1
2
RISPOSTE
1. a) Da
⎩⎨
⎧
= +
= +
b 1 y
a 2y
x si ricava l’unica soluzione
⎩⎨
⎧
=
+
= 1 - b y
2 2b - a
x che prova l’invertibilità di f e di
conseguenza la sua bigettività.
b) Da a) l’inversa è f-1:R2→ R2 definita da f-1(a,b)=(a-2b+2,b-1).
c) f° f ((1,1)) = f(3,2) = (7,3)
2. a) Iniettività : f(x)=f(y)⇒(-2x+3,x2)=(-2y+3,y2) ⇒ -2x+3=-2y+3 e x2=y2 ⇒ x=y ⇒ f è iniettiva.
f non è surgettiva: la controimmagine di (0,0) è ∅ perché da (-2x+3,x2)=(0,0) si ricava -2x+3=0 e x2=0 e queste due equazioni non hanno alcuna soluzione comune.
b) f° g :ZxN → ZxN è definita da f° g (a,b) = … (-2a+12b+3,(a-6b)2) , g° f : Z→Z è definita da g° f (x)=… = -2x+3-6x2.
c) g° f (x)=x ⇔ -2x+3-6x2 =x ⇔ 2 x2+x-1=0 e questa equazione ha la soluzione intera x=-1 , quindi l’insieme richiesto non è vuoto.
3. a) (1,0)≠(0,3) e f((1,0))=f((0,3))=3 ⇒ f non è iniettiva ⇒ f non è bigettiva ⇒ f non è Invertibile
b) A∩N2 = {(0,10), (1,7), (2,4),(3,1)} ed ha 4 elementi .
4. f((0,2))=f((2,0))=4 ⇒ f non è iniettiva.
Sia n∈Z (codominio) distinguiamo due casi:
- n = 2k ( = pari) ⇒ f((k,0)) = 2k=n - n = k+1 (=dispari) ⇒ f((k,1))= 2k+1 = n e quindi f è surgettiva.
