Esso, inlinguaitaliana,presenta una strutturasintatti asempli e;eorientatoallaMatemati aedemodu- lare, ogni modulo riferentesi aduna pre isa fas ia d'eta

Le e,5-8marzo2003

Il Cal olatore, motore dell'azione didatti a

nell'insegnamento-apprendimento della matemati a

Fran es o Costabile

DipartimentodiMatemati aLAN-CIRD-UniversitadellaCalabria

ostabileuni al.it

Sommario

IlCal olatore e sorgenteinesauribile erisolutore eÆ a edi pro-

blemi;inun quadrometodologi o opportuno,puodiventaremotore

essenzialee ontinuodell'azionedidatti anell'insegnamento-apprendi-

mentodellaMatemati a. InfattiilCal olatoreattraversolaprogram-

mazioneobbligaadun\trainingmentale",maan he onsentel'eet-

tivarisoluzioneosimulazionediproblemidellarealtasensibile. En-

trambiquestifattorisono obiettivi fondamentalinell'insegnamento-

apprendimento della Matemati a. In questo per orso le diÆ olta

maggiori si in ontrano nella omuni azione uomo-ma hina, ovvero

nellinguaggiodiprogrammazione;atalnesiproponeunnuovolin-

guaggiodenominatoMatCos. Esso, inlinguaitaliana,presenta una

strutturasintatti asempli e;eorientatoallaMatemati aedemodu-

lare, ogni modulo riferentesi aduna pre isa fas ia d'eta. Tutto io

saraillustrato onopportuniesempi.

1 Il quadro metodologi o di riferimento

\Dobbiamo onfessare helamatemati aha ostituitolatorturadeglis o-

lari di tutto il mondo e he l'umanita ha tollerato questa tortura per i

suoi gli ome una soerenza inevitabile per poter onquistare delle o-

gnizionine essarie. Mal'insegnamentonon devemaiessereuna tortura,e

nonsaremodeiveriprofessorisenon faremoin modo, ontuttiimezzi,di

trasformarequesta soerenzain godimento; godimento he nonvuole dire

man anza di ogni sforzo ma he, anzi, deve essere il frutto di un lavoro

svolto onpassioneegioia." (PedroPuig. ADAM)

Convegnointernazionalesull'insegnamentodellamatemati a,Madrid1957

\Al giorno d'oggi, la matemati a bella efatta (la matemati a morta)

dominanelles uole enell'Universita. Il al olatore irammenta onforza

helamatemati aeun'attivita. Siassisteaunaripresadellarisoluzionedi

problemi. Ogniprogrammaelasoluzione di unproblema,maaunlivello

superioreaquellodellasoluzionediunenigmaodiunindovinello. Unpro-

Engel) IIIseminarioC.I.M.EE hterri h1973

\Sesiinsegna adunbambino aprogrammarein qual helinguaggioin-

formati o,questoeser iziologi olorenderapadroneenons hiavodel om-

puter"(UmbertoE o) \LaRepubbli a",8/1/2000

Questetre fasidelineanoassaibenela\losoa"diquesta onferenza.

Adam,nelseguitodellasuarelazione,posel'a entosulla ne essitadi non

limitare l'insegnamento della Matemati a alla sola fase operatoria di re-

lazioni fra on etti puri ed enti idealizzati, per he la stragrande maggio-

ranza degliallievi he svilupperaattivitamatemati a, aronteraproblemi

del mondo on retoin ui glienti non sono giadepurati e quindi similia

quelli oniqualisieragiaabituato;o orrera,al ontrario, hel'apparato

logi o-astratto, heeuna fase intermedia ed importante,nella risoluzione

deiproblemi quantitatividellalosoanaturale,siapre edutodaunafase

di s hematizzazioneodi astrazione in ui lamente ridu e as hemi mate-

mati iifenomeninaturalioggettodistudio,e hesiaseguitodaun'altrafase

hediremodi<< on rezione>>ovverodiinterpretazione,diproiezionedei

risultatiottenuti,nel ampodellarealta.Ilpro edimentopropostodaAdam

oggigiornoepiu onos iuto ome Problem-solvingomodellizzazionedella

realtasensibileepuoesseres hematizzato omeing. 1.

