Magnetostatica 1

Magnetostatica 1

30 ottobre 2012

Magneti

Campo induzione magnetica

Azione della corrente elettrica su un magnete Azione di un magnete sulla corrente elettrica

Forza su un filo percorso da corrente (seconda formula di Laplace)

Forza su una carica in moto (forza di Lorentz)

Magneti

• Ogni magnete ha due regioni (poli) in cui la forza che esercita è più intensa

• Nell’interazione tra due magneti, poli omonimi si respingono e poli eteronimi si attraggono

• L’azione delle forze magnetiche si pensa sia mediata,

similmente al caso elettrico, da un campo, il campo induzione magnetica, indicato con la lettera B e di natura vettoriale

• Le linee di campo escono dal polo nord e entrano nel polo sud

• L’esistenza di un campo induzione magnetica viene rivelata sperimentalmente mediante l’azione su di un altro magnete

“esploratore”, in genere di forma molto allungata (ago magnetico) con i poli disposti alle estremità

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Quesito

• Dimostrare che per stabilire la legge “poli omonimi si respingono e poli eteronimi si attraggono” occorrono almeno tre magneti

• Con due soli magneti anche la regola opposta sarebbe possibile

• Naturalmente il “terzo magnete” puo`

essere costituito per noi dalla Terra

Campo induzione magnetica

• L’intensità del campo varia con la distanza dal magnete

• Un’indagine quantitativa ha stabilito che la forza tra poli di aghi molto

allungati, varia come l’inverso del quadrato della distanza

• La direzione orientata del campo è quella secondo cui si dispone l’ago magnetico esploratore

• Il verso del campo è da sud a nord dell’ago esploratore

N

S

4

B

La Terra come magnete

• La Terra è un magnete

naturale con i poli magnetici vicini ai poli geografici

• Il polo di un magnete che punta verso il nord terrestre prende il nome di polo nord

• Similmente il polo che punta verso il sud terrestre prende il nome di polo sud

• Quindi il polo nord magnetico terrestre è in realtà un polo sud magnetico e viceversa il polo sud magnetico terrestre è in realtà un polo nord magnetico

Magnetostatica

• Parrebbe che si possa introdurre il concetto di carica magnetica e i poli sarebbero la sede di queste cariche

• I poli magnetici, come cariche magnetiche, sarebbero del tutto analoghi alle cariche

elettriche, grazie anche alla dipendenza della forza tra poli magnetici dall’inverso del quadrato della distanza

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Magnetostatica

• Vista la legge di forza, in magnetostatica varrebbero allora le stesse leggi che in elettrostatica

• Differenza tra ‘cariche’ magnetiche e cariche elettriche: sembra che le ‘cariche’ magnetiche non si presentino mai singolarmente, ma,

apparentemente, sempre in coppie di tipo opposto

0 )

(

4 )

( ^int





 E C

Q k E  _{e e}

0 )

(

4 )

(





 B C

Q k

B 

Poli e cariche magnetiche

• Se si spezza un magnete, ai due lati della rottura si crea una coppia di poli (opposti), in modo che

ciascuno dei due pezzi e` un nuovo magnete completo

• Non è mai stata osservata una carica magnetica isolata (monopolo). Le equazioni della fisica dei magneti sono quindi

• Per studiare un campo B si e` quindi costretti ad usare un magnete esploratore, su cui sono

contemporaneamente presenti entrambi i poli

0 )

(

0 4

)

( ^int







 B C

Q k B  _{e m}

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Momento agente su un ago in un campo B esterno

• Un ago magnetico in un campo B esterno è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato

• La situazione è analoga a quella di un dipolo elettrico in un campo E

• Possiamo definire un nuovo ente vettoriale: il momento magnetico m dell’ago

– direzione e verso sono individuati dal vettore che va dal polo S al polo N dell’ago

– il modulo m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la coppia risultante ha momento meccanico

• L’energia dell’ago in un campo esterno è, analogamente al caso elettrico,

B m  

  



  



E 

Campo induzione magnetica di un ago

• In certi sistemi si possono comunque considerare

formalmente i poli magnetici come se fossero cariche magnetiche

• In particolare questo è vero proprio per il campo

generato da un ago magnetico, che costituisce l’analogo del dipolo elettrico e viene per questo detto dipolo

magnetico

• I due campi hanno allora la medesima forma: p e` il momento di dipolo elettrico e m il momento (di dipolo) magnetico

 10



E  k_e p r₀³

2cos sin

0















 



B  k _m m r₀³

2cos sin

0

















Azione della corrente elettrica su un magnete

• Le forze magnetiche non agiscono solo fra magneti

• 1800: Volta inventa la pila

• 1819: Oersted osserva che una corrente elettrica agisce

cambiando la direzione di un ago magnetico

• Ciò viene interpretato dicendo che un circuito percorso da corrente genera un campo induzione magnetica nello spazio circostante

• È l’inizio del processo che porterà all’unificazione di elettricità e magnetismo,

Forze di tipo nuovo

• La forza tra magnete e corrente è il primo esempio di forza non newtoniana

• 1876: l’esperienza di Rowland sottolinea questa peculiarità, mostrando la

dipendenza della forza dalla velocità

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Azione di un magnete sulla corrente elettrica

