x) saranno punti di intersezione con l’asse x nella funzione log f(x).

 Se f(x) tende a +∞ allora log f(x) tende a -∞. Quindi, graficamente, dove f(x) sale, log f(x) scende e viceversa.

 Negli intervalli dove f(x) è crescente/descrescente, log f(x) è invece descrescente/crescente. Quindi, se ci sono, i punti di massimo dell’una divengono punti di minimo dell’altra e viceversa.

Ciò è anche una conseguenza del punto precedente.

 Se f(x) tende a 0, allora log f(x) tende a +∞. Partendo da questo si deduce che i punti di intersezione con l’asse x di f(x), siano punti di non continuità in log f(x) . Graficamente dove f(x)=0, in log f(x) vanno tracciati degli asintoti verticali.

f(x) Loga f(x)

f(x)<0 Loga f(x) non esiste

f(x)=1 Loga f(x)=0

f(x)→+∞ Loga f(x)→+∞

Se f(x)=max/min Log_a f(x)=max/min*

f(x)=0 Loga f(x)→-∞

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8) Grafici deducibili da quelli delle funzioni note

Considerando la definizione di valore assoluto, si ha:

= 𝒇 se f(x) ≥ 0

= |𝒇 |

= −𝒇 se f(x) ≤ 0

 Negli intervalli in cui il segno della funzione è positivo rappresenteremo lo stesso grafico.

 Nell’intervallo in cui la funzione ha segno negativo costruiremo il grafico rappresentando il simmetrico di

=

Il grafico della funzione = |𝒇 | si ottiene disegnando lo stesso grafico della funzione = 𝒇 ua do essa si t ova sop a l’as issa, mentre si disegnerà la funzione simmetrica ad essa rispetto

all’as issa ua do la fu zio e si t ove à i u i te vallo egativo.

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9) Funzione simmetrica

Esempio (in foto):

=

− =

con ≠ ∪ >

Il grafico della funzione = 𝒇 − si ottiene simmetrizzando

ispetto all’o di ata, il g afi o della fu zio e = 𝒇 .

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10) Funzione traslata

Date le funzioni = e = + con ∈ ℝ{ }, altrimenti e coincidono, possiamo affermare quanto segue:

noto il grafico della funzione possiamo dedurre facilmente il grafico della funzione che in tal caso risulta essere frutto di una traslazione rigida di lungo l’asse 𝛾.Il grafico di si costruisce incrementando di l’ordinata di ogni punto del grafico di . Tuttavia è possibile ottenere il grafico di in una maniera più semplice. Supponiamo che sia > .

La traslazione consiste nel fare scorrere l’asse delle ordinate lungo se stesso e verso il basso, di un segmento di lunghezza , e nell’abbassare, conseguenzialmente, l’asse delle ascisse. Con ciò ogni punto ; del grafico δ ha, nel nuovo sistema di assi, ascissa = , ma ordinata = + . Si ribadisce, quindi, che la curva è ora di equazione = + .

Es. Sia = ln si avrà che l’equazione della traslata di lungo sarà, per quanto detto:

= ln + =

Riportiamo di seguito i grafici di e considerando prima la traslazione di rispetto

al sistema (mantenuto fisso).

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Poi consideriamo la traslazione del sistema di riferimento in mantenendo fisso il grafico di .

Analizziamo ora alcuni punti che si affrontano nello studio di una funzione, fornendo un confronto tra e la sua traslata = + .

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11) Simmetria rispetto all ’asse delle x:

Da = 𝒇 ad = −𝒇

f(x) -f(x)

Tutti i valori di ascissa = − avranno segno opposto rispetto ai valori di ascissa della funzione = .

Esempio (in foto):

=

− = −

con ≠ ∪ >

Il grafico della funzione = −𝒇 si ottiene simmetrizzando la

funzione di partenza = 𝒇 ispetto all’as issa.

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12) Simmetria rispetto all ’origine:

Da = a = − −

− −

Entrambi i valori delle variabili x e y della funzione

= − − avranno segno opposto rispetto ai valori delle variabili x e y della funzione = .

Esempio (in foto):

=

− − = −

con ≠ ∪ >

Il grafico della funzione = −𝒇 − si ottiene simmetrizzando la funzione di partenza = 𝒇 ispetto all’o igi e degli assi,

ui di p i a ispetto all’as issa e poi all’o di ata, o vi eve sa.

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13) Dilatazione verticale:

da

a

Esempio 1:

= − ∙ = −

Con

Nel primo esempio si passa dalla funzione − 𝟒 alla funzione − 𝟒 ,

con = . In questo caso si ha una contrazione verticale di f(x) rispetto all’asse delle x.

La funzione di ordinata = −𝒇 si contrae, mentre la funzione di ordinata

= 𝒇 si dilata.

Il grafico della funzione =

𝒇 , con < b < , si

ottiene contraendo = 𝒇 di verticalmente rispetto

all’ascissa.

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Esempio 2:

= − ∙ = − Con =

Nel secondo esempio si passa dalla funzione − alla funzione − , con = . In questo caso si ha una dilatazione verticale di rispetto all’asse delle x.

La funzione di ordinata = − si dilata, mentre la funzione di ordinata = si contrae.

Il grafico della funzione =

𝒇 , con > si ottiene

dilatando = 𝒇 di ve ti al e te ispetto all’asse x.

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14) Dal grafico f(x) a [f(x)]

Supponendo che le funzioni esaminate siano continue due volte negli intervalli considerati, cerchiamo di ricavare dal grafico di una funzione quello della funzione [f(x)]^2.

Osservazione di f(x) Conseguenze di [f(x)]²

f(x)=0 [f(x)]²=0

f(x)=1 [f(x)]²=1

f(x)<1 [f(x)]²<f(x)

f(x)>1 [f(x)]²>f(x)

 Il dominio delle funzioni comprende l’insieme dei numeri reali. Il codominio della funzione [f(x)]² comprende l’insieme dei numeri reali positivi. La funzione [f(x)]² è sempre positiva.

 La funzione [f(x)]² interseca l’asse x nello stesso punto della funzione f(x).

 La funzione [f(x)]² interseca l’asse y nel punto il cui valore di ordinata è uguale al quadrato del valore di ordinata del punto di intersezione con l’asse y della funzione f(x).

 Quando x tende a ±∞ la funzione [f(x)]² è sempre crescente ed è una parabola.

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15) Dal grafico di f(x) a √f(x)

Osservazione f(x) Conseguenze √f(x)

f(x)= 0 √f(x)= 0

f(x)= 1 √f(x)= 1

f(x)= crescente √f(x)= crescente

f(x)= decrescente √f(x)= decrescente

m= [x₀;f(x)] m= [x₀;√f(x)]

M= [x0;f(x)] M= [x0; √f(x)]

 Il dominio delle funzioni comprende l’insieme dei numeri reali. Il codominio della funzione √f(x) comprende l’insieme dei numeri reali positivi.

 Il punto di intersezione della funzione f(x), con l'asse delle x, è lo stesso del punto di intersezione della funzione √f(x).

 La funzione √f(x) interseca l’asse delle y in un punto, il cui valore dell’ordinata corrisponde alla radice del valore dell’ordinata del punto di intersezione della funzione f(x) con l’asse y.

 Se la funzione f(x) è crescente, anche √f(x) è crescente.

 Se la funzione f(x) è decrescente, anche √f(x) è decrescente.