P 12/7/2011 C P

(1)

C

ALCOLO DELLE

P

^ROBABILITÀ

P

ROVA SCRITTA DEL

12/7/2011

Esercizio 1

Tra i partecipanti a un concorso per ricercatori, il 25% ha un Dottorato in Statistica, il 35% in Matematica e il restante 40% in Fisica. Inoltre, partecipano per la prima volta a un concorso il 60% degli Statistici, il 40% dei Matematici e il 27.5% dei Fisici. Scelto a caso un partecipante, si definiscano gli eventi: S

= {Statistico}, M = {Matematico}, F = {Fisico},

C = {per la prima volta a un concorso }.

(1.1) Qual è la probabilità che il partecipante scelto sia al suo primo concorso?

(1.2) Sapendo che il partecipante scelto è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un Matematico?

(1.3) Sapendo che il partecipante scelto non è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un Matematico?

(1.4) Si stabilisca se gli eventi M e C sono indipendenti, motivando la risposta.

(1.5) Si stabilisca se gli eventi S e C sono incompatibili, motivando la risposta.

Soluzione

Posto S = {statistico}, M = {matematico}, F = {fisico} e C = {primo concorso}, si ha:

P(S) = 0.25, P(M) = 0.35 e P(F) = 0.4, nonché P(C | S) = 0.6, P(C | M) = 0.4 e P(C | F) = 0.275.

(1.1) P(C) = P(C | S) P(S) + P(C | M) P(M) + P(C | F) P(F) = 0.15 + 0.14 + 0.11 = 0.4.

(1.2) P(M | C) = P(C | M) P(M) / P(C) = 0.14 / 0.4 = 0.35.

(1.3) P(M |C) = [1 − P(C | M)] P(M) / [1 − P(C)] = 0.21 / 0.6 = 0.35.

(1.4) Gli eventi M e C sono indipendenti, dato che P(C | M) = 0.4 = P(C).

(1.5) Gli eventi S e C non sono incompatibili [se lo fossero, P(C | S) = 0].

Quesito

Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. di Poisson.

(2)

Esercizio 2

Si consideri la funzione







>

≤

<



 



= 

4 : 1

4 0

:

0 : 0 )

(

x x x c

x x F

k

(c , k > 0).

(2.1) Si determini il valore del parametro c per cui F(x) rappresenta la funzione di ripartizione di una v.c. continua X e se ne calcoli la funzione di densità.

(2.2) Si calcolino il valore atteso e la mediana di X.

(2.3) Per k = 1, si rappresenti graficamente la funzione F(x) e si calcoli il quantile di ordine 0.25.

Siano X1,…,Xn v.c. indipendenti e distribuite come X con k = 1 e sia

∑

=

= ⁿ

i i

n X

S

1

.

(2.4) Si fornisca un’approssimazione Normale per S_n, giustificandola con un opportuno teorema, di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi.

(2.5) Utilizzando l’approssimazione del punto precedente, si calcoli P(177 < S100 < 269) e si determini il valore di n per cui P(Sn ≥ 346) = 0.025.

Soluzione

(2.1) F(4)=1 implica 4 1

c = ^{e c = 4.}

La funzione di densità risulta pari a [0,4], 0

4 4 ) , ) (

(

1

>

 ∈





= 

∂

= ∂

−

k x x

k x

k x x F

f

k

(2.2) ^E⁽ ⁾ ₄ ₄ ⁴ ₄ ₄¹ ¹₁

[ ]

¹ ⁴⁰ ⁴ ₁

0 4

0

1

= + +







= 







= 







=  ⁺

−

∫

^x^k ^x ^dx ^k ^x ^dx ^k _k ^x _k ^k

X ^k

k k

k

5 . 4 0 )

( ₀_.₅ =







= x k

x F

klog(x0.5)−klog(4) = log(0.5) log(x0.5) = (klog(4) −log(2))/k=log(4) −log(2)/k x0.5=4 ×2^−1/k=2^−1/k+2= ^k

k 1 2

2

−

(2.3) Il grafico è riportato nella figura sottostante.

x

F(x)

-2 0 2 4 6

0.00.20.40.60.81.0 Calcolo del quantile:

25 . 4 0 )

( ₀_.₂₅ = x⁰^.²⁵ = x

F

da cui x₀_.₂₅ =1.

