COMPITO di ANALISI MATEMATICA 2/09/2020
I M 1) Trovare le radici quadrate della soluzione reale dell'equazione B B B œ "$ # . Da B B B œ " Ê B B B " œ ! Ê B B " B " œ ! Ê$ # $ # #
Ê B " B " œ ! # . Quindi B œ " è l'unica soluzione reale.
Dato che " œ cos1 3sen si ha1 À
" œ cos1 1 sen1 1
# 5 ## 3 # 5 ## ß ! Ÿ 5 Ÿ "
. Per 5 œ ! otteniamo D œ! cos1 sen1 à
# 3 # œ 3
per 5 œ " otteniamo D œ" cos$ sen$ Þ
#1 3 #1 œ 3
I M 2) Si verifichi che la funzione può, mediante un
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß ! 5 Bß C œ !ß !
$
2 2
opportuno valore di , essere resa continua 5 a Bß C − ‘2, determinando se essa risulti anche differenziabile in !ß ! .
Calcoliamo lim passando a coordinate polari ed avremo:
BßC Ä !ß!
B C$
B C2 2
lim lim lim
BßC Ä !ß!
$ % $
Ä! # Ä!
# $
B C
B C2 2 Ê œ œ !
4 4 cos *sen* 4 cos sen .
4 4 * *
La convergenza è uniforme in quanto 4#cos$*sen*Ÿ4#. Quindi la funzione è continua in !ß ! se 5 œ !.
Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:
`0 0 ! 2ß ! 0 !ß ! "
`B !ß ! œ lim 2 œ lim † 2 œ ! à
2Ä! 2Ä!
! 2#
`0 0 !ß ! 2 0 !ß ! "
`C !ß ! œ lim 2 œ lim † 2 œ ! Þ
2Ä! 2Ä!
! 2# Quindi f0 !ß ! œ !ß ! .
Per la differenziabilità in !ß ! dobbiamo infine verificare se:
BßC Ä !ß!lim # #
0 Bß C 0 !ß ! !ß ! † B !ß C ! B ! C !
œ !
f0 ovvero se:
BßC Ä !ß!lim
$
# #
B C "
B C2 2 † B C œ !. Passando a coordinate polari si ha:
lim lim
4Ä! 4Ä!
% $
#
cos$ sen cos sen
4 * *
4 † 4" 4 * *œ !
œ Þ
La convergenza è uniforme in quanto 4cos$*sen*Ÿ 4 e quindi la funzione è differenzia- bile in !ß ! Þ
I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B / CD C /BD œ !, verificare che in P! œ !ß !ß " è possibile definire una funzione implicita avente come variabile dipendente da e , eC B D quindi calcolare le due derivate parziali del primo ordine di C Bß D in !ß " .
La funzione 0 Bß Cß D è funzione differenziabile a Bß Cß D − ‘$ con 0 !ß !ß " œ ! .
Risulta poi:f0 Bß CÞD œ /CD C /BDà B /CD /BDà B /CD C /BD da cui:
f0!ß !ß "œ /à /à ! . Dato che 0 œCw /Á ! si può definire una funzione implicita
Bß D Ä C le cui derivate del primo ordine sono:
`C 0 `C 0
` B œ 0 œ œ " ` D œ 0 œ œ ! Þ
w w
B D
w w
C C
/ !
/ ; /
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B C # # ed il versore @œcosαßsenα, verificare che è impossibile che risulti W#@ß@0 B ß C ! ! œ !.
La funzione 0 Bß C œ B C # # risulta palesemente differenziabile due volte a Bß C − ‘#. Quindi H 0@ ! ! œ f0 ! ! † @ # ! ! œ @ † 0 ! ! † @
B ß C B ß C e W@ß@0 B ß C ‡ B ß C X . Da f0Bß C œ #Bß #C segue Bß C œ# ! e quindi:
! #
‡
W α α α α α α
α
# # #
@ß@0 B ß C! ! # ! # œ # Á ! a
! #
œcos sen † † cos œ # Þ
sen cos sen
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
0 Bß Cß D œ B C D B C B C D œ "
B C D œ #
# # #
La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, i vincoli sono funzioni lineari ma non definiscono una regione ammissibile che è un insieme compatto in quanto è una linea retta, quindi non possiamo applicare il Teorema di Weierstrass.
