Geometria (Informatica) – 20 Luglio 2005 Soluzioni
1. (a) r(A) = 2
(b) Verifica diretta. L’autovalore `e λ1 = 1.
(c) p(λ) = −λ3+ 3λ2− 2λ = −λ(λ − 1)(λ − 2).
1 1 1
↔ 1,
1 1 0
↔ 0,
1
−1 0
↔ 2 (d) A `e diagonalizzabile poich`e ha 3 autovalori reali e distinti.
M =
1 1 1 1 1 −1
1 0 0
(e) (A + I) `e invertibile poich`e −1 non `e autovalore.
(A + I)−1=
12 0 0 0 1 0 0 0 13
2. (a) Una normale al piano `e n = (1, 0, −1), perci`o possiamo prendere r = {(1, 0, −1)t}
(b)
π0 = {(1, 2, 1)t + (1, 0, 1)s}.
π0 `e parallelo a π poich`e le sue direzioni coincidono con le direzioni di π, inoltre 0 ∈ π0 ma 0 /∈ π.
3. (a) Basta calcolare esplicitamente il prodotto Av ed eguagliarlo a v. Il sistema
ottenuto `e:
kx + y = k kx + z = 0 ky + z = 1 (b) La matrice associata `e
B =
k 1 0 k 0 1 0 k 1
1
La matrice completa `e
B0 =
k 1 0 k k 0 1 0 0 k 1 1
det(B) = −k(k + 1), perci`o quando k 6= 0, −1 il sistema ha sempre una sola soluzione.
Se k = 0 allora r(B) = 2 e r(B0) = 3 quindi non ci sono soluzioni.
Se k = −1 allora r(B) = r(B0) = 2 e il sistema ha ∞1 soluzioni.
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