In verde è riportata sul diagramma la determinazione grafica del I° quartile, in rosso quella della mediana.

(2.4) Var(X)=16/12=4/3=1.33

Y_n∼N(2n,1.33n) (approssimativamente)

per il teorema centrale del limite essendo E(X)=2 e Var(X)=1.33 (e quindi finite).

(2.5)

( )

^



 



 − < − < −

=

<

< 11.5

200 269 5

. 11

200 5

. 11

200 269 177

177 ₁₀₀ Y¹⁰⁰

P Y

P



 



 − ≤ −

−



 



 − < −

= 11.5

200 269 5

. 11

200 5

. 11

200 177 5

. 11

200 ₁₀₀

100 Y

Y P P

(

²

)

⁰^.⁰²

5 . 11

200 177 5

. 11

100 200 = <− =



 



 − ≤ −

Z Y P

P

(3)

(

⁶

)

¹

5 . 11

200 269 5

. 11

100 200 = < =



 



 − < −

Z Y P

P

(

¹⁷⁷<Y100<²⁶⁹

)

=¹−⁰^.⁰²=⁰^.⁹⁸

P ;

P(Yn≥346)= 0.025

3 / 4

2 346 =



 



 ≥ −

n Z n

P 96 . 1 3 / 4

2

346− =

n

=159

n è il valore cercato Esercizio 3

Sia X una v.c. di Bernoulli con parametro 0.5 e sia Y una v.c. tale che P(Y=1|X=0)= 0.1, P(Y=2|X=0)= 0.4, P(Y=3|X=0)= 0.5 e P(Y=1|X=1)= 0.5, P(Y=2|X=1)= 0.4, P(Y=3|X=1)= 0.1.

(3.1) Si determinino le funzioni di probabilità di (X,Y) e di Y.

(3.2) Si calcolino la media e la varianza di Y.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

(3.4) Si calcolino la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare fra X e Y.

Si consideri la successione Un costituita da v.c. indipendenti e distribuite come la v.c. U = X / Y.

(3.5) Si determini il limite a cui converge in probabilità

∑

= n

i

Ui

n 1

1 , motivando la risposta.

Soluzione

(3.1) la distribuzione congiunta è riportata nella tabella seguente X\ Y 1 2 3 0 0.05 0.2 0.25 1 0.25 0.2 0.05

La f.p. della v.c. Y è data da: P(Y=1)=0.3, P(Y=2)=0.4, P(Y=3)=0.3.

(3.2) E(Y)=2 e Var(Y)= E(Y²) − (E(Y))²=4.6 − 4 = 0.6.

(3.3) X e Y non sono né indipendenti né identicamente distribuite […].

(3.4) Essendo E(XY) = 0.8, si ha Cov(X,Y)= −0.2 e ρ(X,Y)= −0.5164.

(3.5) Essendo P(U=0)=0.5, P(U=0.33)=0.05, P(U=0.50)=0.2, P(U=1)=0.25 si ha E(U)=0.367 e, per la legge dei grandi numeri, ∑Ui / n converge in probabilità a E(U)=0.367.

La funzione di ripartizione è una funzione a gradini cadlag data da:















<

≤

<

≤

<

≤

≥

=

0 u 0

33 . 0 u 0 5 . 0

5 . 0 u 33 . 0 55 . 0

1 u 5 ..

0 75 . 0

1 u 1

) u ( F

0.5

0.05 0.2

0.25

0 0.33 0.50 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

u p(u)

0 0.33 0.5 1 U

F(u) -1