Problema reale

Modello matematico

Mondo reale

Analisi qualitativa

Modellistica Numerica

Interpretazione della soluzione

Risoluzione al calcolatore

Algoritmi

Fig. 1

Naturalmentenullaes lude henell'analisiqualitativaenumeri asipos-

sa giungere ad ulteriori generalizzazioni ed astrazioni, he ondu ano ad

una fase piu spe i atamente operatoria di relazioni tra enti idealizzati;

ioe an heparte integrante ed essenzialedel pensiero matemati o per he

ontribuis einmanierafondamentaleallaformazionelogi omentale.

Se i si fermasse,pero, alla fase puramente operatoria di relazioni tra

entiastrattisi orrerebbeilris hio,moltoforte,dipresentarelamatemati a

bellaefatta, onpo heprobabilitadi su esso,ovvero hel'essenzavenga

a ettataere epita.

Possiamo, dunque, riassumere il quadro metodologi o proposto aer-

nalizzataal\trainigmentale"eal\Problem-solving",intesoprin ipalmente

ome onnessionematemati a-realtasensibile. Inquestoquadrosiinseris e

assaibenel'usodel al olatoreattraversolaprogrammazione.

2 Il al olatore

Il al olatoreelettroni o, digitale, automati o,perusogenerale, ui inten-

diamo riferir i e senza dubbio al uno l'innovazione te nologi a del se olo

s orso hehamaggiormentein uenzatolosvilupposo io ulturale. Questa

ma hina,adierenzaditutte lealtreesistenti,ha apa itadi dialogo on

l'uomo, henedirigein ogni asoilpro essooperativo.

E'proprioquesta aratteristi aquella henehadeterminatoilsu esso

equindil'appli azioneneipiusvariati ontestidellarealtasensibile. Undia-

logo,pero, nonfa ile dalmomento he idue soggetti, uomoe al olatore,

hannolinguaggi,l'uno dettonaturale, l'altrodibase,notevolmentediversi.

Sipose, per io,sindall'inizioilproblemadella reazionedilinguaggiinter-

meditra i due e he fossero nalizzati a parti olariappli azioni. Sorsero

os ilFortranperi al olis ienti i,epoiilCobolperleappli azioni om-

mer iali;ilPas alpiu essibiledelFortrane os vianoadarrivareaipiu

moderniC++eJava heinteragis e onlareteinternet. I pre edentisono

tuttilinguaggidi programmazionegeneralisepur,piuomeno, onvenienti

per parti olari appli azioni. Non potevano, pero, man are linguaggi par-

ti olarmente dedi ati, adesempio, alla matemati a: Mathemati a, Maple,

Derive. Questi softwarenoti piu propriamente ome omputeralgebrasy-

stem(CAS)sonoingradodieettuaremanipolazionisimboli healgebri he

edifornire onpo heistruzionilasoluzioneanaliti a,gra aenumeri adi

problemi matemati i. Piu spe i atamente rivolti arappresentazioni geo-

metri hesonoisoftwareCartesio,Get,Cabri-geometre,Stret h-Pad. L'uso

diquestisoftwarenellaprati adidatti apone,pero,grossiinterrogatividi

naturapedagogi a,ovverosiadiunaloroeettivautilitaneldeli atopro es-

sodi insegnamento-apprendimento dellamatemati ain quantofornis ono,

nella maggiorparte dei asi, la soluzione ompleta o quasi del problema.

Naturalmentemolto dipendedal ontesto,dallametodologiaedagliobiet-

tiviformativipreposti. Certamentediversae,infatti, lasituazionedellola

situazionedellostudente universitariodi matemati aenon,dallostudente

dellas uolase ondaria. Comune,pero,adentrambelesituazioniedisi uro

una nuovametodologia di insegnamento, se si vuolefare uso dei software

esistenti.

La riti aprin ipale hesifa all'usodeiCASe heessipresentanonella

maggior parte dei asi la soluzione bella e fatta, senza ri hiedere al uno

sforzomentaleoattivitaintellettiva hedirsivoglia,e ontemporaneamente

ri hiedonol'usodiunlinguaggio onunasintassipesantee ertamentepo o

adeguataallas uolase ondaria.

