Onde 1 10 novembre 2014

Onde 1

10 novembre 2014

Campi e onde Tipologia

Equazione d’onda e sua proprietà di sovrapposizione Soluzioni dell’equazione delle onde

Onde sferiche Onde stazionarie Fronti d’onda, raggi

(Energia di un’onda meccanica)

Campi

• Matematicamente sono funzioni reali (o

complesse) che rappresentano grandezze fisiche

• Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel

tempo

• Se non dipendono dal tempo sono detti statici

• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di

definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

) , , ,

( x y z t F

) , ,

(x y z G

Campi

• Se basta una sola funzione a definirli

completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura)

• Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido)

) , , ,

(x y z t f

A_x 

) , , ,

(x y z t

 f



) , , ,

(x y z t h

A_z  )

, , ,

(x y z t g

A_y 



 



 

 

 

A , , ,  _x , , , , _y , , , , _z , , , 

Onde

• Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo

• Possono essere periodiche o impulsive

• Possono richiedere un mezzo materiale (onda

meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica)

• Si propagano con una velocità che dipende dalla

natura del campo e del mezzo

Tipologia

• Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi

• Onde elettromagnetiche: si propagano anche

nel vuoto

Tipologia

• Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda

• Onde trasversali: l’oscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda;

sono dunque possibili due direzioni

indipendenti dell’oscillazione (ovvero due

polarizzazioni)

Onde sismiche di volume

Tipologia

• Onde:

– Trasversali

• sulla superficie di un

liquido o su una membrana

• su una corda

• nel vuoto: onde e.m.

– Longitudinali

• sonore in un fluido

– Miste

• sonore in un solido

• onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono

Funzione d’onda

• Un’onda viene rappresentata

matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione d’onda

) , , ,

( x y z t

f

Equazione d’onda

• L’equazione che descrive il moto di un’onda

• prende il nome di equazione d’onda o di

d’Alembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t)

• Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)

 

 

2 2 2 2

2 



 





t t x f v

x t x f

1 0 1

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 



 



 

 



 



 





t f f v

t f v

z f y

f x

f

Proprietà dell’eq. d’onda

• Nell’eq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari

• Questo ha l’importante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche

qualunque loro combinazione lineare h=  f+  g

• Dimostrazione: moltiplichiamo per  l’equazione

• e per  l’equazione

1 0

2 2

2 



 

 t

f f v

1 0

2 2

2 



 

 t

g g v

Proprietà dell’eq. d’onda

• Sommiamo membro a membro le equazioni

• Riordiniamo

• E per le proprietà di linearità delle derivate

• L’espressione tra parentesi è proprio h

1 0 1

2 2 2 2

2

2  



 







 



 



 







 

 t

g g v

t f

f v 



 

 

2 2

2 





 



 t

g f

g v

f   



 



 







 



 





 t

g t

f g v

f   



Proprietà dell’eq. d’onda

• Cioè anche h è soluzione:

• Questa proprietà permette trattare il problema di sorgenti multiple:

– Si considera un problema distinto per ogni sorgente e se ne trovano le soluzioni odulatorie

– Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle singole sorgenti

– Tale somma è soluzione del problema in cui le sorgenti agiscono contemporaneamente

• Questo è il principio di sovrapposizione delle onde

1 0

2 2

2 



 

 t

h h v

Soluzioni dell’eq. delle onde

• Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq.

• sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

 

 

2

2 



 



 f x t

t t v

x x f

) ( x vt

g  h ( x  vt )

Soluzioni dell’eq. delle onde

• Vogliamo ora dimostrare questo risultato

• Eseguiamo il cambiamento di variabili

• La cui trasformazione inversa è



  x  vt



x 







  x  vt



t 





Soluzioni dell’eq. delle onde

• Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili

• Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili



F

 

  

 







 





 ^







 ^1



 ^1



 ^



 ^









 





 ^







 ^{ v}



 ^{ v}



 ^{ v }



 ^







  

 

15

Soluzioni dell’eq. delle onde

• Le derivate seconde divengono

• Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo







 

 ^







  

  

 ^







  

  



^{ 2}



 ^









 v

 

 ^







  

   

 ^







  

  v





^{ 2}



 ^







  

 





^{ 2}



 ^







  

  



^{ 2}



 ^







  

  0

16

Soluzioni dell’eq. delle onde

• E semplificando

• L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile  è nulla

• allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dall’altra variabile,  

• ove g è una funzione arbitraria di 





   , 

 ^{ 0}









   , 





  

  0



   , 

 ^{ g}   

Soluzioni dell’eq. delle onde

• Per trovare F(  ,  ) basta infine integrare rispetto a  , operazione che dà una funzione di  (la primitiva di g) più un’arbitraria funzione di 

• Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi

                    







 

 F d H g d H G H

F ^,   ^,      

f x,t   ^{ g x  vt}   ^{ h x  vt}  

Soluzioni dell’equazione delle onde

• Studiamo un’eq. un po’ piu` complicata di quella piana

• In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica

• Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche

• Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari  e , gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo

  ^{, 1}

  ^{, 0}

2





 

 f r t

t t c

r

 f

    ^{O f}   ^{r t O f}   ^{r t}

r t r r f

r t r

r

f 1 , , ,

,

2







 



 











 

 

Onde sferiche

• A tal fine esprimiamo f come

• Il laplaciano diventa

• e l’eq. d’onda

• Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F

   

2 2

2 2

, 1

, 1

r t r F r

r t r r f

r

r 

 



 













   

r t r t F

r

f ,

, 

 

 

