INGEGNERIA MECCANICA CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII PROVA SCRITTA – 11-09-2007 Cognome Nome Matricola ESERCIZIO 1 Studiare la convergenza dei seguenti integrali generalizzati: Z

INGEGNERIA MECCANICA

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII PROVA SCRITTA – 11-09-2007

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la convergenza dei seguenti integrali generalizzati: Z +∞ 1 r x sin 1 x2dx; Z 1 0 r x ex2 − 1dx. ESERCIZIO 2

Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale ordinaria: y00− 2y0+ 2y = x.

ESERCIZIO 3

Determinare il dominio di esistenza e gli asintoti della seguente funzione: f (x) = x

2_{+ 2}

√

x2_{− x − 2}.

ESERCIZIO 4

Studiare la continuit`a e la derivabilit`a della funzione:

f (x) =      x2+ x x − 2 per x < 0 p x2_{+ x per x > 0.} ESERCIZIO 5

Determinare massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y) = x + y + 1 nell’insieme (chiuso e limitato) compreso tra le due parabole y = 2x2 e y = x2+ 1.

ESERCIZIO 6

Supponiamo che f (x) sia una funzione definita per x ≥ 1, positiva, monotona decrescente e infinitesima per x → +∞. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e per quelle false fornire un controesempio. a) ∞ X n=1 f (n)2 converge semplicemente; b) ∞ X n=1 (−1)nf (n) converge semplicemente; c) ∞ X n=1 (−1)nf (n) converge assolutamente; d) ∞ X n=1 1 f (n) converge semplicemente. 1