Equazioni differenziali ordinarie - 24 luglio 2018
Dato il sistema differenziale
˙x = 3y2− 1
˙
y = 2x(y3− y), (1)
i) dire quale tra ex2, ey2, ex2+y2 `e un fattore integrante inverso, e calcolare un integrale primo;
ii) trovare eventuali rette invarianti o dimostrare la non esistenza di rette invarianti;
iii) trovare tutti i punti critici del sistema, studiarne la stabilit`a e calcolarne l’indice;
iv) discutere l’esistenza di centri e localizzarli, se ne esistono;
v) scrivere le equazioni delle separatrici, se ne esistono;
vi) disegnare il ritratto di fase.
Soluzione.
i) La divergenza del campo vettoriale
(3y2− 1)e−x2, 2x(y3− y)e−x2
`e identicamente nulla, quindi ex2 `e un fattore integrante inverso. Il sistema
˙x = (3y2− 1)e−x2
˙
y = 2x(y3− y)e−x2, (2)
`e hamiltoniano, con hamiltoniana
H(x, y) = (y3− y)e−x2 + h, h ∈ IR, che `e un integrale primo di (2) e di (1). Per semplicit`a prendiamo h = 0.
ii) L’insieme di livello 0 di H(x, y) `e invariante. Esso consiste dell’unione di tre rette parallele:
H(x, y) = (y3− y)e−x2 = 0 ⇐⇒ y = −1, 0, 1.
Ognuna di esse `e a sua volta invariante. Se esistesse un’altra retta invariante r, avremmo due casi possibili:
1. r `e parallela all’asse x, quindi ha equazione y = k, per un k ∈ IR, k 6= −1, 0, 1. In tal caso H(x, y) sarebbe costante su y = k, ed avremmo
H(x, k) = (k3− k)e−x2 = C, C ∈ IR.
Essendo k3− k 6= 0, ptremmo dividere per k3− k:
e−x2 = C k3− k, da cui
x = ± s
− log
C
k3− k
.
In conclusione r sarebbe parallela all’asse y, contraddicendo l’assunzione che `e parallela all’asse x.
2. r non `e parallela all’asse x. In tal caso incontrerebbe le tre rette y = −1, 0, 1 in tre punti distinti R−1, R0, R1. Tali intersezioni sarebbero invarianti, quindi sarebbero punti critici del sistema, ma i punti critici del sistema sono solo due:
0, 1
√3
,
0, − 1
√3
.
1
Quindi il sistema ha solo 3 rette invarianti, di equazioni y = −1, 0, 1.
iii) e iv) I punti critici sono stati determinati in ii). La matrice hessiana di H(x, y) `e HH(x, y) = (y3− y)(4x2− 2)e−x2 −2xe−x2(3y2− 1)
−2xe−x2(3y2− 1) 6ye−x2
. Nei punti critici abbiamo:
HH
0, 1
√3
=
4 3√
3 0
0 2√ 3
, HH
0, − 1
√3
=
−3√43 0
0 −2√
3
.
Gli autovalori di queste matrici sono sulle diagonali principali, quindi il primo punto critico `e un punto di minimo per H(x, y), il secondo `e un punto di massimo. Entrambi sono centri dei sistemi (2) e (1), quindi stabili sia nel futuro che nel passato, con indice 1.
v) Tutti i punti critici del sistema sono centri, per cui non esistono separatrici associate a punti critici.
Le rette y = −1, 0, 1 separano il piano in regioni in cui il comportamento delle orbite `e differente.
Una delle loro possibili equazioni `e H(x, y) = 0. Un’altra `e y3− y = 0.
vi) Il ritratto di fase `e nella figura seguente.
Figura 1: Alcune orbite del sistema (1)
2
