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- Esercizi di riepilogo e di complemento
Calcolo degli integrali tripli
1. Calcolare l’integrale triplo
D
z dx dy dz
dove D `e il dominio limitato dai piani x = 0, y = 0, z = 0, 6x + 4y + 3z − 12 = 0.
[
4]
2. Calcolare l’integrale triplo
D
x dx dy dz
dove D `e il dominio x
2+ y
2+ z
2r
2, x 0, y 0, z 0.
πr4 16
3. Calcolare l’integrale triplo
D
xy dx dy dz
dove D `e il dominio contenuto nel primo ottante e limitato dai piani x = 0, y = 0, z = 3 e dal paraboloide z = x
2+ y
2.
9 8
4. Calcolare l’integrale triplo
D
x dx dy dz
dove D `e la sfera (x − 2)
2+ y
2+ z
21.
8 3π
5. Calcolare l’integrale triplo
D
xyz dx dy dz
dove D `e il cilindro retto avente le generatrici parallele all’asse z, di altezza h, posto nel semispazio z 0 e avente per direttrice, sul piano xy, la circonferenza (x − 2)
2+ ( y − 2)
2= 1 .
2πh2
6. Calcolare gli integrali tripli
D
x dx dy dz
D
xy dx dy dz
D
xyz dx dy dz
dove D `e il dominio x
2+ y
2+ z
2r
2, x 0, y 0, z 0, facendo uso delle coordinate polari.
πr4 16; r5
15; r6 48
1
7. Calcolare l’integrale triplo
D
| z | dx dy dz
dove D `e il quarto di sfera x
2+ y
2+ z
21, x 0, y 0.
4π 21
8. Calcolare gli integrali tripli
D
x dx dy dz
D
xy dx dy dz
D
xyz dx dy dz
facendo uso delle coordinate cilindriche e supponendo che D sia il quarto di cilindro retto di altezza h, con le generatrici parallele all’asse z, contenuto nel primo ottante e avente per base sul piano xy il quarto di cerchio x
2+ y
2r
2, x 0, y 0.
hr3 3 ; hr4
8 ; h2r4 16
9. Calcolare l’integrale triplo
D
z sin(x
2+ y
2) d x dy dz
dove D `e il segmento sferico ad una base delimitato dalla superficie sferica z =
r
2− x
2− y
2e dal piano z = h (0 < h < r).
π 2
r2− h2− sin(r2− h2)
10. Calcolare l’integrale triplo
D
[( x + y + z)
2− 1] dx dy dz
dove D `e il dominio delimitato dal paraboloide x
2+ y
2− z = 0 e dalla superficie sferica z =
2 − x
2− y
2.
2 15
2√ 2 −19
8
π
11. Calcolare l’integrale triplo
D
(3 x + 4y + 6z)
2d x dy dz
dove D `e il dominio x
216 + y
29 + z
24 1.
13824 5 π
![[]= [] [] [] []= []= [] [] K ⋅ l m ⋅ l ⋅ t ⇒ K m ⋅ l ⋅ t [] []= []= [] [] [] []= K ⋅ l m ⋅ l ⋅ t ⇒ K m ⋅ t K ⋅ l m ⋅ l ⋅ t ⇒ K m ⋅ l ⋅ t r r r () ()= ∇ ∧ F = 0 ⇒∂ ∂ F F F F F ∂ F € () −∂ = 0, −∂ = 0, −∂ = 0 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ y ∂ x r r ()= F = ∇ UF ∂ U ∂ U](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)