Onde 3 13 novembre 2014 Interferenza Diffrazione (Battimenti)

Onde 3

13 novembre 2014

Interferenza Diffrazione (Battimenti)

Fenomeni ondulatori

• Interferenza e diffrazione sono fenomeni

esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla sovrapposizione di due o più onde

• La sovrapposizione può essere costruttiva o distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra le onde che si sovrappongono

• Noi studieremo i seguenti fenomeni

– Interferenza tra due fenditure (Young) – Diffrazione da una fenditura

Coerenza

• Un concetto importante è quello di coerenza:

due o più onde sono coerenti se mantengono costante la loro differenza di fase relativa

3

Interferenza

• L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale della sovrapposizione di onde di ugual

frequenza e coerenti

• Il risultato è diverso da punto a punto dello

spazio, a seconda dello sfasamento relativo

delle singole onde

Interferenza di onde sulla superficie di un liquido

• Consideriamo un’onda piana

monocromatica sulla superficie di un liquido, incidente su uno

schermo in cui sono praticate due fenditure (distanti d l’una dall’altra)

• Per il PdH le due fenditure si

comportano da sorgenti S

, S

di onde circolari coerenti (e in fase), la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno

dell’interferenza

5

Interferenza di onde sulla superficie di un liquido

• Determiniamo il cammino tra ciascuna delle due

fenditure e il generico punto P del semipiano a destra

dello schermo 2

2

1 2 



 

 



 d

y x

r

2 2

2 2 



 

 



 d

y x

r

P(x,y)

x y

d/2 d/2 r₁

r₂ S₁

S₂

r

Interferenza di onde sulla superficie di un liquido

• Dato che le onde sono in fase sullo schermo, per avere un

massimo di interferenza, occorre che la differenza di cammino sia un multiplo di lunghezza d’onda:

• E’ noto dalla geometria che questa relazione rappresenta una famiglia di iperboli (una per ogni n)

• Sviluppando i calcoli si trova che l’equazione di queste iperboli è

• Com’è noto dalla geometria la differenza di due lati di un triangolo è minore del terzo lato, quindi

• da cui segue che e l’equazione rappresenta proprio iperboli

 n r

r₂  ₁ 

   

4

4n²²x²  d ²  n²² y²  n²² d²  n²²  d

r r₂  ₁ 

2 0

2

2  n   d

7

d

• Posizione dei massimi di interferenza nel

semipiano di destra

• I massimi si trovano su rami di iperbole

• I calcoli sono stati fatti per i seguenti valori dei parametri: d=10,

=3

Interferenza di onde sulla superficie di un liquido

• Si vede che per ogni ramo d’iperbole nel 1° quadrante (n>0) ce n’è uno simmetrico nel 4° (n<0)

Interferenza di onde in un fluido

• Se ora abbiamo una parete assorbente immersa in un fluido (ad es. aria), con due fori attraverso cui l’onda

incidente (sonora) può propagarsi, possiamo estendere immediatamente le considerazioni svolte per il caso a due dimensioni

• Nel semispazio a destra della parete introduciamo un sistema cilindrico, ove l’asse verticale funge da

coordinata z e l’asse orizzontale da coordinata radiale 

• Il luogo dei punti di interferenza costruttiva è ora la

superficie di (metà) iperboloide, una per ogni possibile n, che ha z come asse di simmetria

9

Interferenza di onde in un fluido

• Volendo calcolare l’ampiezza dell’onda risultante

dovremmo sommare le due onde sferiche uscenti dai due fori

• Dette  e z le coordinate del punto arbitrario P, i cammini dalle sorgenti a P sono

• Nell’ipotesi semplificativa che A non dipenda dalla coordinata azimutale, l’onda risultante in P sarà

2 2

1 2 



 

 



 d

z

r 

2 2

2 2 



 

 



 d

z

r 

   

2 2 1

1

sin

sin

r

t a kr

r

t a kr

f      

Interferenza

• L’esempio classico è l’esperienza di Young, in cui un’onda piana

monocromatica incide su uno

schermo su cui sono praticate due fenditure (distanti d l’una dall’altra)

