A.A. 2013-2014 – PROGRAMMA DI MATEMATICA DI BASE – PROF. ROSATELLI E.
1) Il linguaggio degli insiemi: appartenenza, insieme vuoto, sottoinsiemi, cardinalita', unione, intersezione, proprieta' dell'unione e dell'intersezione, differenza simmetrica, insieme complementare, prodotto cartesiano.
Esempi ed esercizi.
2) Numeri naturali, interi e razionali. La radice quadrata di 2 non è razionale. Numeri reali. Altri esempi di umeri irrazionali. Approssimazione decimale per eccesso e per difetto. Proprieta' delle potenze. potenze intere, razionali, reali. Unita' immaginaria, numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi. Coniugato. Modulo di un numero complesso. Esempi ed esercizi.
3) La retta reale. Ordinamento. Intervalli chiusi e aperti. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale. Il piano cartesiano. Equazione della circonferenza. Distanza tra punti del piano. Rappresentazione sul piano dei numeri complessi. Esempi ed esercizi. Parti di un insieme.Esempi ed esercizi. Percentuali. Unita' di misura. Multipli, sottomultipli delle unita' di misura e prefissi corrispondenti. Ordini di grandezza. Approssimazione. Esempi ed esercizi.
4) Grandezze scalari e vettoriali. Segmenti orientati. Spostamenti. Componenti di un vettore. vettori nel piano e nello spazio. Modulo di un vettore. Esempi ed esercizi. Operazioni con i vettori: somma, moltiplicazione per uno scalare. Versori. Espressione parametrica di una retta per l'origine. Differenza di vettori, interpretazione geometrica della somma e della differenza. Combinazioni lineari di vettori. Media di vettori. Esempi ed esercizi.
5) Misura degli angoli: gradi, radianti. Seno, coseno, tangente. Coefficiente angolare di una retta. Coordinate polari nel piano. Esempi ed esercizi. Prodotto scalare di due vettori. vettori ortogonali. Componenti di un vettore, proiezioni ortogonali. Prodotto vettoriale di due vettori nello spazio. Esempi ed esercizi.
6) Equazione della retta nel piano. Rette parallele. Sistemi di equazioni lineari. Criteri per l'esistenza di (nessuna, una, infinite) soluzioni di sistemi lineari. Piani nello spazio. metodo di sostituzione per la soluzione di sistemi lineari. Esempi ed esercizi. Vettori riga e vettori colonna. Trasformazioni lineari di vettori. Omotetie.
7) Matrici due per due. Prodotto righe per colonne. Matrice identica. Rotazioni. Riflessioni. Simmetrie. Matrici di dimensione qualunque. Matrici simmetriche. Matrice trasposta. Esempi ed esercizi. Operazioni tra matrici:
somma e moltiplicazione per uno scalare. Combinazioni lineari di matrici. Prodotto righe per colonne, tra matrici e tra matrici e vettori. Matrici e trasformazioni lineari. Composizione di trasformazioni lineari e prodotto di matrici.
Il prodotto di matrici non e' commutativo. Trasformazioni lineari invertibili e trasformazioni inverse. Calcolo della matrice inversa. Esempi ed esercizi.
8) Determinante di una matrice due per due. Matrici invertibili e singolari. Determinanti di matrici tre per tre.
Regola di Sarrus. Matrice complementare, regola di Laplace. Determinanti di matrici quadrate qualsiasi. Matrici singolari e trasformazioni. Calcolo dell'inversa di una matrice non singolare. Autovettori e autovalori di trasformazioni lineari. Esempi ed esercizi. Autovalori e autovettori di omotetie e simmetrie. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico. Autovalori e autovettori di matrici simmetriche. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Esempi ed esercizi.
9) Fenomeni, modelli, funzioni. Crescita di una pianta. Pressione nei fluidi incomprimibili. Funzioni composte.
Esempi e esercizi. Il grafico di una funzione. Variabile dipendente e indipendente. Domini e immagini. Funzione lineare. Germinazione. Funzioni a gradino. Traslazioni di funzioni. Potenze pari, dispari e simmetrie. Esempi e esercizi. Funzioni crescenti e decrescenti, massimi e minimi. Aspetti grafici delle equazioni e delle Disequazioni.
Funzioni ed equazioni. Funzione inversa. Esempi ed esercizi. Funzioni di più variabili. Distanza tra due punti.
