Onde 4 21 novembre 2014 Effetto Doppler per onde meccaniche Onda d’urto

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Onde 4

21 novembre 2014 Effetto Doppler per onde meccaniche

Onda d’urto

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Effetto Doppler per onde meccaniche

• Si verifica quando la sorgente di onde S o il rivelatore R si muovono rispetto al mezzo di propagazione M, con velocità v inferiore a quella V dell’onda in M

• La frequenza misurata dal rivelatore risulta diversa dalla frequenza ‘propria’ di emissione della sorgente, misurata in situazione statica

• Distinguiamo due casi:

– Rivelatore in moto rispetto al mezzo – Sorgente in moto rispetto al mezzo

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Condizioni statiche

• In condizioni statiche S emetta onde con velocita` V (p.e. piane e armoniche) di lunghezza d’onda 

_M

, periodo T

S

e frequenza f

S

S M S

M

T f

V    

• Ogni T_S secondi R rileva un nuovo fronte d’onda di data fase (p.e. un massimo) distante



_M dal

precedente, che si avvicina a velocità V

• Valgono le relazioni

R

_M V

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Rivelatore in moto

• Supponiamo che R si muova con velocita` v, la cui componente lungo V sia

• Il fronte d’onda 2 raggiungera` R in un tempo T_R dopo aver percorso non solo _M ma anche il tratto di cui si e`

spostato R nella direzione di V

• Lo spazio percorso dal fronte 2 e`

quindi

• Risolvendo per T_R

• E in termini di frequenza

R M

R

v T

VT   

_||

4

R

_M V

v



|| vcos

v 



1 2

TR

v_||

v_||T_R

V v

T V

v V v

T_R V ^M ^M ^S





cos 1

1 _||

||  

 



 

 

 1 cos

V f v

f_R _S

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Rivelatore in moto

• Se la velocita` di R ha componente verso S, allora

• E poiche’

R V

 v

1 2

v_||T_R

 

 

  

 1 cos 

V f v

f

_R _S ^



 

 

 1 cos

V f v

f_R _S



 cos cos  

_M

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Sorgente in moto

• Supponiamo che S si muova con velocita` v, la cui componente lungo V sia

• I fronti d’onda non distano più _M ma _M diminuito dello spazio percorso in

direzione V dalla sorgente nel tempo T_S

• Il tempo intercorrente tra due fronti successivi che giungono in R e`

• E in termini di frequenza

 

 



 





 

 V

T v V T

v V

V T

T

_R



^M

v

^|| ^S



^M ^|| _S _S

1

^||



|| vcos

v 

R

_Mv_||T_S V

v

1 2



cos 1 V

v f_R f^S





*

* T_S, non T_R

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Sorgente in moto

• Supposto v << V l’espressione si puo` approssimare come

• Cioe` esattamente come nel caso di S ferma e R in movimento verso la sorgente

R V

v

1 2



 

 

  

 1 cos 

V f v

f

_R _S

_Mv_||T_S

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Onda d’urto

• Finora la sorgente si muoveva con velocità v_s minore della velocità v_o dell’onda, per cui l’onda

sopravanzava S

• Quando la velocità della sorgente S è maggiore della velocità dell’onda nel mezzo, la sorgente sopravanza l’onda e si genera un’onda d’urto

• Esempi:

– Onda sulla superficie dell’acqua dovuta al moto di una barca – Bang supersonico dovuto al moto di un aereo

– Radiazione Cherenkov di particelle ultrarelativistiche

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Onda d’urto

• Supponiamo che al tempo t=0 , S

0

emetta un’onda sferica

• Al tempo precedente t=-T , S

0

si trovava in S

-1

, per t=-2T si trovava in S

_-2

e cosi’ via

S₀ S_-4 S_-3 S_-2 S_-1

C_-1 C_-2 C_-3 C_-4

v_s

• Le onde sferiche emesse in quegli istanti di tempo, si sono espanse fino a

diventare, al tempo t=0, rispettivamente, C

_-1

, C

_-2

, C

_-

3

, C

_-4

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Onda d’urto

• L’inviluppo delle onde sferiche emesse da S

0

è un’onda di forma conica (se la velocità della sorgente è

costante) che prende il nome di onda d’urto

S₀ S_-4 S_-3 S_-2 S_-1

C_-1 C_-2 C_-3 C_-4

v_s

• Le distanze S

₀

S

_-k

sono uguali a

• Mentre i raggi S

_-k

C

_-k

sono uguali a

• Il semiangolo di apertura del cono è

T kv_s

T kv_o



s o s

o

v v T

kv T kv 



 sin

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Onda d’urto

• L’onda d’urto in tre dimensioni si sposta

perpendicolarmente alla superficie conica, formando un angolo, rispetto a v

_s

, uguale a

s o

v

 v

 cos

S_-4 S_-3 S_-2 S_-1 C_-1 C_-2 C_-3 C_-4

v_s



• Il rapporto v

s

/v

o

è detto numero di Mach

S₀

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Prandtl-Glauert singularity

adapted from Wikipedia, the free encyclopedia

• The Prandtl-Glauert singularity (sometimes referred to as a "vapor cone"), is the point at which a sudden drop in air pressure occurs, and is generally accepted as the cause of the visible condensation cloud that often surrounds an aircraft

travelling at transonic speeds, though there remains some debate. It is an example of a mathematical singularity in aerodynamics

• One view of this phenomenon is that it exhibits the effect of compressibility and the so-called "N-wave". The N-wave is the time variant pressure profile seen by a static observer as a sonic compression wave passes. The overall three-dimensional shock wave is in the form of a cone with its apex at the supersonic aircraft. This wave follows the aircraft. The pressure profile of the wave is composed of a

leading compression component (the initial upward stroke of the "N"), followed by a pressure descent forming a rarefaction of the air (the downward diagonal of the

"N"), followed by a return to the normal ambient pressure (the final upward stroke of the "N"). The rarefaction may be thought of as the "rebounding" of the

compression due to inertial effects.

N-wave

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Condensation clouds

• These condensation clouds, also known as "shock-collars" or "shock eggs," are

frequently seen during space shuttle launches around 25 to 33 seconds after launch when the vehicle is traveling at transonic speeds. These effects are also visible in

archival footage of some nuclear tests (e.g. the BAKER shot of Operation Crossroads).

The condensation marks the approximate location of the shock wave

• Since heat does not leave the affected air mass, this change of pressure is adiabatic, with an associated change of temperature. In humid air, the drop in temperature in the most rarefied portion of the shock wave (close to the aircraft) can bring the air temperature below its dew point, at which moisture condenses to form a visible cloud of microscopic water droplets. Since the pressure effect of the wave is reduced by its expansion (the same pressure effect is spread over a larger radius), the vapor effect also has a limited radius. Such vapor can also be seen in low pressure regions during high–g subsonic maneuvers in humid conditions.

• Prandtl-Glauert singularity effects can be readily observed on a humid day by

successfully cracking a whip. A visible cloud is produced at the point where the tip of the whip goes transonic.

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Radiazione Cherenkov

• E` emessa quando una

particella carica attraversa un mezzo con velocita`

superiore a quella della luce nel mezzo

• La luce blu nelle piscine dei reattori nucleari e` dovuta alla luce Cherenkov emessa dagli elettroni prodotti nel reattore

n v  c

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Radiazione Cherenkov

• In astronomia gamma con base a terra si misurano i fotoni gamma rivelando gli sciami di particelle che essi producono nell’atmosfera (se riescono a raggiungere il suolo) o la radiazione

Cherenkov emessa dagli sciami ( se questi vengono assorbiti dall’atmosfera)

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