• Per il PdH le due fenditure si

comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti (e in fase)

• Calcoleremo sia le posizioni dei massimi che la corrispondente ampiezza dell’onda risultante

11 11

Interferenza

• Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalle fenditure,

• In tal caso i cammini ottici sono semirette parallele



Interferenza

• Analizziamo l’interferenza per ogni possibile direzione  e diciamo  la coordinata relativa a 

• Per la simmetria delle fenditure, le due onde hanno ugual ampiezza A per lo stesso (A e` funzione di )

• Hanno inoltre una differenza di fase fissa

 dovuta alla differenza di cammino ottico

• La differenza di fase è data dalla proporzione

• E quindi

13



 sin d

l 





l :    : 2 

 

 



  2 l  2 d sin



 l

d 1

2



13

Interferenza

• Le due onde hanno dunque forma

• La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la loro somma

• Applicando le formule di Werner, otteniamo

• L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda risultante

   

  









t k

A f

t k

A f

cos cos

2 1

2

1 f

f f  

 



 



  





 cos 2

cos 2

2A   k t  f

Interferenza

• L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere il valore minimo, zero, per  o  2n+1)  e il valore massimo, 2A, per  o  2n 

• Il valore minimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda: interferenza distruttiva

• Il valore massimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero intero di lunghezze d’onda:

interferenza costruttiva 

l  

2    n  1 2



  

  



l  n 

15

Interferenza

• Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle singole onde sulle fenditure

   



 



 





 

 



cos 2

4 ^{2 2 2} d

I A

I_interf

I_interf

Grafico dell’intensita`

nel caso particolare in cui A sia costante rispetto ad 

Immagini di interferenza

17

Interferenza

• Commento sul fattore 4: questo non comporta una violazione della conservazione dell’energia, ma solo una redistribuzione spaziale dell’energia

• Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità

dell’onda risultante varia tra i due estremi

• Nella trasparenza successiva è dato un esempio





max

A A

I   ^I

^  ^A

^{ A}



Interferenza con ampiezze diverse

• Ricordiamo l’interferenza di due onde in un fluido

• Conampiezza

• sfasamento relativo (e  una fase inessenziale)

• L’ampiezza varia tra i seguenti estremi:

19 2 1

2 1 2

2 2

2 1 1 2

2 2

1 max

1 2 1

1 2 1

1 cos 2 1

1

1 A A

r r r

a r r n

r r a r

A         









 





 A kr t

r

t a kr

r

t a kr

f ₁

2 2 1

1 sin sin

sin

 

2 1 2

2 2

1 r r r

a r

A   

 

2 1 2

2 2

2 1 1 2

2 2

1 min

1 2 1

1 1 1

2 1 cos

2 1 1

1 A A

r r r

a r r n

r r a r

A          

19





k 

 

Diffrazione

• Consideriamo un’onda piana monocromatica di ampiezza A

incidente su uno schermo con una fenditura di larghezza a

• Per il PdH tutti i punti della fenditura si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti (e in fase), la cui sovrapposizione al di là dello

schermo, dà luogo al fenomeno della

diffrazione

Diffrazione

• Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici sono semirette

parallele



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Diffrazione

• Analizziamo la diffrazione per ciascuna direzione  e diciamo  la coordinata relativa ad 

• Le onde elementari hanno ugual ampiezza dA per lo stesso 

• Un punto Q della fenditura a distanza y dal punto più alto P, ha una differenza di fase  dovuta alla differenza di

cammino ottico

• La differenza di fase è data da

 sin y l 



 

 

 

  2   2 sin 

y 

 P

Q

P

Q



Diffrazione

• Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda elementare, queste hanno forma