Da B C D œ " si ha D œ " B C e quindi:
B C D œ # C œ # B D œ # B " B C
D œ " B C
C œ $ #B C Ê D œ C B œ
"
$ #
#
. Per risolvere il problema, sostituendo avremo:
0 Bß Cß D œ B C D B C œ 0 $ß Cß C " œ * C C " $ C
# # % # #
# # # #
#
da cui 0 C œ #C " # . Da 0 C œ %Cw !Ê C ! si vede che C œ ! è un punto di minimo per 0 C e quindi $ß !ß " è un punto di minimo per 0 Bß Cß D s.v.: .
# #
B C D œ "
B C D œ #
II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ B #5 BC C # $ determinare, al variare del parametro ,5 l'esistenza e la natura dei suoi punti stazionari.
Applicando le condizioni del primo ordine abbiamo:
f0 Bß C œ Ê 0 œ #B #5C œ ! Ê Ê
0 œ $C #5B œ !
B œ 5C B œ 5C
$C #5 C œ ! C $C #5 œ !
Bw
w #
C # # # da
cui le soluzioni B œ ! e Essendo # #5 si ha:
C œ ! #5 'C
B œ 5 C œ 5
#
#$
$
$
# Þ ‡Bß C œ
- ‡ !ß ! œ # #5à per 5 risulta ‡ ! e !ß ! è un punto di sella;
#5 ! Á ! #
per 5 œ ! si ha !ß ! œ # ! da cui œ !; essendo œ # ! sicuramente
! !
‡ ‡# ‡"
!ß ! non è un punto di massimo. Ma per BÁ !ß C œ ! si ha 0 Bß ! œ B ! # mentre per
B œ !ß C Á ! risulta 00ß C œ C $ e quindi 00ß C œ C ! $ per C ! mentre 00ß C œ C ! $ per C ! Þ
In ogni intorno del punto !ß ! ci sono punti in cui la funzione è positiva e punti in cui la funzione è negativa. Essendo 0 !ß ! œ ! , anche per 5 œ ! si ha che !ß ! è un punto di sella.
- ‡# #
$5 $5 # #5 Ê
#5 %5
œ # !ß œ %5 ! 5 Á ! œ )5 %5 œ %5 ! 5 Á !
$ #
# " " #
# # # #
ß œ Þ
‡ ‡
‡
if if
Quindi # # è un punto di minimo Il caso è già stato studiato.
$5$ß$5# a 5 Á !Þ 5 œ !
II M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali:
B > œ #B C / C > œ B #C >
w #>
w .
B #B C œ / /
B C #C œ > Ê H # " † B œ Ê
" H # C >
w #> #>
w
Ê H # " B œ Ê
" H #
/ "
> H #
#>
Ê H %H $ B œ H # # /#> > œ #/ #/ > œ > Þ#> #>
Da B %B $B œ !ww w otteniamo -# % $ œ- - "- $œ ! e quindi le soluzioni -" œ "ß-# œ $ , da cui la soluzione generale dell'equazione omogenea per B > che sarà:
B > œ - / - / " > # $ >. Per trovare una soluzione della non omogenea usiamo B œ +> ,! da cui B œ +!w e B œ !!ww . Sostituendo in B %B $B œ !ww w si ha ! %+ $+> $, œ > e quindi: $+ œ " . La soluzione generale per sarà quindi:
$, %+ œ ! Ê + œ B >
, œ
"
%$
*
B > œ - / - / " > # $ > "> % B #B C œ / Ê C œ B #B /
$ *. Da w #> w #> e quindi:
C œ " # "> % / Ê
$ $ *
- / $- /" > # $ > - / - /" > # $ > #>
C œ / #> &
$ *
- /" > - /# $ > #> .
II M 4) Data œ Bß C −‘ : B C Ÿ % ßcalcolare C d d .B C B C
2 " Ÿ Cà # # 2 2
Vista la regione di integrazione:
operando la sostituzione in coordinate polari, da sen , si ha:
C œ " Ê œ " Ê œ sen"
4 * 4
*
C
B C2 2 d dB C œ sen2 d d œ sen d d œ
1 1
1 1
* *
% %
$ $
% %
" "
sen sen
# 4 * #
4 4 4 * * 4 *
œ œ # " œ # " œ
1 1 1
1 1 1
% * % %
$ $ $
% % %
"
4 * * * * * *
*
sen
# sen d sen d sen d
sen
œ # œ # $ # œ # # Þ
% % #
cos * * 1 1 1
1 1
%
$
%
