Compito di Fisica Matematica, 9/9/2011

Compito di Fisica Matematica, 9/9/2011

Prof. F. Bagarello

Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:

(1) Calcolare l’integrale∫2π 0

dθ 2+cos(θ).

(2) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = <sub>(z2−1)(z</sub><sup>eiαz</sup><sub>2+1)</sub>, α∈ R. Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?

(3) Calcolare il limite debole della successione q_n(x) = nq(nx), in cui q(x) =¹₂ cos²(x)χ[−^π2,^π₂](x).

(4) Verificare che i vettori e1= (1, 1, 0), e2= (0, 1,√

2), e3= (0, 1, 1/√

3) sono completi in nello spazio di Hilbert C³.

(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = ^sin(x)_x2+9.

(6) Studiare la regione di convergenza della serie∑_∞

n=−∞

(z−πi)ⁿ

10|n| e calcolarne la somma.

(7) Risolvere l’equazione differenziale 2y^′′+ y^′ − 6y = 3 con le condizioni iniziali y(0) = 0, y^′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.

(TdP1) Ottenere, se possibile, il valore della costante N perch`e

f (x) =

{ N x²(1 + cos(x)),−^π₄ ≤ x ≤ ^π₄,

0, altrove,

sia una densit`a di probabilit`a. Determinare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.

(TdP2) In una lotteria con 1000 biglietti 500 sono vincenti e 500 no. Acquistando 2 biglietti, qual’`e la probabilit`a che entrambi siano vincenti? E quale che uno sia vincente ed uno perdente?

1