• Ove A =dA/dy=A

/a

• NB: A dipende  da ma non da y

• Detto l’onda risultante sarà data dall’integrale delle onde elementari su tutta la fenditura

 k t y  dy  k t y 

dA

df  cos       A cos     

 ^{u y}  ^dy   ^{u a}  ^u 

f

a

sin sin

cos

0









  ^{A  A} _ ^

t k

u    

23

Diffrazione

• Applicando le formule di Werner

• e sostituendo i valori di



• L’ampiezza dell’onda diffratta risultante è quindi

• Con A a=A0 ampiezza dell’onda incidente

 

 

  

 

 



 

cos 2 sin 2

2 a

a u

f  

 A

 

 

  ^ _ ^{   } _ ^

 

 



 









 cos sin

sin sin

sin a

t a k

a a f A

 

 

 















 sin

sin sin sin

A

a a a

A



 A 

I_dif



Diffrazione

• Se per semplicità assumiamo che A sia costante rispetto a  , l’intensità dell’onda diffratta sullo

schermo è

• Notare che l’intensità è diversa da zero anche per  (e ) diverso da zero

 

 

 

2 2 2

0

sin sin

sin

sin 



 



 



 



 















 I

a A a

I_diff

25

Immagini di

diffrazione

Risoluzione di uno strumento ottico

• Gli strumenti ottici (telescopio, microscopio) servono a rendere visibili oggetti che l’occhio nudo non riesce a vedere

• Ad es. il telescopio permette di vedere stelle troppo flebili per l’occhio nudo

• Le stelle sono talmente lontane da noi che anche per il più potente telescopio ottico è come se fossero riducibili ad un punto senza dimensioni

27

Risoluzione di uno strumento ottico

• Un buono strumento ottico trasforma un punto oggetto in un punto immagine,

quindi un buon telescopio dovrebbe dare un’immagine puntiforme di una stella

• La diffrazione, dovuta alla stessa natura

ondulatoria della luce, pone però un limite

fisico insuperabile a questo funzionamento

ideale

Risoluzione di uno strumento ottico

• Qualunque telescopio, infatti, sarà costruito di lenti di diametro finito

• La lente, raccogliendo solo la parte

dell’onda luminosa proveniente dalla stella corrispondente alla superficie della lente stessa, agirà come un foro circolare in uno schermo e quindi darà un’immagine in cui è presente diffrazione

29

Risoluzione di uno strumento ottico

• Ciò significa che l’immagine non è angolarmente

puntiforme, ma estesa

• Il limite di risoluzione angolare dovuto alla diffrazione è ancora dell’ordine di

• ove  è la lunghezza d’onda della luce e D il diametro della lente

D



Risoluzione di uno strumento ottico

• Criterio di Rayleigh

1 sorgente 2 sorgenti Non risolte

I massimi centrali si confondono

2 sorgenti Risolte

I massimi centrali

sono distinti ₃₁

Battimenti

• Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso complementare a quello dell’interferenza:

riguarda l’evoluzione temporale della

sovrapposizione di onde di frequenza diversa in un punto determinato dello spazio

• Consideriamo due onde che per semplicità supponiamo armoniche e di ugual ampiezza

f₁  Acos k





f₂  Acos k





32

• Nel punto arbitrario x* assumono la forma

• La loro sovrapposizione in questo punto si calcola ricordando la formula del coseno di una somma

• con

Battimenti



f₁  Acos k









 

^

^

f₂  Acos k









 

^

^



f  f₁  f₂  Acos









 2Acos











  ₂  ₁ 2



  ₂ ₁ 2

33

Battimenti

• A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo

• Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze sono circa uguali, allora

• Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto vicina a quella delle onde che si sovrappongono:

con un’ampiezza che non è costante, ma modulata secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto

minore, che è poi quella che dà la sensazione acustica di battimento:



f  2Acost cost



 ₁  ₂



  0



cost

2Acost

34

Battimenti

• Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda

risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza

• La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia rispetto all’ampiezza

• L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I₀

   ^{ } 

 





t t

kA t

t A

k I







2 0

2 2

2 2

2

cos 2

cos 1

2

cos 2

cos 1

2 cos

cos 4



















35