Gravitazione
Testo di riferimento:
• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci
a.a. 2017-2018
Gravitazione
Testo di riferimento:
• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci
a.a. 2017-2018
dal Programma
o Gravitazione
Campi di forze centrali (cenni): Proprietà e leggi di conservazione. La forza gravitazionale. Leggi di
Keplero. Massa inerziale e gravitazionale. Legge di gravitazione universale. Campo e potenziale
gravitazionale. Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale.
Definizione di forza centrale
o definizione di “forza centrale”. Forza agente su un punto materiale che risulta sempre diretta sempre verso uno stesso “centro”
d! L = !
r × !
F = 0 → ! L = !
r × m!
v = cost
Moto centrale: variabili
o conviene usare le coordinate polari
(riferendosi al centro O) della forza centrale
L = ! !
r × m !
v = !
r × m( !
v
r+ !
v
θ) = !
r × m ! v
θL = mrv
θ= mr
2d θ dt
L costante à è costante il prodotto r2 dθ/dt
dA
dt =
12r ⋅ r d θ
dt = L
2m
questa quantità è detta “velocità areale”ed è costante nel moto.
La traiettoria di un punto ch si muove in un campo di forze centrali giace in un piano fisso passante per il centro ed è percorsa con velocità areale costante
Moto centrale
o Se la traiettoria è chiusa (moto dei
pianeti attorno ad una stella), la costanza di dA/dt=C permette di calcolare C
facilmente:
C = A / T T = 2m
L A
A area totale percorsa in una
rivoluzione, T periodo della rivoluzione
Per orbita circolare: A=πr2 per orbita ellittica: A=πab
Proprietà fondamentale delle forze centrali
o Le forze centrali sono conservative
W = !
F ⋅ d! s
A B
∫
= Fu!r ⋅ ds!A B
∫
u!r ⋅ d!
s = ds cosθ = dr
W = F dr
A B
∫
= f (rB) − f (rA)dr è la variazione del modulo di r
durante lo spostamento ds
La forza di gravitazione
Le tre leggi di Keplero:
1. I pianeti descrivono orbite ellittiche intorno al Sole, ed il Sole occupa uno dei due fuochi
dell’ellissi.
2. La velocità areale (con cui il raggio vettore che unisce il sole al pianeta) è costante
3. Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse: T2=ka3
Legge di gravitazione universale
o dalle tre leggi di Keplero si può ricavare la legge di gravitazione universale (così fece Newton)
o Noi faremo il contrario
F = γ m
1m
2r
2la formula da il modulo della forza.
La forza è attrattiva
γ è una costante “universale”: vale sia sulla terra (caduta della mela), sia tra corpi celesti
La prima misura di γ è stata effettuata da Cavendish col “pendolo di torsione”
γ = 6.67 10-11 m3/(Kg s2)
derivazione delle leggi di Keplero
o Poiché la forza gravitazionale è una forza centrale, la prima e la seconda legge di Keplero sono soddisfatte.
n proprietà generale di tutte le forze centrali
o La terza è peculiare della forma esplicita della legge di gravitazione
n la ricaviamo nel caso semplice di orbita circolare:
T2/R3=cost
F =γ mPMS
rP2 = mPaPianetacentripeta = mP v2 rP
→ v2 = γMS
rP → v = γMS rP
La velocità è anche pari a:
v = 2πrP TP
Uguagliando le due velocità: TP2
rP3 = 4π 2 γMS
Massa inerziale e massa gravitazionale
o le masse che compaiono nella formula precedente sono “masse gravitazionali”
o Per un corpo che “cade” sulla terra F = γ m
Gm
T ,Gr
2= m
Ig
g = γ m
T ,Gr
2m
Gm
ISperimentalmente g è lo stesso per tutti i corpi:
mG/mI=1
Massa gravitazionale e massa inerziale coincidono
g = γ m
Tr
2Il “Campo” gravitazionale
o Nella seconda parte del corso utilizzeremo di più il concetto di “campo” e un po’ meno quello di “forza”.
o Si può già introdurre questo concetto per la forza gravitazionale.
Definiamo il “campo” (è un vettore) nel punto in cui si trova la massa m, come il rapporto tra la forza che agisce su m (è un vettore) e la massa m
F = ! γ mM r
2u !
r!
G(P) = − γ M r
2u !
rIl “Campo” gravitazionale
o M può essere considerata la
“sorgente” del campo gravitazionale
n si può pensare che sia presente il campo anche in assenza della massa m (nel
punto P)
o Se vi sono più “sorgenti del campo”, il campo è la somma dei campi
F = − ! γ mM r
2u !
rG(P) = − ! γ M r
2u !
rG !
i(P) = − γ M
ir
i2u !
iG(P) = ! ! G
i∑ = − γ M r i
i 2
u !
r⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
∑
Energia potenziale gravitazionale
o la forza è conservativa
n posso introdurre l’energia potenziale
dW = !
F ⋅ d!
s = −
γ
m1m2 r2u!1 ⋅ d! s u!1 ⋅ d!
s = dr
variazione del modulo della distanza tra m1 ed m2 a seguito dello
spostamento ds
W = dW
A B
∫
= −γ mr1m2 2 drA B
∫
= −γm1m2 −r1B
+ 1 rA
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = EP,A − EP,B
EP = −
γ
m1m2 rEsempio 11.4
o Calcolare la “velocità di fuga” di un corpo dalla terra
n minima velocità che un corpo deve avere per allontanarsi dalla terra
½mv2 – γ mmT/rT = ½ mv02 (=0)
à vF=√(2γmT/rT ) =√(2g rT) = 11.2 km/s
dal Programma
o Gravitazione
Campi di forze centrali (cenni): Proprietà e leggi di conservazione. La forza gravitazionale. Leggi di
Keplero. Massa inerziale e gravitazionale. Legge di gravitazione universale. Campo e potenziale
gravitazionale. Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale.