• Viceversa anche un magnete agisce su una corrente

• Sperimentalmente si trova che la forza con cui un campo induzione magnetica uniforme agisce su una corrente in un filo rettilineo

– È proporzionale all’intensità della corrente i – È proporzionale alla lunghezza l del filo

immerso nel campo

– È proporzionale al seno dell’angolo tra la direzione del campo e della corrente

– È perpendicolare sia al campo che alla direzione della corrente

• Chiamiamo B la costante di proporzionalità

 sin il

F 

 sin Bil

F 

i

l

 F

B

Campo induzione magnetica

• Quindi la forza si può scrivere così (regola della mano destra)

• Il vettore B definisce completamente il campo induzione magnetica o, meno precisamente, campo magnetico

• Grazie a questa forza, si può usare anche un circuito

“esploratore” percorso da corrente per rivelare un campo induzione magnetica

B l

i

F   





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Seconda formula di Laplace

• Possiamo pensare il filo come un insieme di tratti infinitesimi

• Su ciascuno agirà una forza infinitesima

• Possiamo ora generalizzare la legge di forza ad un filo di forma arbitraria e ad un campo

induzione magnetica qualsiasi

B l

id F

d   





 ^

 i d l B

F   

Dimensioni e unità di misura di B

• L’equazione

precedente definisce implicitamente B

• Le dimensioni di B sono

• L’unità di misura è il tesla (T)

• Si usa anche il gauss (G), ereditato dal

sistema cgs em

       

QL T F L

i

B  F 

B l

i

F   





Cm T  Ns

T G 10

1 

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Principio di sovrapposizione

• Consideriamo diversi magneti o circuiti percorsi da corrente, ciascuno dei quali genera un

campo induzione magnetica

• Il campo induzione magnetica risultante è dato dalla somma vettoriale dei singoli campi

• Questa proprietà è una verità sperimentale





j

j

tot

B

B

1





Azione di B su una carica in moto

• La forza agente su di un filo si può pensare come risultante delle forze elementari agenti su ognuna delle cariche in moto che

costituiscono la corrente

• La corrente i può scriversi

• Siccome in un filo rettilineo l e vd hanno la stessa direzione possiamo riscrivere la forza così

• E dato che nAl rappresenta il numero di portatori nel volume di sezione A e lunghezza l

• Siamo indotti a concludere che su una singola carica agisce la forza (di Lorentz)

• Mentre B agisce su una corrente elettrica o su una singola carica in moto, non c’è interazione tra un magnete e una carica ferma

qnAv

i 

 ^nAl  ^{q v B}

F  







B v

q

f   

















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Forza di Lorentz

• La forza magnetica è sempre

perpendicolare alla velocità della particella

• Quindi non compie lavoro e non fa variare l’energia cinetica

• Fa variare la direzione della quantita` di

moto, ovvero della velocità, ma non il loro

modulo

Moto di una carica in un campo B uniforme

• 1) La velocità iniziale sia ortogonale al campo

• La forza di Lorentz fornisce la forza centripeta

• r è il raggio di curvatura locale

• Dato che il modulo della velocità è costante, se B e` uniforme, allora anche r è costante

• La traiettoria è quindi un cerchio nel piano perpendicolare a B

r evB mv 

eB r  mv

• 2) Se v ha una componente v_p parallela al campo, questa non introduce forze aggiuntive e si ha solo un moto rettilineo uniforme con velocità v_p lungo la direzione del campo

• La traiettoria risultante è un’elica ₂₀

Quesito

• Una particella di massa m, e` inizialmente vincolata da una corda su una traiettoria circolare di centro C e raggio R₁, che percorre con moto uniforme

• Ad un tempo t la corda urta un piolo inserito a distanza R2 dal centro

R₁ R₂

v₁

• Considerare come variano la forza agente sulla particella e la velocita` e la traiettoria della particella per tempi vicini a t e

determinare quali di queste affermazioni e`

vera:

• La forza e` perpendicolare alla velocita`

• La velocita` e` costante

• La velocita` angolare e` costante

• La traiettoria e` circolare

Differenza tra linee del campo elettrico e induzione magnetica

• La forza elettrica ha la direzione delle linee di campo

• La forza magnetica ha direzione perpendicolare alle linee di campo

• Le linee di campo elettrico (statico) originano da cariche positive e terminano su cariche negative

• Le linee di campo induzione magnetica non originano da punti né terminano su punti dello spazio, perché non

esistono cariche magnetiche isolate, esse sono invece dovute alle correnti

• Le linee di campo induzione magnetica sono perciò linee chiuse e il flusso attraverso una superficie chiusa e` nullo (lo dimostreremo piu` avanti)

• Legge di Gauss per il campo B, ovvero assenza di cariche magnetiche. E’ la terza equazione dell’e.m.

0 )

( 

 B 

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Flusso del campo B

 

_



S

A d B S

B  

|

   

• Definizione

• Dimensioni fisiche

• Unità di misura è il weber (Wb)

Wb Tm

m B u

u ( 

)  ( )



