Fisica 1 Gravitazione

Fisica 1

Gravitazione

Programma della lezione

• Richiami matematici sulle coniche

• Leggi di Keplero

• Legge di gravitazione di Newton

• Soluzione del problema dei due corpi

– Scelta del sistema di riferimento – Momento della quantita` di moto – Energia

• Dimostrazione delle leggi di Keplero

• Considerazioni sull’energia

• In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come origine, l’equazione di una conica è

• ove r è la distanza tra un punto della conica e il fuoco e  è l’angolo compreso tra l’asse della conica e il vettore r

• e è detta eccentricità della conica

• Si può mostrare che la formula scritta rappresenta sempre una conica, il cui tipo dipende dal valore dell’eccentricità: e<1 ellisse, e=1

parabola, e>1 iperbole



1

r  p 1 ecos   

Richiami di matematica:

le coniche

r 

Richiami di matematica:

l’ellisse

• L’ellisse è caratterizzata dal fatto che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante

• Detto E il centro dell’ellisse, EB=a è il semiasse maggiore ed ED=b il semiasse minore

• La distanza dei fuochi dal centro è EF₂=EF₁=ea

• Il semiasse minore si può esprimere in funzione del semiasse maggiore e dell’eccentricità:



PF₁

 PF

 const.

P

F₁ F₂

D

C

B

A E



b

 a

 a

e

 a

  1  e

L’area dell’ellisse è

Quanto vale la costante?

Dimostrare la relazione tra b e a, e



A   ab

Gravitazione universale

• Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa

• Supponiamo inizialmente che le masse abbiano

dimensione trascurabile rispetto alla distanza reciproca (caso ideale di masse “puntiformi”)

• È descritta dalla legge di Newton

• Ove F₂₁ è la forza agente sulla massa 2, dovuta alla massa 1, m1 e m2 sono le masse dei corpi, r la loro distanza, r12 il versore orientato da 1 a 2

• La combinazione -r₁₂ il indica che la forza è attrattiva





F 

 G m

m

r

r 

Gravitazione universale

• G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS)

• E di valore



  G ^   ^{F L}

M

 L

T

M



G  6.76 10

m

kg  s

Energia potenziale gravitazionale

• Dalla legge di forza

• possiamo calcolare l’energia potenziale:





V r

 

 

 





 Fdr 











 r

  k r





F    k r

 r

r



dl



F

Leggi di Keplero

• Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di

Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare

• Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero

• Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere l’orbita del pianeta

• Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo  (detto anomalia o azimut)

• Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto

afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio

• Entrambi son detti apsidi

r 

A B

Leggi di Keplero

• La prima legge si può esprimere matematicamente

• Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è

l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse)

• Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae,



1

r  p 1 ecos   



p  1

a 1    e

Leggi di Keplero

• Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla:

A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt

• Ovvero: la velocità areale è costante

• Storicamente fu scoperta per prima

A B



dA

dt  k

• Possiamo esprimere la costante k

mediante l’area e il periodo



k  A

T   ^ab

T

Leggi di Keplero

• Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita

• La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti

• Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti

• La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)



T

 ka

Il problema dei due corpi

• Consideriamo un sistema isolato costituito da due masse puntiformi interagenti con forza newtoniana

• Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi





F ₂₁  G m₁m₂ r²

r 





F



 G



r₁

r₂

• Siano r₁ e r₂ i vettori posizione (in S) delle due masse

• La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le due masse:

r = r₂ - r₁ r

Il problema dei due corpi

• Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa:





R   m

r 

 m

r 

m

 m

r₁

r₂ r

R





r 

 

R  m

m

 m

r 





r 

 

R  m

m

 m

r 

• Le trasformazioni inverse

permettono di esprimere r₁ e r₂ in funzione di R e r

Il problema dei due corpi

• Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme

• Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente S’: uno con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme)

• D’ora in poi, anche se con abuso di notazione,

continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)





d 

R

dt  const.

