Fisica Generale LA

(1)

Fisica Generale LA Prof. Nicola Semprini Cesari

Prova Scritta del 18 Gennaio 2017

Meccanica

Termodinamica

Q1) Una quantità di gas monoatomico esegue il ciclo reversibile indicato in figura. Calcolare il rendimento sapendo che i rami 23 e 41 sono trasformazioni isoterme alle temperature T

_H

 450 K e T

_L

 350 K mentre P

2

/P

3

= 5.

Q2) Nel corso di una trasformazione un gas monoatomico aumenta la propria temperatura ed il proprio volume di un fattore due.

Determinare la variazione di entropia.

Q3) Commentare e mostrare i passaggi che conducono a stabilire l’equivalenza tra le formulazioni di Kelvin-Plank e Clausius del secondo principio della termodinamica.

Q1) Un punto materiale si muove sul piano z  0 lungo una traiettoria identificata dalla equazione

ra

 (spirale di Archimede in coordinate cilindriche). Nella ipotesi di uno scorrimento con velocità angolare costante  , scrivere l’espressione del vettore posizione e velocità. Dato infine

₀

un generico punto della curva, scrivere l’espressione dell’angolo formato dalla direzione tangente con quella radiale.

Q2) Ai capi di una asticella di massa trascurabile e lunghezza l sono posizionate due masse m.

L’asticella ruota, in assenza di attriti, con velocità angolare iniziale di modulo ω

0

attorno ad un asse perpendicolare passante per il suo centro. Un congegno, di massa trascurabile e solidale con l’asticella, avvicina le due masse ad una distanza l/2. Determinare l’espressione del modulo della velocità angolare finale .

Q3) Verificare se il campo di forze ^{F x y z} ^{( , , )} ^ ^  ⁽² ^xy ^ ^{z i}

²

⁾ ^ ⁽² ^yz ^ ^x

²

⁾ ^j ^ ⁽² ^xz ^ ^{y k}

²

⁾  ^{, dove}

 è una costante avente le opportune dimensioni, è conservativo e in caso affermativo calcolarne l’espressione dell’energia potenziale V(x,y,z).

1 2

4 3

V P

Q4)

Un’asta di lunghezza

L  50 cm

_{e massa}

M  0.5 kg

è incernierata ad un estremo ad un muro tramite un perno privo di attrito, mentre l’altro estremo è tenuto orizzontalmente da una corda fissata al muro a distanza L. Una massa

m  2 kg

è posta a distanza L/ 3 dal perno. Calcolare, in condizioni di equilibrio, la tensione della fune.

Q5) Si commenti in dettaglio le proprietà del moto circolare uniforme.

Q6) Si commenti in dettaglio la legge di gravitazione universale.

(2)

SOLUZIONI Meccanica

Q1)

0

0 0

0 0 0

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ 1

| | | | ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( / )

r r

r rı r rı r ı r a ı r a ı a ı

a ı a ı a

rı r r

r r r a a a a a



  

  

     

  

     

  

Q2)

Dato che l’asticella costituisce un sistema isolato possiamo applicare la conservazione del momento della quantità di moto e della sua proiezione assiale

2

2 2 2 2

0 0 0

2

1

1 1 2

2 ( ) 2 ( ) 4

2 2 4 8 1

8

i

i i f f i i f f i

f

I ml

l l

I I I m ml I m ml

I ml

               

Q3)

Il rotore è nullo, quindi il campo è conservativo. Integrando sul circuito a zig-zag si ha



V (x, y,z)  



(xz² yx² zy²).

Q4)

Condizioni di statica:

0

O 0 F M ìï = ïïíï = ïïî

å



( ) ( ) ( )

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ sin 0 0

2 3

A m

P P T R

L L

i Mg j i mg j Li T

q

i T

q

j R

ìï + + + =

ïïïíï ´ - + ´ - + ´ - + + ´ =

ïïïî

dove

ˆ

P

A

=- Mgj

è il peso dell’asta,

ˆ

P

m

=- mgj

è il peso della massa m,

cos ˆ sin

T =- T q i T + q j

è la tensione del filo e

R

è la reazione del perno. Svolgendo i prodotti vettoriali si ottiene:

Bisogna imporre le condizioni della statica alle forze che agiscono sul sistema.

Innanzitutto sul sistema agiscono 4 forze (figura a lato): le 2 forze peso dell’asta e della massa, la tensione della corda e la reazione vincolare del perno (che non so come è diretta ed è stata disegnata a caso). Tutte queste forze sono applicate in punti diversi. Scegliamo un sistema di riferimento (sdr) con origine O sul perno e assi x e y come in figura e valutiamo il momento della forza rispetto al polo O. Con ovvie considerazioni geometriche si otttiene

q

=45 .

(3)

(

^cos ^ˆ ^sin

)

⁰

ˆ ˆ sin ˆ 0

2 3

A m

P P T i T j R

MLg mLg

k k LT k

q q

q

ìï + + - + + =

ïïïí

ï- - + =

ïïïî



( )

ˆ ˆ cos ˆ sin 0

sin 2 3 12.7

Mgj mgj T i T j R

g M m

T N

q q

q

ìï- - + - + + =

ïï ïïí æ ö

ï = ç + ÷ =

ï ç ÷

ï ç è ÷ ø

ïïî

Sostituendo nella prima equazione si ottiene:

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

( )

ˆ cos ˆ sin cos ˆ sin ˆ 8.98ˆ 15.5ˆ

ˆ ˆ

cos sin 8.98 8.98

R Mg mg j T i T j T i Mg mg T j i j N

T T i T j i j N

q q q q

q q

ìï = + - - + = + + - = +

ïïïíï = - + = - +

ïïïî

Termodinamica

Q1)

12

3 2

23 2 2 3 3 23

2 3

34

4 1

41 4 4 1 1 41

1 4

34 41

/

( )

ln ln

( )

ln ln

1

p p

V

p H L

H H

p H L

L L

sulle isobare dQ nc dT VdP dQ nc dT

sulle isoterme dQ nc dT PdV PdV PV nRT P nRT V dQ nRTdV V Q nc T T

V P

Q nRT ma PV PV Q nRT

V P

Q nc T T

V P

Q nRT ma PV PV Q nRT

V P

Q Q



  

     

 

  

 

  

  

1 4 12 23 2

3

( ) ln 5100 350 ln 5

1 1 2 0.165

5100 450 ln 5

( ) ln

2

p H L L

p H L H

nc T T nRT P P Q Q P

nc T T nRT P

  

    

   

Q2)

2 2

1 1

ln ln ( )ln 2 5 ln 2

V V V

Fisica Generale LA