Questaosservazioneelargamente ondivisibilespe ialmentesesia etta

abbiamo parlato di \training mentale" nell'attivita matemati a al ne di

orire allo studente la possibilita di sviluppare al meglio il suo talento

intellettivo.

Perottenerequestoo orrenonrinun iareallaprogrammazione,per he

programmareeunmododipensare,pensare onunne,ovverorisolvereun

problema. D'altrapartel'importanzadellaprogrammazionenelpro essodi

insegnamento/apprendimentoestataevidenziatavarievoltesiain ontesti

nazionali he internazionali ([1℄, [18℄), per ui in questa sede i limitiamo

a riaermarne il prin ipio e ad indi are un per orso in ui essa diventa

parteessenzialedell'azionedidatti a. LadiÆ oltaprin ipale hesiin ontra

nell'usareil al olatoreinmodo onsapevoleesistemati oovveroprogram-

mandoinun orsodimatemati aaqualsiasilivellos olare,e ostituitadal

linguaggiodiprogrammazione, hespessopuoesserepo oadatto apre isi

ontenuti e pre isefas e d'etae quindi ontesti edu ativi. Suquesta base

nas eilprogettoMatCos,piupre isamenteessohaildupli e s opo:

 avviarelostudenteallaprogrammazioneutilizzandoi on ettimatema-

ti iadeguatiallasuaeta;

 far apprendere ed interiorizzaremetodi e on etti matemati i sfrut-

tando lepotenzialitadel omputer.

3 L'ambiente MatCos

Ambienteintegrato he onsentelosviluppoel'ese uzionediprogrammiri-

voltiprin ipalmenteallamatemati a,fruibilesuPCinambienteWindows.

Utilizzaunlinguaggiodiprogrammazioneadaltolivellodenominatoan he

MatCos,linguaggioespressoinlinguaitaliana he onservalegami onquel-

lonaturale, edemolto vi inoal linguaggiomatemati o. MatCosediviso

in moduli, ias uno deiquali e rivolto ad una pre isafas ia d'eta s olare,

il linguaggiodi programmazionee ompostodablo hi di istruzione per i

qualisirinvia,perunaesaurientedis ussione,aimanualiin bibliograa.

Si menziona solo la aratteristi a fondamentale dell'ambiente MatCos

he onsistenel potereseguireogniprogramma \passo-passo",ovveroun

omandoallavolta,visualizzando os irisultatiintermedi.

Questape uliaritaemoltoimportantedalpuntodivistadidatti oper he

da allo studente la possibilita di ontrollare ogni passo dell'algoritmo e

orreggerepiufa ilmente eventualierrori.

4 Al uni esempi

Siriportanoa hiarimentodiquantosopraesposto,al uniesempiespli ativi

onpre isiobiettivi,se ondol'utente uisirivolge.

Esempio 1 - Fas ia d'eta 8-11 anni - Per orso geometri o: dal

I omandine essarisono:

punto; linea; linea(punto,punto);

segmento(punto,punto); segmento(punto,numero).

Possonoessereutilizzatiase ondadel\gusto\didatti osiainfasepreventi-

va-esplorativa heinfasesu essivadiapprofondimentoeveri a. Adesem-

pioi omandi punto; linea; onsentonorispettivamente di tra iare ol

mouseunpuntoeunalinea,quindistimolarel'intuizionedi innitipuntie

puntiallineati.

Il omando linea(punto, punto) onsente, inve e, di tra iare una

linea tra due punti assegnati e pone il problema di quante linee si pos-

sono ondurre e quale sia quella he fornis e il \ ammino" piu breve tra

i due punti. Ne s aturis e il on etto di segmento e quindi il omando

segmento(punto,punto);

Tutto iosi realizza ol sempli e segmento di programma MC1 il ui

outputein g. 2.

MC1 Punto;

Linea;

A=Punto;

B=Punto;

Linea(A,B);

s=Segmento(A,B);

Fig. 2

Dal on ettodisegmentosipuopassareaquelloditriangoloealsempli e

programmino helorealizza:

MC2 A=Punto;

B=Punto;

C=Punto;

Segmento(A,B);

Segmento(B,C);

Segmento(A,C);

Fig. 3

Dopo aver onstatato la lunghezza di un segmento; il omando segmento

(punto,numero); onsente di tra iare un segmento avendone ssato un

estremo e la lunghezza. Si prende atto, in questo modo delle diverse di-

rezioni del piano e della ne essita di ssare due punti per determinarne

univo amenteunasola. Nonsolomalostesso omando ondu einmaniera

naturaleallarotazione,aidueversidirotazionepossibiliealla ir onferenza

(Fig. 4).

