Elettrostatica 1
13 maggio 2011
Campi scalari e vettoriali
Operatori differenziali sui campi Vettore area
Operazioni integrali sui campi Teoremi integrali
Campi
• Matematicamente sono funzioni reali (o
complesse) che rappresentano grandezze fisiche
• Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi)
• Se non dipendono dal tempo sono detti statici
• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di
definizione) lo stesso valore sono detti uniformi
) , , ,
(x y z t F
) , ,
(x y z G
Campi
• Se basta una sola funzione a definirli
completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura)
• Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)
) , , ,
(x y z t f
Ax
) , , ,
(x y z t
f
) , , ,
(x y z t g
Az )
, , ,
(x y z t g
Ay
x y z t
i A
x y z t
j A
x y z t
kA
t z y x A t z y x A t
z y x A t
z y x A
z y
x
z y
x
, ˆ , ˆ ,
, , ˆ ,
, , ,
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, ,
3
Operazioni differenziali sui campi
• Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi.
– Gradiente – Divergenza
– Rotazione (o rotore) – Laplaciano
• Siccome le componenti sono funzioni di
piu` variabili, avremo derivate parziali
Gradiente di un campo
• In coordinate cartesiane:
• Formalmente, l’operatore gradiente si scrive:
• Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale
• Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:
k z j y
i x
ˆ ˆ ˆ
z k A y
j A x
i A
Ak k k k
ˆ ˆ ˆ
k z j y
i x
ˆ ˆ ˆ
5
Gradiente di un campo
• In coordinate cilindriche (r,,z):
• Un campo ha simmetria cilindrica se non dipende da
• Ha simmetria di traslazione lungo z se non dipende da z
• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla
• In coordinate sferiche (r,):
• Un campo ha simmetria sferica se non dipende da
• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla
k z
ˆ ˆ 1 ˆ
sin
ˆ 1 ˆ 1
ˆ r r r
r
Divergenza di un campo vettoriale
• In coordinate cartesiane:
• Formalmente si puo` considerare come il
prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:
• E` un campo scalare
z A y
A x
A Ax y z
A i A j A k
k z j y
i x
A ˆ ˆ ˆ xˆ y ˆ z ˆ
7
Divergenza di un campo vettoriale
• In coordinate cilindriche:
• In coordinate sferiche:
zA A A
A z
1
1
A
A r A r
r r
A r r
sin sin 1
sin 1
1 2
2
Rotazione di un campo vettoriale
• In coordinate cartesiane:
• Formalmente si puo` considerare come il
prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:
• Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale
y
A x
k A x
A z
j A z
A y
i A
A ˆ z y ˆ x z ˆ y x
z y
x z
y x
A A
A
z y
x
k j
i k
A j
A i
z A y k
x j i
A
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
9
Rotazione di un campo vettoriale
• In coordinate cilindriche:
• In coordinate sferiche:
A k A A
z A z
A A
A ˆ 1 z ˆ z ˆ 1
r r
rA A r rA r
r r A r
A A r r
A 1 ˆ1
sin ˆ 1
sin sin ˆ 1
Laplaciano di un campo
• In coordinate cartesiane:
• Il laplaciano di un campo scalare e` un campo scalare
• E` la divergenza del gradiente:
• Formalmente:
• Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:
2 2 2
2 2
2
z y
x
2 2 2
2 2
2
z A y
A x
Ak Ak k k
2
2 2 2
2 2
ˆ 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ k z x y z
j y i x
k z j y
i x
11
Vettore area
• Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano
• L’area del parallelogramma che si puo`
costruire coi due vettori e`:
• Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno:
• Quindi: dati due vettori indipendenti l’area del parallelogramma associato e` data dal modulo del loro prodotto vettoriale.
sin ab A
b a
A
a
b
a
b A
Area dei parallelogrammi proiezione
• Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana
• Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b (ovvero un parallelogramma proiezione del
parallelogramma associato alla coppia)
• Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy:
• Determiniamo l’area del parallelogramma associato:
• Che altro non e` se non la componente z del vettore area A.
• Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella direzione normale al piano del vettore area associato all’elemento.
a i a j b i b j a b a b k
b a
Axy xy xy xˆ y ˆ xˆ y ˆ x y x y ˆ
z
x
y a
b
j a i a
axy xˆ y ˆ bxy bxiˆ by ˆj
z z yx y x
xy a b a b a b A
A
k A j A i
A
A xˆ y ˆ z ˆ
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Operazioni integrali sui campi
• Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim)
• Flusso: integrale su una superficie (2-dim)
• Integrale nello spazio (di volume): 3-dim
dV
C
l d A
S S
a d A da
n
A
ˆ
V
S
A
C
A
Teoremi integrali
• Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori
differenziali:
– Teorema della divergenza – Teorema di Stokes
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Teorema della divergenza
• Lega il flusso di un campo vettorale
all’integrale di volume della divergenza del campo stesso
• (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie)
V S
dV A
a d
A
A
A
V
Teorema di Stokes
• Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso
• (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie aperta che poggia su tale linea)
S C
a d A l
d
A
AA
C
S
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