Il problema dei due corpi

• Risolvere il problema significa trovare la dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da

• Un fatto importante è che nel sistema S’, le velocità v1

e v2 sono parallele

• Ciò significa che i vettori v₁, v₂ e r sono complanari





r ₁   m₂ m₁  m₂

r 





r ₂  m₁ m₁  m₂

r 





0  d

R

dt  m₁ m₁  m₂

v ₁  m₂ m₁  m₂

v ₂





v



 

v



Forze centrali

• La forza gravitazionale rientra in un tipo più generale di forze, dette centrali

• Queste forze hanno l’importante proprietà di essere dirette lungo la congiungente dei

corpi in interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r





F



 G

r

  f r   ^

Il momento delle forze

• Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale:

• L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento della quantità di moto sia costante





M  



 

F ₁₂

 

 

F ₂₁

 

 

F ₁₂

 

 

F ₁₂



  

 

 ^

^

 

 

^{  0}





d

L

dt  

M  0





L  const.



Il momento della qdm

• Abbiamo mostrato che v₁, v₂ e r sono complanari

• Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono paralleli

• Calcoliamo ora il mqm totale

• Il fatto che l₁, l₂ (e quindi L) siano paralleli, assieme al fatto che L si conservi, significa che il moto dei due corpi avviene su di un piano (perpendicolare a L e contenente v₁, v₂, r)

• Il problema è quindi ridotto a due dimensioni.

Scegliamo il sistema S’ su questo piano: un sistema di riferimento polare di coordinate r e 





L   

l

 

l

  r

 m

v 

  r

 m

v 

Il momento della qdm



d 

dt  d 

dt  d  dt

• Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O’ (e anche cambiare lunghezza )

• Ciò significa che la velocità angolare delle due masse è uguale

O’

d₂

d₁

Il momento della qdm

• Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e detta v_ la componente azimutale della velocità, il modulo L è









2 2 2 1

1 1

2 2

2 2 1

1 1

1

sin sin

v m r v

m r

v m r v

m r L











r v

v_

 v_r



Il momento della qdm

• Ovvero

• Esprimendo r₁ e r₂ in funzione di r, (R=0), otteniamo



L  r

m

r

d 

dt  r

m

r

d 

dt  m 

r

 m

r

 ^d _dt ^



L  m

m

m

 m

r



  

 

2

 m

m

m

 m

r



  

 





 





 

d  dt 

 m

m

m

 m

r

d 

dt   r

d 

dt

Il momento della qdm

• Ove  è una costante con le dimensioni di una massa, detta massa ridotta

• Il risultato ottenuto

• si può interpretare dicendo che il sistema dei due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa  a distanza r da un centro fisso di forza

• Risultato utile per esprimere la velocità angolare in funzione della distanza r (e delle costanti  , L)



L   r

d  dt



d 

dt  L

 r

2

legge di Keplero

• Siamo ora in grado di dimostrare questa legge nell’ambito della teoria di Newton

P₁

S P₂

• Esprimiamo l’area del triangolo infinitesimo SP

P

in coordinate polari



dA  1

2 rrd   1

2 r

d 

2

legge di Keplero

• Dividendo per il tempo otteniamo la velocità areale

• Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo

• Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che la FG è di tipo centrale: il risultato è

quindi valido per qualunque forza centrale



dA

dt  1

2 r

d  dt



dA

dt  L

2  ^{ const.}

Energia

• Finora abbiamo usato la legge di conservazione della qdm

• Usiamo ora una seconda legge di conservazione, quella dell’energia

• Ove T è l’energia cinetica delle due masse e V (già calcolata) è l’energia potenziale

gravitazionale dovuta all’attrazione mutua 

E  T  V  const.

Energia cinetica

• Calcoliamo l’energia cinetica





T  1

2 m

v 

 1

2 m

v 



 1

2 m

d r

dt



  

 

2

 1

2 m

d r

dt



  

 

2



 1

2 m

m

m

 m

d r dt



  

 

2

 1

2 m

m

m

 m

d r dt



  

 

2



 1 2

m

m

m

 m

d r dt



  

 

2

 1

2  ^{d r} dt



  

 

2

Energia cinetica

• Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per quanto riguarda T, il sistema dei due corpi equivale ad un corpo solo di massa ridotta 

• Esprimendo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale:





T  1

2  ^{d r} dt



  

 

2



T  1

2  ^dr dt



  

 

2

 r

d  dt



  

 



  

 

r v

v_ v_r



Energia

• Tornando all’energia

• Esprimendo la velocità angolare in funzione di L e r e inserendo l’espressione di V,

otteniamo infine



E  1

2  ^dr dt



  