Esempio2 -Fas ia d'eta 11-13 anni - Unper orso aritmeti o-

statisti o.

L'algoritmo eu lideo della divisione tra naturali porta al on etto di

multipliedivisori equindi in modospontaneo alproblemadel al olodei

divisori di un numero assegnato. Le istruzioni MatCos he fornis ono il

quozienteinteroeil restosonorispettivamente

DIVeRDIV

Allorailsempli eprogrammaseguente al olatuttiidivisoridi unnumero

assegnato:

MC3 N = LeggiNum(

00

numero di ui vogliamo i divisori 00

);

PER (i DA 1 A n) ESEGUI;

r=n RDIV i;

SE ( r = 0 ) ALLORA

Stampa( i, 00

e' divisore 00

) ;

ALTRIMENTI

Stampa ( i, 00

non e' divisore 00

);

FINE;

Dal on etto di divisore si passa fa ilmente a quello di numero primo

e al problema naturale: dato un numero stabilire se esso e primo. Tale

problema, an he senon in modo ottimale, puoessere risolto ol seguente

programma heeunaleggeravariazionedelpre edente.

MC4 n=LeggiNum(

00

numero dato 00

);

PER ( i DA 2 A ( n - 1 )) ESEGUI;

r=n RDIV i ;

SE ( r=0 ) ALLORA ESEGUI;

Stampa(n, 00

non e' primo 00

);

Stop;

FINE;

FINE;

Stampa(n, 00

e' primo 00

);

Con i primi elementi di statisti a si perviene sempre alla rappresen-

tazionedidati onopportunidiagrammi;MatCosdisponedisempli iistruzioni

perlarappresentazione:

DiagCir (<lista numeri>);

Istogramma (<lista numeri>);

DiagStr (<lista numeri>);

hesonoillustratiin g. 5.

Fig. 5

Esempio 3 - Fas ia d'eta 11-15 anni - Per orso geometri o:

Costruzionedi poligoni regolari......isometria

Ilseguenteprogramma ostruis eunquadrato,lotraslase ondounvettore

assegnato,quindiloruotadi 60gradi intornoadunsuoverti e

MC5 A=Punto;

B=Punto;

r=Retta(A,B);

p=Perpendi olare(r,A);

Can ella(r);

m=Distanza(A,B);

s=Segmento(A,m,p);

Can ella(p);

D=s.Estremo(2);

C1=Cir (B,m);

C2=Cir (D,m);

C=Intersezione(C1,C2);

q=Poligono(A,B,C,D);

t1=SegmentoOr(Punto,Punto);

Can ella(C1,C2);

q1=Trasla(q,t1);

ColorePenna(0,128,0);

Fig. 6

Esempio4 -Fas iad'eta 15-18 anni. Per orsoanaliti o.

A)Allas opertadell'equazionedellarettaedelle ondizionidiparallelismoe

diperpendi olaritaIlseguenteprogrammaintrodu eil on ettodiequazione

dellarettainquantoportaallaintuizionedellarelazione hesussistetrale

oordinatedeipuntidiunastessaretta.

MC6 RifCart;

A=Punto(2,5);

B=Punto(1,3);

t=Lista;

m=Matri e(10,2);

r=Retta (A,B);

PER ( i DA 1 A 10 ) ESEGUI;

Colore(i);

T(i) = PuntoACasosu(r);

m(i,1) = T(i).x;

m(i,2) = T(i).y;

FINE;

StampaMatr(m);

Dopoavereseguitovarievoltequestoprogrammasipuo ostatare hetraha

le oordinatedeipuntidiunarettanonparallelaall'assey, 'eunarelazione

deltipoy=mx+n. Ladimostrazionerigorosa,ne essaria,segue,poi, on

Fig. 7

Unavolta hiaritoilsigni atodel oeÆ iente m,ovveroladirezionedella

retta,sipuoandarealla ri er adelle ondizionidiparallelismoeperpendi-

olarita olseguenteprogramma.

