Elettrostatica 4 23 maggio 2011 Angolo solido Flusso del campo elettrico Legge di Gauss

Elettrostatica 4

23 maggio 2011

Angolo solido

Flusso del campo elettrico Legge di Gauss

Angolo solido

• Consideriamo una

superficie sferica di raggio r

• Una curva chiusa definisce una superficie

• L’area è proporzionale al quadrato del raggio

• L’angolo solido è definito come il rapporto tra area e raggio al quadrato

• L’angolo corrispondente a

tutto lo spazio è

 4

4

2 2

2  



 r

r r

A_sfera

spazio

r

 A



Flusso del campo elettrico

• Procediamo per generalizzazioni successive

• Campo uniforme perpendicolare ad una superficie

• Campo uniforme inclinato rispetto alla superficie

• Campo non uniforme

EA S

E 

 ( | )









 ( E | S ) E  A  EA cos  EA

 ^





S

A d E S

E  

)

|

(

Flusso di E: carica al centro di una sfera

• Flusso del campo di una carica puntiforme positiva attraverso una superficie sferica centrata sulla carica

• Idem per una carica negativa

• Il flusso elementare attraverso l’angolo solido d  non dipende dal raggio della sfera

kQ d

kQ d

r r k Q EdA

A d E S

E

S

S S

S

 4 )

|

(    

   

  ^{ }   















 r d kQd

r k Q EdA

A d E

d  

Il segno di E, e quindi di  e` dato dal segno di Q

Flusso di E: carica interna ad una superficie chiusa

• Flusso del campo di una carica puntiforme attraverso una

superficie chiusa qualunque che la contiene

kQ d

kQ

d r r

k Q

EdA EdA

A d E S

E

S S

S S

S





4 cos )

| (

2 2

































 

 d

dA

E dA

A d

Q

Flusso di E: carica esterna ad una superficie chiusa

• La superficie chiusa si può considerare come l’unione di due superfici aperte che sono viste

dalla carica secondo uno stesso angolo solido 

• I due flussi sono uguali e contrari, perché i prodotti scalari elementari hanno segno opposto sulle due superfici

0 )

| (

2 1

2 1

2 1





















































kQ kQ

EdA EdA

A d E A

d E

A d E A

d E S

E

S S

S S

S S

S

 

 

 

 



Legge di Gauss

• Flusso del campo di più cariche

puntiformi

attraverso una superficie

qualunque

• Legge di Gauss

• 1

equazione dell’e.m.

0 int int

1

int 1

1 1

4

4 )

| (

)

| (

 



tot tot

n j

j n

j

j

n

j S

j S

n j

j S

kQ Q

kQ S

E

A d E

A d E

A d E S

E















 



 



 













 











 

 

 

Forma differenziale della legge di Gauss

• Consideriamo l’equazione

• Applicando il teorema della divergenza, l’integrale di

superficie si può trasformare in un integrale nello spazio

• La carica si può pure

esprimere come un integrale nello spazio

• La legge di Gauss si può quindi riscrivere

• L’uguaglianza degli integrali implica l’uguaglianza degli integrandi

0 int

^tot

S

S Q d

E  



dV E S

d E

S S



 

 

 ^{   }

) S (

 

) ( int

S

tot

dV

Q

S





 ^{  }

)

( 0

)

(S S

dV dV

E

S

S









0

 



 E 

Esercizi sulla legge di Gauss

• Campo elettrico di

– Piano indefinito con densità superficiale di carica uniforme

– Filo indefinito con densità lineare di carica uniforme – Sfera, con densità di carica spaziale uniforme

• Campo all’interno di conduttori pieni e cavi

– Caso particolare di sfere concentriche

• Direzione del campo alla superficie di un

conduttore

Intensita` del campo E sulla superficie di un conduttore

• Consideriamo una SdG cilindrica S di base molto piccola parallela alla

superficie del conduttore

• Superficie laterale: parallela al campo esterno

• Il flusso del campo E

attraverso S è dato dal solo termine relativo alla base esterna (di area A)

• Detta Q(S) la carica

contenuta in S, per la LdG

• Quindi il campo sulla superficie vale

EA E 

 )(

E=0

EA E 

 ) (

0 0

) ) (

( 





A S

E  Q 





  E

S

10

Variazione discontinua di E

attraverso uno strato di carica

• Una superficie cilindrica S con base piccola e altezza ancor più piccola

• Il flusso di E attraverso S ha tre pezzi: base 1, base 2, superficie laterale

• Trascuriamo il flusso sulla SL, in quanto l’altezza può essere presa piccolissima

• Nota la carica contenuta in S, per la LdG

) ,

( )

,

(E S  E₁  A₁  E₂  A₂   E S_lat

    

+++++++++++++++++++++

n

1 2 1

1

2 2 1

) 1

, (

A E A

E

A E A

E S

E

n n

n n











0 1 0

) ) (

( 





A S

E  Q 



1

2