1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

(1)

Esercizi di riepilogo

1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

P (1, 0, −1). [k = √

17, τ = 0]

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circon- ferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin ² x nel punto P ( ^π ₂ , 1).

Stabilire per quali x ∈ [0, π] risulta ˜ k(x) = 0. [(x − ^π ₂ ) ² + (y − ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ , x = ^π ₄ e x = ³ ₄ π]

3. Calcolare

Z

γ

√ 1 − xz ds essendo γ la curva semplice e regolare avente per sostegno l’in- tersezione del cilindro x ² + z ² = 1 con il piano x + y + z = 1. [2 √

2π]

4. Data la funzione f (x, y) =







x

y

²

y > 0

0 y ≤ 0 stabilire in quali punti del suo dominio risulta continua, derivabile e differenziabile.

5. Data la funzione f (x, y) = y ² (x + 1) − 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR ² | √

1 + y ² ≤ x ≤ 2}.

[ 6 ∃ punti di massimo e di minimo relativo, P (2, 0) ` e punto di minimo in D mentre Q ± (2, ± √ 3) sono punti di massimo ]

6. Calcolare

Z Z

D

|x−1| dxdy essendo D = {(x, y) ∈ IR ² | y ≥ 0, √

2y − y ² ≤ x ≤ 2−y}.[ ³ ₂ − ^π ₄ ] 7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, −y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = ^x ₉

²

+ ^y ₄

²

con x ² + y ² ≤ 4, orientata in modo tale che N (0, 0, 0) · k < 0. [− ¹⁰ ₉ π]

8. Calcolare il volume del solido E = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ≥ 0, x ² + z ² ≤ a ² , y ² + z ² ≤ a ² }

essendo a > 0. [ ⁸ ₃ a ³ ]

9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( ¹ _z , 2y + √

z, ₂ ^√ ^y _z − _z ^x

2

), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (t ² , t, t + 1) con

1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

Esercizi di riepilogo

1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

P (1, 0, −1). [k = √

17, τ = 0]

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circon- ferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin 2 x nel punto P ( π 2 , 1).

Stabilire per quali x ∈ [0, π] risulta ˜ k(x) = 0. [(x − π 2 ) 2 + (y − 1 2 ) 2 = 1 4 , x = π 4 e x = 3 4 π]

3. Calcolare

Z

γ

√ 1 − xz ds essendo γ la curva semplice e regolare avente per sostegno l’in- tersezione del cilindro x 2 + z 2 = 1 con il piano x + y + z = 1. [2 √

2π]

4. Data la funzione f (x, y) =







x

y

y > 0

0 y ≤ 0 stabilire in quali punti del suo dominio risulta continua, derivabile e differenziabile.

5. Data la funzione f (x, y) = y 2 (x + 1) − 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR 2 | √

1 + y 2 ≤ x ≤ 2}.

[ 6 ∃ punti di massimo e di minimo relativo, P (2, 0) ` e punto di minimo in D mentre Q ± (2, ± √ 3) sono punti di massimo ]

6. Calcolare

Z Z

D

|x−1| dxdy essendo D = {(x, y) ∈ IR 2 | y ≥ 0, √

2y − y 2 ≤ x ≤ 2−y}.[ 3 2 − π 4 ] 7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, −y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = x 9

+ y 4

con x 2 + y 2 ≤ 4, orientata in modo tale che N (0, 0, 0) · k < 0. [− 10 9 π]

8. Calcolare il volume del solido E = {(x, y, z) ∈ IR 3 | z ≥ 0, x 2 + z 2 ≤ a 2 , y 2 + z 2 ≤ a 2 }

essendo a > 0. [ 8 3 a 3 ]

9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( 1 z , 2y + √

z, 2 √ y z − z x

), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (t 2 , t, t + 1) con

t ∈ [0, 1]. [ L = 3 2 + √

2 ]

10. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy







y 0 = x 2 y − y x

log x

y(1) = 2 speci-

ficandone il dominio. [y(x) = 2x

log x−x 4x

+3 ]

11. Determinare la soluzione del problema di Cauchy



 



 



y 00 + y = cos x 1 + cos x y(0) = 1

y 0 (0) = 0

.

[y(x) = (1 + log(cos x)) cos x + 3 2 x sin x]

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circon- ferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin ² x nel punto P ( ^π ₂ , 1).

Stabilire per quali x ∈ [0, π] risulta ˜ k(x) = 0. [(x − ^π ₂ ) ² + (y − ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ , x = ^π ₄ e x = ³ ₄ π]

√ 1 − xz ds essendo γ la curva semplice e regolare avente per sostegno l’in- tersezione del cilindro x ² + z ² = 1 con il piano x + y + z = 1. [2 √

5. Data la funzione f (x, y) = y ² (x + 1) − 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR ² | √

1 + y ² ≤ x ≤ 2}.

|x−1| dxdy essendo D = {(x, y) ∈ IR ² | y ≥ 0, √

2y − y ² ≤ x ≤ 2−y}.[ ³ ₂ − ^π ₄ ] 7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, −y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = ^x ₉

+ ^y ₄

con x ² + y ² ≤ 4, orientata in modo tale che N (0, 0, 0) · k < 0. [− ¹⁰ ₉ π]

8. Calcolare il volume del solido E = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ≥ 0, x ² + z ² ≤ a ² , y ² + z ² ≤ a ² }

essendo a > 0. [ ⁸ ₃ a ³ ]

9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( ¹ _z , 2y + √

z, ₂ ^√ ^y _z − _z ^x

), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (t ² , t, t + 1) con

t ∈ [0, 1]. [ L = ³ ₂ + √

y ⁰ = _x ² y − ^y _x

ficandone il dominio. [y(x) = _2x

log x−x ^4x

y ⁰⁰ + y = _{cos x} ¹ + cos x y(0) = 1

y ⁰ (0) = 0

[y(x) = (1 + log(cos x)) cos x + ³ ₂ x sin x]