Domini di funzioni di più variabili. Cartine geografiche. Isobare. Curve di livello. Esempi ed esercizi.
10) Il mondo delle leggi lineari. Rapporti di variazioni. Coefficiente angolare ed inclinazione. Rette parallele.
Gradi Celsius e Fahrenheit. Disequazioni di primo grado. Esempi ed esercizi. Leggi quadratiche. Aspetti geometriche delle leggi quadratiche. Parabola per tre punti assegnate. Equazioni e disequazioni di secondo grado. Intersezioni con gli assi. Esempi ed esercizi.
11) Funzioni di potenza e dimensioni della vita. Dominio di alcune funzioni potenza. Andamento a potenza di linee, superfici e volumi. Esempi ed esercizi. Crescita di popolazioni batteriche e funzioni esponenziali.
Decadimento radioattivo. Carateristiche del grafico delle funzioni esponenziali: monotonia, positivita'. Modello malthusiano. Esempi ed esercizi. Logaritmi. Caratteristiche di una funzione logaritmo: monotonia. Regole di calcolo con i logaritmi, cambiamento di base, basi 2, 10, e. Equazioni esponenziali. Equazioni di tipo malthusiano, cambiamento di base nei logaritmi. Equazioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Grandezze espresse in scala logaritmica, esempi. Grafici in scala logaritmica. Scala doppia logaritmica. Esempi ed esercizi.
12) Funzioni periodiche. Seno, coseno, tangente. Funzioni inverse. Equazioni trigonometriche. Calcolo del periodo. Equazioni trigonometriche. Disequazioni trigonometriche. Forma trigonometrica e esponenziale dei numeri complessi. Esempi ed esercizi. Il problema del comportamento asintotico. Destino finale di una popolazione malthusiana. Funzioni divergenti. Funzioni non monotone, divergenti e non. Convergenza a 0.
Andamento asintotico delle funzioni elementari. Esempi ed esercizi.
13) Calcolare i limiti. Algebra del limiti. Limiti di prodotti di funzione. Limite di funzione composta. Limite del logaritmo. Asintoti di una funzione. Funzioni continue. Limiti di funzioni continue. Esempi ed esercizi. Velocità di divergenza e convergenza. Limite della differenza e del prodotto. Confronto di esponenziali e potenze.
Infinitesimi. Ordini di infinitesimo. Esempi ed esercizi.
14) Successioni e serie. Limiti di successioni. Progressione geometrica. Somma dei primi n numeri primi.
Somma di una progressione geometrica. Le serie. Esempi ed esercizi.Leggi di ricorrenza. Crescita limitata.
Sistema dinamico lineare omogeneo. Sistema dinamico lineare non omogeneo. Popolazioni strutturate. Esempi ed esercizi.
15) Tasso di variazione medio ed istantaneo. Rapporto incrementale. La derivata. Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico . Derivata del valore assoluto. Esempi ed esercizi. Le regole per derivare.
Derivata delle funzioni lineari, quadratiche e delle funzioni potenza. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di somme, prodotti e rapporti. Derivata di funzione composte. Derivata di funzioni non elementari. Limiti con la regola di de L'Hopital. Esempi ed esercizi.
16) Derivate, istruzioni per l'uso. Approssimazioni. Intervalli di crescita e decrescita. Massimi e minimi di una funzione. Studio di funzione. Esempi ed esercizi. Calcolo differenziale in più variabili. Calcolo di derivate parziali.
Apprassimazioni al primo ordine. Calcolo del gradiente. Esempi ed esercizi.
17) Modelli di evoluzione con tempo continuo. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. E.d.o. Lineare del primo ordine omogenea e non omogenea. Analisi qualitativa. Esempi ed esercizi.
18) Dalla derivata alla funzione. Primitiva di una funzione. L'area delimitata da una parabola. L'integrale definito.
Dalla velocità alla posizione. Esempi ed esercizi.Integrare. Integrali elementari. Calcolo dell'area al di sotto di un grafico. Calcolo dell'area tra due grafici. Integrali impropri. Integrazione per parti. Esempi ed esercizi.
19) Differenziare. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Densità media delle carote di ghiaccio. Metodo della sostituzione della variabile. Esempi ed esercizi. Altri integrali. Integrali doppi. Densità media e baricentro.
Calcolo del lavoro di una forza. Differenziali esatti e non. Esempi ed esercizi.