1

2 2 2 2

2 



 





r t r F t

c r

t r F r

Onde sferiche

• Poiche’ tale eq. ha per soluzioni

• L’eq. di partenza ha per soluzioni

• Tali soluzioni sono dette onde sferiche

• Ad es. per onde sinusoidali

  ^{r t F}  ^{r vt} 

F ,  

   

r

vt r

t F r

f ,  

      ^{ }

r

t kr

a r

vt r

k t a

r

f  sin   sin  

,

Onde stazionarie

• La sovrapposizione di un’onda

progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce un’onda

stazionaria

Onde stazionarie sinusoidali

• Sono del tipo

• Sviluppando i seni (nel caso “+”), otteniamo

• Nel caso “-”:

• Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata

• I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi

  ^{x t A}  ^{kx t}  ^A  ^{kx t} 

f ,  sin    sin  

  ^{x t A kx t}

f ,  2  sin  cos 

  ^{x t A kx t}

f ,   2  cos  sin 

Onde stazionarie. Due estremi vincolati

• n=1, frequenza fondamentale

• n=2, prima armonica

• n=3, seconda armonica

L

 2



 L



3 L

 2



• Relazione tra lunghezza d’onda , frequenza f e lunghezza L della corda

2





L n v f v

 2

 

L f v

0  2

L f₁  v

L f v

2 3

2 

 N

n

1 ventre, 2 nodi 2 ventri, 3 nodi

• Relazione tra lunghezza d’onda  e lunghezza L della corda

• 1 ventre, 1 nodo

• 2 ventri, 2 nodi

• 3 ventri, 3 nodi

Onde stazionarie. Un estremo vincolato

 

1 4

2 _ 

 n

L

 4



3

 4



5

 4



 N

n

• 2 ventri, 1 nodo

• 3 ventri, 2 nodi

• 4 ventri, 3 nodi

Onde stazionarie. Estremi liberi

• Relazione tra lunghezza d’onda  e lunghezza L della corda

2





L

 2







3

 2



 N

n

Onde piane

• Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo

• Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante

• Ad un determinato istante di tempo questa eq.

rappresenta una superficie piana

• Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono piani

 ^{kx t} 

A sin  

. const t

kx   

Onde sferiche

• Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo

• Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante

• Ad un determinato istante di tempo questa eq.

rappresenta una superficie sferica di raggio r

• Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche

  ^r  ^{kr t} 

A sin  

. const t

kr   

r

Superfici di egual fase

• A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase

• Vengono anche dette fronti d’onda

• La direzione localmente perpendicolare alla superficie di egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel punto

• Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente

perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda

• Tali linee vengono dette raggi

Raggi

• Per le onde piane i raggi sono rette parallele,

• per le onde sferiche sono semirette con origine comune

x

r

Energia delle onde

• Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda

• Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo sinusoidale

• In tutta generalità considereremo un’espressione

valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L)

• Faremo il calcolo per i due casi

– Onda progressiva – Onda stazionaria

Energia di un’onda progressiva

• Consideriamo una piccola quantità di materia di volume V e massa m di dimensione x nella direzione x di propagazione

• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge

• Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x

• Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x

• L’energia potenziale dell’elemento materiale è

 





f ^*

,  sin

 

 

 





f m

fdf m

df t kx

A m

t df m f

Fdf f

d F U

f f

f f

f











































 

 























* 2

2 2

* 2 2

0 2 0

* 2

0 2

2

0 0

1 sin 1 ,

sin

*

*

*

*

*  

Energia di un’onda progressiva

• L’energia cinetica

• L’energia meccanica totale è dunque

• Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L

dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme  lungo x





A t m

m f

K    

   



 







  ^{2 2 2 *}

2

2 cos 1 2

1

2 2

2

1 m A

U K

E    

   

dx dm  

Energia di un’onda progressiva

• Otteniamo

• Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che

l’integrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa

 A



0 2 2

2

1 

 



 A ^L kx t dx

U

0

2 2

2 sin

2

1   ^{K  A}

_





0

2 2

2 cos

2

1  

 n L 

     





 

 

 







 ^{ }







n n

k n

udu k

udu k

dx t

kx ^{n t}

t t

kL

t L

2 1 2

sin sin

sin ^{2 2 2}

0

2















 









 

kL  2    2

Energia di un’onda progressiva

• Infine

• Quindi l’energia dell’onda è proporzionale

– al quadrato dell’ampiezza dell’onda – al quadrato della frequenza dell’onda – alla massa della materia coinvolta L

 

2 2

4 1 2

1 2

1 A n L A  K

U   

 

2

1 L A  E 

Energia di un’onda stazionaria

• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge

• L’energia potenziale dell’elemento materiale m è

• L’energia cinetica

• L’energia totale

 

f ^*

,  sin

cos 

 

f m

U

    



2 , 1

2

1 



t kx

A t m

m f

K    

 ^{2 2 2 * 2}

2

sin 2 sin

1 2

1  



 







 

* 2 2

2 sin

2

1 m A kx

E  

 

Energia di un’onda stazionaria

• L’energia dell’onda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x

• Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti

 

L t

A dx

kx t

A

U   ^L  ^{2 2 2}    ^{2 2 2} 

0

2 2

2

2 cos

4 1 2

cos 1 2

sin 1 2 cos

1  





 

0

2 2

2

4 sin 1

2

1 A kxdx L A 

E 



 2 n L 

 

L t

A dx

kx t

A

K   ^L  ^{2 2 2}    ^{2 2 2} 

0

2 2

2

2 sin

4 1 2

sin 1 2

sin 1 2 sin

1  





 

 

1 _{2 2 2 2}

E A

L A

L

E       