 

2

 r

d  dt



  

 



  

  V r  



E  1

2  ^dr dt



  

 

2

 L

2  r

 k

r

Integrazione dell’equazione

• L’equazione (differenziale) precedente è una relazione tra la coordinata r

(incognita), la sua derivata (incognita) e due costanti del moto E e L (supposte note)

• Possiamo esplicitare rispetto alla derivata



dr

dt  2E

 ^

2k

 1

r  L



1

r

Integrazione dell’equazione

• Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza r (e quindi  ) in funzione del tempo

• È più interessante però determinare r in funzione dell’angolo  , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita

• A tal fine riscriviamo la velocità radiale



dr

dt  dr d 

d 

dt  dr d 

 r

L

Integrazione dell’equazione

• Otteniamo infine

• Quest’equazione si può risolvere per quadrature:



dr

d  ^{ r}

2  E

L

r

 2k 

L

r 1



d 

 ^{ dr}

r 2  E

L

r

 2k 

L

r 1



Integrazione dell’equazione

• L’integrando si può riportare ad una

forma standard con la sostituzione u=1/r

• L’integrale è della forma



d 

 ^{   }

^{ } _{2  E} ^du

L

 2k 

L

u  u





du

a  bu  cu

 ^{ 1} _c ^{arccos  b  2cu}

b

 4ac



  

 

Integrazione dell’equazione

• E quindi

• E tornando alla variabile r:



  

 arccos

L

u

k  ^1 1  2EL

 k





 

 





 

 



1

r   k

L

1  1 2EL

 k

cos    





 





 



1

legge di Keplero

• L’espressione precedente è della forma

• Ove l’eccentricità è

• E si è scelto  ’=0 in corrispondenza del perielio



1

r  p 1 ecos   



e  1 2EL

 k

CDD

1

legge di Keplero

• Nel caso in cui il sole sia identificato col corpo 1 e un pianeta col corpo 2,

abbiamo





r 

  m

m

 m

r   0





r 

 m

m

 m

r    r

Il sole è praticamente fermo

Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono identificare



  m

Energia

• Torniamo all’espressione dell’energia

• Il primo termine del membro di destra è l’energia

cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale

• Formalmente possiamo considerare invece il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, di una particella fittizia di cui il primo termine rappresenta tutta l’energia cinetica

• Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a una



E  1

2  v

 L

2  r

 k

r

Energia

• Nella figura abbiamo tracciato le due

energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua

• L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata)

• La differenza tra E e V_tot è l’energia

cinetica (freccia)



E  1

2  v

 L

2  r

 k r

r

Energia

• Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori

arbitrariamente grandi:

l’orbita è aperta r

E>0



e  1 2EL

 k

 1 2 E L

 k

1

L’eccentricità è >1, come dev’essere per un’iperbole T

Energia

• Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa)

E<0 r



e  1 2EL

 k

 1 2 E L

 k

1

L’eccentricità è <1, come dev’essere per un’ellisse T

3

legge di Keplero

• Come abbiamo visto, la 2

legge di Keplero stabilisce che

• Integrando questa relazione su di un periodo di rivoluzione, abbiamo

• Ricordando la relazione tra b, a ed e:



T L

2  ^{ A }  ab



dA

dt  L

2  ^{ const.}



T   a

1  e

2 

L

3

legge di Keplero

• Dalla 1

legge di Keplero, applicata al perigeo, avevamo trovato

• Ove ora

• Che ci permette di esprimere e in funzione di  , L, k, a:



1  e

 L

 ka



p   k L



p  1

a 1    e

3

legge di Keplero

• Ed infine

• La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3^a legge di Keplero

• La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta

• La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti



T

 2  

k a^{3 2}

 2 

G m



 m



3 2



2



G m





2



Gm_{sole CDD}

Masse estese

• Newton fece qualcosa di più: dimostrò che la legge di forza ha la stessa

espressione anche per masse estese con simmetria sferica

• Lo dimostreremo in elettrostatica

quando studieremo la legge di Gauss

Il problema degli n corpi

• Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una

soluzione analitica

• Teoria delle perturbazioni

• Problema della stabilità del sistema

solare