MC7 RifCart;

A=Punto;

ColorePenna(255,0,0);

r=Retta(Punto,Punto);

s=Parallela(r,A);

m=r.Coeffang;

m1=s.Coeffang;

Stampa(m,

00 00

, m1 );

t=Perpendi olare( r, A ) ;

m2=t.Coeffang;

Stampa( m1,

00 00

, m2 );

Eseguendo varie volte questo programma si ongettura herette parallele

avrannolostesso oeÆ ienteangolaree heretteperpendi olarihanno oef-

 ientiangolariil uiprodottovale 1.

B) Alla s opertadel on etto di limite. Un argomento di non fa ile om-

prensionespe ialmentenellas uolase ondariaeil on ettodilimitediuna

funzionereale,ovveroilsuo omportamentonell'intornodiunpuntoin ui

puonon esseredenita. Ilseguenteprogramma tabulauna funzione inun

intornodestroesinistrodiunpuntoenedalarappresentazionegra ada

uisipuointuireil omportamentodellafunzioneinunintornodiunpunto

equindiil on ettodilimite.

MC8([14℄) rif art;

Stampa(

00

Il programma permette di studiare il

omportamento di una funzione in un intorno

simmetri o di un punto 00

);

f=leggifunz(

00

introdurre la funzione 00

);

x0= legginum(

00

punto limite 00

);

C=punto(x0,0);

olore(8);

Stampa ( 00

Per evidenziare lo studio della funzione

di un intorno del punto si tra era' il grafi o

della retta di equazione x=

00

, x0);

s=rettapar asse(

00

y 00

, x0);

stampa ( 00

Il grafi o della retta verra' an ellato

dopo aver al olato le oordinate dei punti

della urva ri hiesti 00

);

n=10;

ms=matri e (n, 2);

md=matri e(n, 2);

h=1/n ;

xs=x0-n*h;

xd=x0+n*h;

PER (i DA 1 A n) ESEGUI;

ys=valutafunz(f, xs);

ms(i, 1)= xs;

ms(i, 2)= ys;

olore (4);

punto(xs, ys);

xs=xs+h;

yd=valutafunz(f, xd );

md(i, 1)=xd;

md(i, 2)=yd;

olore(3);

punto(xd, yd);

xd=xd-h;

FINE;

an ella(s);

stampamatr(ms);

stampamatr(md);

stampa(

00

grafi o della funzione nell'intorno del

punto limite 00

);

olore(7);

grafi ofunz(f, x0-1, x0+1);

stampa(

00

grafi o della funzione 00

);

grafi ofunz(f);

Fig. 8

Nellag. 8eriportatol'outputrelativoallafunzione y= sinx

x ex

0

=0.

C) Studio delle proprieta qualitative, quantitative e rappresentazione

gra adiunafunzionerealedivariabilereale. Tradizionalmentenellas uola

se ondariataleargomentoo upaquasiuninteroannodilavoro. Oratutti

i CAS, ma an he MatCos, sono in grado di fornire la soluzione in po hi

se ondi: he fare dunque? Ignorare questi strumenti te nologi i e onti-

nuare, omesenon ifossenientedinuovo;oppurea ettarepassivamente

iCASe on entrareil lavorodiunannoinpo himinuti?

Naturalmente entrambele soluzionirappresentano asiestremie ome

talivannomediati. Una azionedidatti amediatri e puoavere laseguente

linea: dopoil on ettodifunzionerealedivariabilerealesiintrodu elarap-

presentazionegra aperpuntiattraversounCAS. Ad esempioin MatCos

sonosuÆ ientileseguentiistruzioni:

MC9 Rif art;

f = Funzione(\(1+x)/x

^

2 00

);

Grafi oFunz( f );

Fig. 9

Dallarappresentazionegra aefa ilepassareallades rizioneintuitivadelle

proprietaqualitative(monotonia, puntiestremali, zeri, omportamentoal-

l'innitoonell'intornodiparti olaripunti). Perottenerevaloriquantitativi

basta onsiderarel'istruzione

ValutaFunz(f, x);

hedail valoredellafunzione f nelpuntoassegnatox;mentreil omando

fzero (f, a1, a2, eps);

fornis elozerodellafunzionef nell'intervallo(a1;a2) onlatolleranzaeps.

