Esercizi del 12 marzo 2009 non risolti in classe Ricordiamo che per mostrare che una funzione continua f : E

Esercizi del 12 marzo 2009 non risolti in classe

Ricordiamo che per mostrare che una funzione continua f : E ! R non è uniformemente continua su E è suciente trovare un  > 0 e due successioni x _n ; y _n  E tali che

jx n y n j ! 0 ma jf(x n ) f(y n )j  :

Esercizio 7. 1. Vero. Poichè su un insieme nito ogni funzione è continua (ho faticosamente cercato di spiegare il perchè a lezione!) e un insie- me nito è chiuso e limitato, il teorema di Heine-Cantor ci assicura che l'aermazione è vera.

2. Falso. Consideriamo E = N [ fn + 1=n : n 2 Ng, che è privo di punti d'accumulazione, e f(x) = x ² . Prendiamo le successioni x _n = n + 1=n e y _n = n, allora

jx n y n j = 1

n ! 0 ma jf(x n ) f(y n )j = 2 + 1 n ²  2;

quindi f non è uniformemente continua.

3. Falso. Consideriamo f(x) = 1=x. Prendiamo le successioni x n = _2n ¹ e y n = _2n+1 ¹ , allora

jx _n y _n j ! 0 ma jf(x _n ) f(y _n )j = 1; 8n 2 N quindi f non è uniformemente continua.

4. Falso. R è chiuso e f(x) = x ² non è uniformemente continua su R.

5. Falso. Consideriamo E = (0; 1) e f(x) = sin( _x ¹ ). Prendiamo le successioni x _n = _=2+2n ¹ e y _n = _3=2+2n ¹ , allora

jx _n y _n j ! 0 ma jf(x _n ) f(y _n )j = 2; 8n 2 N;

quindi f non è uniformemente continua.

6. ?. Se non si richiede che la funzione sia continua, allora l'aermazione è evidentemente falsa.

7. Vero. Dimostriamo qualcosa in più, modicando opportunamente la di- mostrazione del Teorema di Heine-Cantor.

Proposizione. Sia f una funzione continua su R con asintoti obliqui a

1, allora f è uniformemente continua su R.

Dimostrazione. Supponiamo f continua in [a; +1) con un asintoto a +1 (l'altro caso è analogo) e supponiamo per assurdo che f non sia unifor- memente continua, allora esiste  > 0 tale che per ogni  > 0 possiamo trovare x; y 2 [a; +1) con la proprietà che

jx yj <  e jf(x) f(y)j  :

1

Prendiamo  = 1=n, allora esitono x _n ; y _n 2 [a; +1), tali che jx yj < 1=n e jf(x) f(y)j  :

(Nella dimostrazione del teorema di Heine-Cantor, potevamo estrarre una sottosuccessione convergente da x n e y n poichè l'insieme di denizione era compatto. Ora l'insieme di denizione non è più compatto, però dobbiamo cercare ugualmente di poter estrarre una sottosuccessione convergente per poter continuare con la stessa dimostrazione!)

Mostriamo che la successione x n è limitata: supponiamo per assurdo che non sia limitata, allora esiste una sottosuccessione x n

che tende a +1.

Poichè f ha un asintoto (chiamiamolo y = mx + q), allora

k!+1 lim (f(x _n

) mx _n

b) = 0 e lim

k!+1 (f(y _n

) my _n

b) = 0:

Così avremmo

jf(x n

) f(y n

)j  jf(x n

) mx n

qj + jf(y n

) my n

bj + jmjjx _n

y _n

j ! 0

che è assurdo, poichè per ipotesi jf(x n ) f(y n )j  .

Quindi la successione x _n è limitata e possiamo così estrarre una sotto- succesione x _n

convergente a un certo punto x ₀ 2 [a; +1). Dato che jx _n

y _n

j < 1=n _k ! 0, anche la sottosuccessione y _n

converge a x ₀ . Ma allora per la continuità di f si ha

k!+1 lim jf(x n

) f(y n

)j = jf(x 0 ) f(x 0 )j = 0;

ma questo è ancora assurdo poichè per ipotesi jf(x n

) f(y n

)j  .

Poichè un asintoto orizzontale è un particolare asintoto obliquo, l'aerma- zione è dunque vera.

(Un'ultima osservazione: quanto dimostrato sopra è un immediato corol- lario del fatto usato per risolvere l'esercizio 15 del foglio 5 del 3 aprile 2009, tutto ciò genera una leggera incongruenza temporale!)

8. Falso. La funzione f(x) = x ² è continua e derivabile su R, ma non è uniformemente continua su R.

9. Falso. La funzione f(x) = sin(x ² ) è continua, derivabile e limitata su R, ma non è uniformemente continua. Infatti, se per assurdo lo fosse, dal punto 13, si avrebbe che sin(x) dovrebbe essere una funzione costante e questo sappiamo che non è vero. (Potete risolvere questo punto in questo modo soltanto se prima avete dimostrato il punto 13, altrimenti dovete procedere in un'altra maniera! un'altra maniera abbastanza semplice si può ottenere sfruttando quanto scritto all'inizio del foglio)

10. Vero. Se la derivata di f è limitata allora f è Lipschitziana e dunque uniformemente continua.

11. Falso. La funzione f(x) = x è uniformemente continua su R, ma non è limitata.

2

12. Falso. Falso. La funzione f(x) = p

x ² è uniformemente continua e derivabile su R, ma la sua derivata non è limitata.

13. Vero. Supponiamo per assurdo che f non sia costante, allora esistono x; y e  > 0 tali che jf(x) f(y)j > . Prendiamo le successioni

x n = p

x + nT e y n = p

y + nT : Poichè x ² y ² = (x y)(x + y), allora x y = ( p

x py)(px + py), dunque

jx _n y _n j = j p

x + nT p

y + nT j  p jx yj x + nT + p

y + nT ! 0;

però

jf(x ² _n ) f(y _n ² )j = jf(x + nT ) f(y + nT )j = jf(x) f(y)j > ;

ma questo è assurdo poichè f(x ² ) è uniformemente continua. Quindi f è costante.

14. Vero. La funzione f è continua su R e inoltre si ha lim x!1 f(x) = lim x!1 x sin(1=x) = 1, dunque, per il punto 7, f è uniformemente continua su R.

15. Vero. La funzione f è continua su R e inoltre si ha f ⁰ (x) =

 x sin(1=x) cos(1=x) x 6= 0;

0 x = 0:

La derivata è limitata su R e per il punto 10, f è uniformemente continua su R.

16. Falso. Per valori di x molto grandi f(x)  x ² e abbiamo visto che una fun- zione uniformemente continua può crescere al più linearmente (sta sempre sotto una retta).

3