1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

Esercizi di riepilogo

1. Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, cos(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto

P (1, 0, −1). [k = √

17, τ = 0]

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circon- ferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin ² x nel punto P ( ^π ₂ , 1).

Stabilire per quali x ∈ [0, π] risulta ˜ k(x) = 0. [(x − ^π ₂ ) ² + (y − ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ , x = ^π ₄ e x = ³ ₄ π]

3. Calcolare

Z

γ

√ 1 − xz ds essendo γ la curva semplice e regolare avente per sostegno l’in- tersezione del cilindro x ² + z ² = 1 con il piano x + y + z = 1. [2 √

2π]

4. Data la funzione f (x, y) =







x

y

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) 6= (0, 0 stabilire se nell’origine (i) risulta continua e derivabile parzialmente;

(ii) ammette derivata direzionale nella direzione ν = ( ^{√ 1}

2 , ^{√ 1}

2 );

(iii) risulta differenziabile.

5. Data la funzione f (x, y) = y ² (x + 1) − 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR ² | √

1 + y ² ≤ x ≤ 2}.

[ 6 ∃ punti di massimo e di minimo relativo, P (2, 0) ` e punto di minimo in D mentre Q ± (2, ± √ 3) sono punti di massimo ]

6. Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D = {(x, y) ∈ IR ² | 0 ≤ y ≤

√ 3x, x ² + y ² ≤ 2x} di densit` a di massa costante.

7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, −y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = ^x ₉

+ ^y ₄

con x ² + y ² ≤ 4, orientata in modo tale che N (0, 0, 0) · k < 0. [− ¹⁰ ₉ π]

8. Calcolare

Z Z Z

E

ze ^x

^+y

dxdydz dove E = {(x, y, z) ∈ IR ³ | 0 ≤ x ² + y ² ≤ z ≤ 1}. [ ^π ₂ ] 9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( ¹ _z , 2y + √

z, ₂ ^{√ y} _z − _z ^x

), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (t ² , t, t + 1) con

t ∈ [0, 1]. [ L = ³ ₂ + √

2 ]

10. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy







y ⁰ = _x ² y − ^y _x

log x

y(1) = 2 speci-

ficandone il dominio. [y(x) = _2x

log x−x ^4x

+3 ]

11. Determinare la soluzione del problema di Cauchy



 



 



y ⁰⁰ + y = _{cos x} ¹ + cos x y(0) = 1

y ⁰ (0) = 0

.

[y(x) = (1 + log(cos x)) cos x + ³ ₂ x sin x]

12. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y ⁰⁰⁰⁰ + 2y ⁰⁰ + y = e ^−x .[y(x) =

c 1 cos x + c 2 sin x + x(c 3 cos x + c 4 sin x) + ¹ ₄ e ^−x ]