Dopoquesta faseesplorativasi puopassarealla formalizzazione simboli a

ealladeterminazioneanaliti adelle ondizioni hegiusti anoleproprieta

intuitivedellafasepre edente.

In questomodolo studente non solo non perde onsapevolezza, utiliz-

zandogli strumentite nologi i avanzatimaapprezzae a quistagustoper

l'attivita matemati a (fase simboli a operatoria ) quale strumento essen-

zialeperlari er a(olagiusti azione) di al une 00

verita 00

. MatCosmette

adisposizionean heil omando

DerivataFunz (f);

peril al olodelladerivataanaliti adellafunzione,quindiperlastampail

omando

StampaFunz (f);

E' fa ile, quindi, mettere in relazioneil gra odi una funzione e della

MC10 RifCart;

f = Funzione(

00

os(2*x) 00

);

Grafi oFunz( f );

ColorePenna(0, 255, 0);

g=DerivataFunz( f );

Grafi oFunz( g );

StampaFunz( g );

Fig. 10

Esempio 5-Fas ia d'eta  19 anni - Soluzione immediata di

al uniproblemi.

MatCos e an he in gradodi fornire lasoluzione di al uni problemi he si

in ontranopiufrequentemente nelleappli azioni. Adesempio:

M = Inversa(N, eps);

fornis elamatri einversadellamatri eN, amenodieps;

d = Determinante(N);

fornis eil determinante dellamatri eN;

x = SistemaLineare(A, b, eps);

fornis e la soluzione del sistema lineare di matri e A, termine noto b, a

menodieps;

A = Autovalori(N, eps);

fornis egliautovaloridellamatri eNamenodi eps;

fornis eunaprimitivadellafunzione g;

n = Integrale (f, a, b, eps);

fornis el'integraledenitodellafunzioneftraaebamenodieps.

f = PolT(g, a1, a2);

fornis eil polinomiodi Taylorrelativoallafunzione g,di punto inizialea1

egradoa2;

n = Fattoriale(m);

fornis eilfattorialedim;

n = Binomiale(a1, a2);

fornis eil oeÆ ientebinomiale



a1

a2



. Si puo,an he,ottenere ilgra o

diunafunzioneaduevariabili,adesempio:

MC11 Rif art3D;

ColoreRiempimento(255,0,255);

F=Funzione3D(

00

sin(x*y) 00

);

Grafi ofunz3D( F );

Fig. 11

Fornis eil gra odellafunzionesin(xy).

Esempio6 -Matemati a e realta sensibile.

Nel quadrometodologi o espostoall'inizioil legameMatemati a-realta

sensibile e ritenuto importante, MatCos e di notevole aiuto per espli are

questo rapporto an he nella s uola se ondaria. Ad esempio osservando

un omuneventagliosipuodes rivereunmodellomatemati o onrelativo

algoritmo,la uiimplementazionein MatCosfornis el'output diFig.12

MC12([13℄) Colore(4);

s=SEGMENTO(PUNTO, PUNTO);

C=PUNTOSU(s);

A=PUNTOSU(s);

B=PUNTOSU(s);

AB=SEGMENTO(A, B);

AC=SEGMENTO(A, C);

ALFA=LEGGINUM;

I=0;

ESEGUI FINQUANDO(I<=ALFA);

RUOTA(s, C, I, ORARIO);

I=I+1.5;

FINE;

I=0;

Colore(9);

ESEGUI FINQUANDO(I<=ALFA);

RUOTA(AB, C, I, ORARIO);

I=I+1;

FINE;

5 Quanto e aÆdabile MatCos?

E'diÆ ilestabilirlo,maing.13eg.14eriportatoilgra odelladerivata

dellafunzione

y=e jx 1j

+2xrispettivamenteeseguito onMatCos:

MC13 RifCart;

f=Funzione(

00

Exp(Abs(x-1))+2*x 00

);

g=DerivataFunz(f);

Grafi oFunz(g);

eMathemati a:

f[x℄= Exp[Abs[x-1℄℄+2*x

g[x℄=D[f[x℄, x℄

Plot[g[x℄, x, -4, 4℄